Teorema de la cuerda universal

Si una curva (azul) tiene una cuerda CD, la curva (roja) que resulta de aplicar a la curva original (azul) la traslación definida por el vector CD corta a la curva original en el punto D.

Por tanto no existen cuerdas en la curva original iguales al vector que define una traslación si y solo si la curva trasladada y la curva original no tienen ningún punto en común.

Leer más

Teoremas de Barbier

Demostramos aquí el teorema del hilo de Barbier, usado en la entrada anterior, y obtenemos como corolario el teorema de Barbier sobre curvas de ancho constante.

Preparamos el escenario dibujando en un plano base una figura cualquiera (en la ilustración una circunferencia) y obteniendo las imágenes que resultan de trasladarla repetidamente en dos direcciones perpendiculares la misma distancia.

Tomamos como unidad de longitud esa distancia de traslación, que en la ilustración es el lado de un cuadrado trazado con lineas de puntos. Las figuras contenidas en cada uno de esos cuadrados 1×1 son iguales.
Leer más

La aguja de Buffon y el hilo de Barbier

Aquí tenemos un simulador en Javascript, ilustrado con Jsxgraph, para el juego de Cramer-Buffon, que consiste en tirar al azar figuras geométricas sobre un suelo pavimentado regularmente y contar las intersecciones con la figura del suelo.

Tirar veces o

Longitud figura

  (o deslizador)
Parámetros:
B =
F =

Resultados:
T =
I =
2·B·F·T / I =
≈ π
El programa coloca una figura con centro en un punto tomado al azar (en un cuadrado 1×1) y situada con una dirección al azar, y calcula el número de intersecciones de esa figura con la pauta dibujada en el plano base, que en el caso del recuadro de arriba son lineas paralelas o cuadrados (de tamaño 1×1).

La clave del asunto está en que el número medio de intersecciones por tirada, cuando el número de tiradas tiende a infinito, no depende de la forma de la figura que se tira sino solo de su longitud, es decir de la suma de las longitudes de las rectas y curvas que la componen.

Con lo que podemos tirar un hilo flexible de longitud determinada, que al caer tomará cada vez una figura diferente, y el número medio de intersecciones a largo plazo será el mismo que al lanzar un segmento de recta o una circunferencia de la misma longitud.

También la pauta dibujada en el plano base puede variar arbitrariamente en cada tirada, siempre que en cada ‘cuadrado 1×1′, repetido en el plano base, la longitud de las rectas y curvas que contiene sea la misma en diferentes tiradas.

Estos hechos fueron publicados por Joseph Emile Barbier, alumno de l’Ecole Normale, en 1860 en el ‘Journal de Liouville’:

(Barbier, E. Note sur le problème de l’aiguille et le jeu du joint couvert.
Journal de Mathématiques Pures et Appliquées, 2.5 , (1860), p.279)

La fórmula de Barbier se aplica en el simulador de arriba para estimar pi, y su demostración merecerá otra entrada.


Esta entrada participa en la Edición 7.7 del Carnaval de Matemáticas, que en esta ocasión organiza Los Matemáticos no son gente seria.

El ‘jeu du franc-carreau’

Unas citas para la historia del problema de la aguja de Buffon.

Carta de Cramer a Stirling 22 febrero 1732
He aquí un problema que me ha ocupado los últimos días, y que quizá será del gusto del Sr. De Moivre. Puede que no conozcais el que en francés llamamos el ‘jeu du franc carreau’ (juego de la baldosa franca).
En una habitación pavimentada con baldosas, se lanza al aire un escudo. Si cae sobre una sola baldosa, se dice que cae franco, y el que lo lanzó gana. Si cae sobre dos o más baldosas, es decir, si cae sobre la raya que separa las baldosas, el que lo lanzó pierde.
Un problema a resolver que no tiene ninguna dificultad es encontrar la probabilidad de ganar o perder, dadas las baldosas y la moneda.
Pero si en lugar de tirar al aire un escudo redondo, se tira una moneda cuadrada el problema me ha parecido bastante difícil, bien porque lo sea por naturaleza, bien porque la vía por la que lo he resuelto no sea la mejor.

Leer más

Polinomios de Vieta (y 3)

Después de los polinomios de primera y segunda especie, presentamos la tercera familia de polinomios de Vieta, que es una alteración de la primera.

Teorema VIII.
Este teorema enuncia el caso en que tomamos la diferencia entre las cuerdas en el teorema del ‘invariante de Vieta’, por el que , en la figura, \dfrac{H_1}{OC} = \dfrac{2H_1}{B_0} = \dfrac{B_0-B_2}{H_1} = \dfrac{H_3-H_1}{B_2} = \ldots

Teorema IX.
Si x = \dfrac{H_1}{OC},   de x=\dfrac{H_{n+1} -H_{n-1}}{B_n},   con n par, resulta H_{n+1}  =  xB_n + H_{n-1},   y de x=\dfrac{B_{n-1} -B_{n+1}}{H_n} ,   con n impar, B_{n+1}= -xH_n + B_{n-1}.
Entonces si la secuencia W_0, W_1, W_2, W_3, \ldots es la secuencia B_0, H_1, B_2, H_3, tenemos, si el radio OC = 1,   W_0=B_0=2, \  W_1=H_1=x, y W_n = (-1)^{n-1} x W_{n-1} + W_{n-2}, \ n \ge 2.   De donde resulta W_2 = 2-x^2,   W_3 = 3x-x^3, y la tabla de polinomios siguiente (1615, N=x, Q=x^2, C=x^3):

Si llamamos W_n(x) a estos polinomios, y V_n(x) a los polinomios de Vieta de primera especie, es fácil demostrar a partir de sus leyes de formación que W_n(x) = (-1)^{\lfloor n/2 \rfloor} V_n(x),   y por tanto
W_n(x) =   \displaystyle \sum_{k \ge 0} (-1)^{k+\lfloor n/2 \rfloor}\cdot \dfrac{n}{n-k} \dbinom{n-k}{k} \cdot x^{n-2k}.

Si \alpha=\angle CPC_1, y el radio de la circunferencia es 1, x = H_1= 2 \sin \alpha, B_2 = 2 \cos 2 \alpha, H_3 = 2 \sin 3 \alpha, \ldots

Entonces, si n es impar, H_n= 2\sin n\alpha = W_n(2 \sin \alpha) , y si n es par, B_n = 2 \cos n\alpha= W_n(2 \sin \alpha).
Y como W_n(x) = (-1)^{\lfloor n/2 \rfloor} V_n(x), y los polinomios T_n(x) de Chebyshev de primera especie son T_n(x) = V_n(2x)/2, tenemos si n es impar, \sin n \alpha = (-1)^{\lfloor n/2 \rfloor} T_n(\sin \alpha), y si n es par \cos n \alpha = (-1)^{n/2} T_n(\sin \alpha).

Se demostró en la entrada anterior que, para todo n, T_n(\cos \alpha) = \cos n \alpha. Las identidades anteriores nos dicen como cambia el valor de T_n(\cos \alpha) si cambiamos ‘cos’ por ‘sin’:
Si n = 4k, \ T_n(\sin \alpha) = T_n(\cos \alpha) = \cos n \alpha
Si n = 4k+2, \ T_n(\sin \alpha) = -T_n(\cos \alpha) = - \cos n \alpha
Si n = 4k+1, \ T_n(\sin \alpha) = \sin n \alpha
Si n = 4k+3, \ T_n(\sin \alpha) = -\sin n \alpha

Polinomios de Vieta (2)

En la entrada anterior presentamos los polinomios de Vieta de segunda especie.
Aquí tratamos paralelamente los polinomios de Vieta de primera especie.

Teorema V.
En la figura tenemos puntos en una circunferencia tales que arco \ CC_1 = arco \ C_1C_2 = \ldots, y PC es un diámetro.
Entonces, por el teorema del ‘invariante de Vieta’, \dfrac{2PC_1}{PC} =\dfrac{PC_2+PC}{PC_1} = \dfrac{PC_3 + PC_1}{PC_2} = \dfrac{PC_4 + PC_2}{PC_3} = \ldots

Teorema VI.
De donde, si x =\dfrac{2PC_1}{PC} = \dfrac{PC_1}{OC}, resulta que PC_{i+1} = xPC_{i} - PC_{i-1}, y por tanto si OC=1, tenemos PC=2, \ PC_1=x, \ PC_2= x^2-2, \ PC_3=x^3-3x, \ldots

O, escribiendo N=x, \  Q=x^2, \ C=x^3, tenemos la lista de polinomios impresa en 1615:

Si llamamos a estos polinomios V_n(x), de forma que V_0(x)=2, V_1(x) = x   y V_n(x) = xV_{n-1}(x) - V_{n-2}(x),   resulta que si T_n(x) son los polinomios de Chebyshev de primera especie, T_n(x) = V_n(2x)/2.
Este es un motivo para llamar ‘de primera especie’ a estos polinomios de Vieta, pero el principal es que es la primera familia que presenta Vieta.

No es difícil demostrar que V_n(x) =  \displaystyle \sum_{k \ge 0} (-1)^k\cdot v_{n,k}\cdot x^{n-2k},   donde v_{n,k} = \dbinom{n-k+1}{k}- \dbinom{n-k-1}{k-2} = \dfrac{n (n-k-1)!}{k!(n-2k)!} = \dfrac{n}{n-k} \dbinom{n-k}{k}


Si \alpha = \angle CPC_1, y el radio OC de la circunferencia es 1, PC_1 = 2 \cos \alpha, PC_2 = 2 \cos 2\alpha, PC_3= 2 \cos 3\alpha, \ldots

Como PC_n = V_{n}(\frac{PC_1}{OC}) si OC=1,   tenemos PC_n =  2 \cos n \alpha = \ V_{n}(2 \cos \alpha).

Por tanto \cos n \alpha =  V_{n}(2 \cos \alpha)/2 = T_n( \cos \alpha),   que es la fórmula 43 en la entrada de MathWorld sobre las fórmulas del ángulo múltiplo. También tenemos la fórmula 35 tomando como v_{n,k} una de sus expresiones.

La secuencia de los coeficientes de los polinomios V_n(x) es la OEIS A127672, y los V_n(x) se obtienen a partir de la ‘función primordial’ de Lucas   V_a con p=x, q=1.

Polinomios de Vieta (1)

En el libro “Ad angulares sectiones…” Vieta obtiene tres familias de polinomios. Aquí presentamos los polinomios de Vieta de segunda especie.

Teorema IV.
En la figura tenemos puntos en una circunferencia tales que arco \ PC_1 = arco \ C_1C_2 = \ldots.
Entonces, por el teorema del ‘invariante de Vieta’, \dfrac{PC_2}{PC_1} = \dfrac{PC_3 + PC_1}{PC_2} = \dfrac{PC_4 + PC_2}{PC_3} = \ldots .

Teorema VII.
De donde1, si x =\dfrac{PC_2}{PC_1}, resulta que PC_{i+1} = xPC_{i} - PC_{i-1}, y por tanto si PC_1=1, tenemos PC_2=x, \ PC_3= x^2-1, \ PC_4=x^3-2x, \ldots
O, escribiendo N=x, \  Q=x^2, \ C=x^3, tenemos la lista de polinomios impresa en 1615:
Leer más

Un invariante de Vieta

Los teoremas 4, 5 y 8 del tratado de VietaAd angularium sectionum…1 son casos particulares del hecho de que el valor de las expresiones indicadas en la figura es independiente de la posición del punto P.

En la figura los puntos azules se pueden mover, S=1 o S=-1 según P esté en el exterior o interior de la circunferencia con centro C,   AC=BC   y   Q es el punto diametralmente opuesto a P.

Entonces \dfrac{PB + S\cdot PA}{PC} y \dfrac{PB - S\cdot PA}{QC} son independientes de la posición de P.

Leer más