Demostramos aquí alguna propiedad adicional de la figura de la proposición I.47 de los Elementos de Euclides.

En la figura tenemos cuadrados construidos sobre los lados de un triángulo rectángulo . En las entradas anteriores hemos dado cuatro demostraciones diferentes del hecho de que las rectas y la altura desde se cortan en un punto.

Además se cumplen otras propiedades curiosas, por ejemplo:

• es igual a e igual a la mitad de la media armónica de los catetos .

• El área de los 4 triángulos sombreados es la misma.

• 

La primera afirmación de deduce de la semejanza de y , y de y .

La segunda afirmación se obtiene del hecho de que es congruente con y con .

Para la tercera afirmación, sea el pie de la perpendicular desde sobre . Entonces , es semejante a , y como , esos triángulos son congruentes, y .
Entonces .
De la misma forma y por tanto .

Demostramos aquí la generalización, mencionada en la entrada anterior, de la concurrencia de Herón al caso en que el ángulo no es recto.
En concreto se demuestra que si, en la figura, son perpendiculares repectivamente a y se cortan en un punto de la altura , entonces

La siguiente demostración se basa en el hecho de que las proyecciones conservan la razon doble de 4 puntos.
Dados 4 puntos en una recta proyectiva su razón doble es .
La notación usual para rangos de puntos situados en dos rectas proyectivas indica que los puntos se pueden conectar respectivamente con mediante una sucesión de proyecciones entre rectas en el plano, o, lo que es lo mismo, que la razon doble de es la misma que la de

En la figura adjunta es el ortocentro de
Proyectando desde tenemos que .
Y proyectando estos puntos desde ,   .
Por tanto , es decir y entonces o .
Pero los triángulos rectángulos son semejantes y por tanto , de donde resulta que , como queríamos demostrar.

El hecho de que, aunque no sea recto, se cortan en la altura desde si y fue comunicado por Vecten en 1817 en los Annales de Gergonne¹, y, para el caso más general en que , por Querret en 1825 en la misma revista², con demostración que no usa conceptos de geometría proyectiva.

El teorema de Ceva afirma que, con las letras de la figura, se cortan en un punto si y solo si  

Aplicando ese teorema Gergonne dio una demostración¹ del hecho de que las líneas de la figura se cortan en un punto, al que hemos llamado punto de Herón.

La demostración de Gergonne se adapta fácilmente para demostrar que si entonces se cortan en un punto, hecho que demostramos en la entrada anterior usando el teorema de Pappus.

Sea
Como son semejantes, .
Y como son semejantes, .
Por otro lado, como es recto, y , de donde .
Entonces, como es negativo, y tienen el mismo signo, resulta que

Esta demostración, como la basada en el teorema de Pappus y la dada por Herón no se aplica al caso en que no sea recto.

Pero la concurrencia de las rectas y la altura desde en un punto se da para cualquier ángulo .

En la entrada anterior dimos la demostración de Herón de que las rectas y de la figura se cortan en la altura desde .
Aquí demostramos ese hecho usando el dual del teorema de Pappus.
De la aplicación de ese teorema resulta que también las rectas se cortan en esa altura si están respectivamente en las rectas y son tales que

El teorema de Pappus dice que si los 6 vértices de un hexágono en el plano proyectivo están situados alternativamente en 2 rectas, los 3 puntos de intersección de los lados opuestos del hexágono están en una recta, y su dual dice que si los 6 lados de un hexágono en el plano proyectivo pasan alternativamente por 2 puntos, las 3 rectas que unen vértices opuestos del hexágono concurren en un punto.

La concurrencia de las lineas en el punto de Herón de un triángulo rectángulo resulta de aplicar el dual del teorema de Pappus:

Obtenemos el punto , intersección de los lados de los cuadrados sobre los lados .
En la entrada anterior se demostró que están alineados.
Aplicando el dual del teorema de Pappus al hexágono , cuyos lados pasan alternativamente por los 2 puntos del infinito representados por las direcciones de los lados del hexágono, resulta inmediatamente que concurren en un punto.

Por lo mismo es claro que la concurrencia de las tres rectas en un punto se da también si en lugar de unir los vértices del triángulo con los vértices opuestos de los cuadrados situados hacia el exterior sobre los lados, los unimos con vértices opuestos de rectángulos semejantes situados en el mismo sentido sobre los lados.

La figura de la proposición I.47 de los Elementos de Euclides, que demuestra el teorema de Pitágoras, tiene la propiedad de que las rectas , y la altura son concurrentes en un punto, al que llamamos punto de Herón, porque de Herón tenemos la demostración más antigua que se conoce de ese hecho, demostración expuesta por Al Nayrizi en su Comentario sobre el libro I de los Elementos, y que damos a continuación.

La proposición I.43 de los Elementos dice que si el punto de la figura está situado en la diagonal , los paralelogramos y tienen la misma área.
Herón demuestra como lema previo la recíproca, es decir, si esos paralelogramos tienen la misma área entonces está en la diagonal

En la figura siguiente, a partir de los cuadrados y sobre los catetos y , Herón completa el cuadrado
Unimos , entonces es congruente con , y porque los dos son complementarios del .
Por tanto y entonces están alineados.
Sea el punto de intersección de con .
Aplicando I.43 al rectángulo , tenemos que los rectángulos y tienen la misma área.
Y aplicando de nuevo I.43 al rectángulo , tenemos que los rectángulos y tienen la misma área.
Entonces y tienen la misma área, y aplicando la recíproca de I.43 al rectángulo , resulta que está en la recta , como queríamos demostrar.

Es una sencilla demostración que solo usa proposiciones del libro I.
El lector puede encontrar alguna otra. En las siguientes entradas veremos más.

Euclides da dos demostraciones del teorema de Pitágoras en los Elementos, una que no usa proporciones y otra basada en la teoría de la proporción.
Las dos demostraciones prueban algo más que el teorema.

Euclides I.47

En la proposición I.47 se prueba que si tenemos un triángulo como en la figura con ángulo recto en y construimos cuadrados sobre los lados, la perpendicular desde sobre la hipotenusa divide al cuadrado sobre la hipotenusa en dos rectángulos, igual al cuadrado sobre el cateto y igual al cuadrado sobre el cateto
Porque , puesto que cada uno de ellos es más un recto, y entonces son congruentes y su área es la misma. Pero el área de es igual al área de , porque la altura sobre la base es la misma, y el área de es igual al área de , porque la altura sobre la base es la misma. Entonces el rectángulo es igual al cuadrado sobre .
De la misma forma el rectángulo es igual al cuadrado sobre .

En la proposición I.48 Euclides demuestra el recíproco del teorema de Pitágoras: si son los lados de un triángulo y , entonces el ángulo opuesto al lado es recto.

Euclides VI.31

En la proposición VI.31 se prueba que si tenemos un triángulo como en la figura con ángulo recto en y construimos figuras rectilineas semejantes sobre los lados, proporcionales a estos, el área de la figura sobre la hipotenusa es igual a la suma de las áreas de las figuras sobre los catetos.

Euclides no utiliza I.47 en la demostración de esta proposición, y por tanto, en el caso de que las figuras semejantes sean cuadrados, tenemos aquí una segunda demostración del teorema de Pitágoras en los Elementos.

En la figura, si es recto, son semejantes (VI.8), y entonces y por tanto , y, por el corolario a VI.20, es la razón entre el área de la figura sobre y el área de la figura sobre . De la misma forma es la razón entre el área de la figura sobre y el área de la figura sobre .
Entonces, por V.24, la razón entre la suma de las áreas de las figuras sobre los catetos y el área de la figura sobre la hipotenusa es .

La primera demostración publicada del teorema del seno en trigonometría esférica aparece en el Zij al-Majisti de Abu’l-Wafa¹.

Abu’l-Wafa demuestra primero que si los triángulos esféricos de la figura y tienen ángulos rectos en y , entonces .

Sea el radio en que se cortan los planos de las círculos y . Sean las proyecciones de en el plano .
Los triángulos rectángulos son semejantes porque los ángulos en e son iguales al ángulo entre los planos de los círculos.
Entonces .
Pero en las circunferencias máximas y , y , y en la circunferencia , y , y por tanto   .

Abu’l-Wafa usa este resultado para demostrar el teorema del seno:

Sea un triángulo esférico. Prolongamos hasta de forma que , y trazamos .

Como es polo de y es polo de , los ángulos en y son rectos y y . Trazamos formando ángulo recto con .

Aplicando el resultado anterior a los triángulos y , tenemos:
  y   , de donde .
De la misma forma se demuestra .

El teorema del seno en trigonometría esférica afirma que, en un triangulo esférico con vértices y con lados opuestos , arcos de círculos máximos,
         .

Abú al-Wafá Buzjani y Abu Nasr Mansur, a finales del siglo X, se disputaron la paternidad del teorema, que es posible que descubrieran de forma independiente.

Damos aquí la demostración que aparece en el Libro de las incógnitas de los arcos de la esfera (mediados del siglo XI) del matemático andalusí Ibn Muadh al-Jayyani.

Sea el triángulo . Desde el polo del arco trazamos el arco que prolongado corta al arco en .
Prolongamos hasta de forma que y trazamos que será igual a .
Prolongamos hasta . Como es el polo de , y los ángulos en son rectos, y .

Aplicando el teorema de Menelao al triángulo cortado por la transversal , tenemos
         ,
y como , resulta
         .

Aplicando ese resultado al triángulo , tenemos
         .

Y como y son suplementarios, , y tenemos que
         .

Si en lugar de construir el polo de , comenzamos por el polo de , obrendremos .

“Y esto es lo que queríamos demostrar”, concluye Ibn-Muadh.