Otra trisección con hipérbola en Pappus

Pappus de Alejandría, después de exponer como realizar una neusis mediate una hipérbola, y como trisecar un ángulo utilizando una neusis, muestra otras dos formas de trisecar un ángulo mediante la intersección de una hipérbola y una circunferencia, sin pasar por una neusis.
Esas dos formas usan la misma hipérbola, y se diferencian en la definición de la hipérbola. En un caso se define al estilo de Apolonio, y en el otro con la propiedad foco-directriz. (El argumento que sigue no es el de Pappus.)
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Ocio necesario

Es pues, verosímil que en un principio el que descubrió cualquier arte, más allá de los conocimientos sensibles comúnmente poseídos, fuera admirado por la humanidad, no solo porque alguno de sus descubrimientos resultara útil, sino como hombre sabio que descollaba entre los demás; y que, una vez descubiertas múltiples artes, orientadas las unas a hacer frente a las necesidades y las otras a pasarlo bien, fueran siempre considerados más sabios estos últimos que aquéllos, ya que sus ciencias no estaban orientadas a la utilidad.
A partir de este momento y listas ya todas las ciencias tales, se inventaron las que no se orientan al placer ni a la necesidad, primeramente en aquellos lugares en que los hombres gozaban de ocio: de ahí que las artes matemáticas se constituyeran por primera vez en Egipto, ya que allí la casta de los sacerdotes gozaba de ocio.

(Aristóteles, Metafísica, I, 981b15)

Perspectiva diferente de la que expuso Heródoto un siglo antes. En el cambio quizá influyó el desarrollo de la matemática pura (“inútil”) en ese periodo. (440-340 A.C)

Apolonio I.46

Si una recta tangente a una parábola corta al diámetro, la paralela al diámetro por el punto de tangencia en el interior de la sección corta en dos partes iguales a las paralelas a la tangente trazadas en la sección.
(Apolonio, Cónicas, I.46, protasis)

Es decir, las paralelas al diámetro que define la parábola son también diámetros de la parábola.

La demostración es fácil usando I.42:

\Diamond GN = \triangle JMN, \ \ \ \Diamond GS = \triangle JFS, por I.42.
Luego la diferencia NMFS = \Diamond OS, y, quitando la parte comun, \triangle PFH = \triangle PMO, y como esos triángulos son semejantes, son entonces congruentes y PF=PM.

Pánfila de Epidauro

Pánfila de Epidauro escribió unos comentarios históricos que, según cuenta Focio, eran un libro de citas, sin organización por temas ni plan preconcebido, en el que cada pieza de información fue anotada cuando le llegaba a la escritora, quien afirma que creía que esa variedad daría mayor placer al lector1.

Los libros de citas (“commonplace books”) han sido considerados precedentes de los blogs2, y Pánfila sería entonces una antigua bloguera.

Pero Pánfila no viene aquí por eso, sino por ser la única transmisora de la atribución a Tales de Mileto del teorema que dice que el ángulo inscrito en un semicírculo es recto:

Pánfila escribe que habiendo aprendido la geometría de los egipcios, inventó el triángulo rectángulo en un semicírculo, y que sacrificó un buey por el hallazgo. Otros lo atribuyen a Pitágoras, uno de los cuales es Apolodoro Logístico.
(Diógenes Laercio, Vidas…, Tales.3.)


1 http://en.wikipedia.org/wiki/Pamphile_of_Epidaurus
2 http://en.wikipedia.org/wiki/Commonplace_book#Contemporary_evaluations

Euclides I.44

Esta proposición quedará para siempre como una de las más impresionantes de toda la geometría cuando se tiene en cuenta (1) la gran importancia del resultado obtenido: la transformación de un paralelogramo en otro con el mismo ángulo y área pero con un lado de una longitud dada, y (2) la simplicidad de los medios empleados, a saber la mera aplicación de la propiedad de que los complementos de los “paralelogramos sobre el diámetro” de un paralelogramo son iguales.
La maravillosa ingeniosidad de la solución es digna de los ‘antiguos hombres semejantes a dioses’ como llama Proclo a los descubridores del método de aplicación de áreas, y no hay razón para dudar de que la solución, como toda la teoría, es pitagórica.

(T.L.Heath, Euclid Elements, Vol.1 pag.342)
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Neusis mediante hipérbola

Introducción

Neusis es el nombre dado por los antiguos griegos a la operación de trazar una recta que pase por un punto dado y tal que dos lineas dadas corten en la recta un segmento de longitud dada.
En el libro IV de su Colección Matemática, Pappus de Alejandría muestra que cuando las líneas, entre las que ha de quedar el segmento de longitud dada, son rectas, la neusis se puede realizar mediante la intersección de una hipérbola y una circunferencia (de radio igual a la longitud dada).
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Apolonio II.12

Si, desde cierto punto entre los que están en la sección, son llevadas hasta las asíntotas dos rectas bajo ángulos cualesquiera, y son llevadas paralelas a esas rectas desde un punto de la sección, el rectángulo comprendido por las paralelas será igual al rectángulo comprendido por las rectas a las cuales han sido llevadas las paralelas.
(Apolonio de Perga, Cónicas, II.12, protasis.)

El siguiente applet GeoGebra ilustra la proposición:
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