Otra falsa atribución

Es conocida la trisección del ángulo que presenta Pappus en su Colección:
En la figura, si FM = ME, DME es isósceles, DM=ME y el ángulo externo DMB es el doble de DEB. Si además DB=DM, BDM es isósceles, el ángulo DBM es igual al DMB, doble del EBC, y por tanto el ángulo EBC es la tercera parte del ABC.

Hace pocas semanas, buscando otra cosa, quedé sorprendido al ver que esa construcción es atribuida en el sitio cut-the-knot a Hipócrates de Quíos. El autor comenta en nota que la única fuente que conoce para tal atribución es la historia de MacTutor, donde se asigna, sin dudar, la construcción a Hipócrates. (Esa página está traducida aquí).

Pero esto es un error, y de hecho en la entrada en MacTutor sobre Hipócrates no se le atribuye ninguna trisección del ángulo, como tampoco que yo sepa en ningún historiador, y desde luego no lo menciona ningún autor antiguo.

Creo que el origen del error está en una mala lectura de la referencia 5, donde dice en pag.92: This problem interested the geometers of the 5th century B.C., the time of Hippocrates of Chios, as well as the duplication of the cube. The following solution seems to be the oldest…
Y sigue la construcción dada por Pappus. Como se ve, solo se dice que la solución parece de la época de Hipócrates, y dan como referencia a Abel Rey, que es de la misma opinión.

Pero también esa asignación de la solución, o del planteamiento del problema, a finales del siglo V A.C. es arbitraria y una conjetura sin apoyo en ningún dato. G.J.Allman propone mediados del siglo IV como fecha del descubrimiento, y Wilbur Knorr cree que fue en el siglo III A.C1.

Por tanto la atribución a Hipócrates de esa trisección es un error que aparece por primera vez en esa entrada de la historia de las matemáticas de la universidad de St.Andrews.


1Knorr, “The Ancient Tradition of Geometric Problems”, pag 41.


Esta entrada participa en la Edición 3.14159 del Carnaval de Matemáticas cuyo anfitrión es el blog Scientia.

Y eso ¿para qué sirve?

La segunda aparición, cronológicamente (423 A.C.), de la palabra γεωμετρια, en lo que nos ha llegado de la antigüedad, va inmediatemente seguida de la famosa pregunta.

Personajes: Estrepsíades y un discípulo (μαθητησ) del Pensatorio.

E.- Y eso de ahí, ¿qué es?
D.- La geometría.
E.- Y eso ¿para qué sirve?
D.- Para medir la tierra.
E.- ¿La que se adjudica en parcelas?
D.- No, la tierra entera.
E.- Cosa fina lo que dices. El invento es democrático y util.
D.- Este es el mapa de toda la tierra. ¿Ves? Aquí está Atenas…
E.- ¡Qué dices!. No te creo. No veo pleitos en tribunales.
D.- Ten la seguridad, este lugar es el Ática.
E.- ¿Y dónde están los de Cicina, mis paisanos?
D.- Están aquí. Y Eubea, como ves, se extiende ahí muy a lo largo.
E.- Lo sé. La machacamos nosotros y Pericles. Pero ¿dónde está Esparta?
D.- ¿Que dónde está? Ahí.
E.- ¡Qué cerca de nosotros! Pensadlo bien ¿no la podríais poner un poco más lejos?
D.- Imposible.
E.- ¡Por Zeus! Lo lloraréis. ¡Toma! ¿Quién es ese tío colgado en la cesta?
(Aristófanes, Las Nubes, 200ss.)

Las Nubes fueron representadas en el festival de las Dionisias (prime time de la época), en Atenas, en el año 423 A.C.


Fuente: Aristófanes. Comedias II, BCG 391.


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La primera γεωμετρια

Es curioso que la primera vez (≈440 A.C) que aparece escrita la palabra γεωμετρια, en los textos griegos que nos han llegado, sea en una especulación sobre la primera geometría.

Los sacerdotes también me dijeron que este rey (Sesostris) repartió el suelo entre todos los egipcios, concediendo a cada habitante un lote cuadrangular de extensión uniforme; y, con arreglo e esta distribución, fijó sus ingresos, al imponer el pago de un tributo anual. Ahora bien, si el río se le llevaba a alguien parte de su lote, el damnificado acudía al rey y le explicaba lo sucedido; entonces el monarca enviaba a algunas personas a inspeccionar y medir la disminución que había sufrido el terreno para que, en lo sucesivo, pagara una parte proporcional del tributo impuesto.
Y, a mi juicio, para este menester se inventó la geometría, que pasó luego a Grecia. Pues el polo, el gnomon y la división del día en doce partes los griegos lo aprendieron de los babilonios.

(Heródoto. Historia II.109 )


Texto tomado de Heródoto, Historia, Vol.1, BCG 3.

La tangente a la parábola

Las proposiciones relativas a la tangente a la parábola en el primer libro de las Cónicas de Apolonio son las siguientes.

Proposición I.17
Si en cualquier sección de un cono se traza una recta que pasa por el vértice paralela a una ordenada, la recta estará fuera de la sección a ambos lados del vértice.

Proposición I.32
Si se traza una recta por el vértice de una sección cónica paralela a una ordenada, es tangente a la sección y no hay otra recta en el espacio entre esa recta y la sección.

Las proposiciones anteriores se enuncian para cualquier sección cónica. Las siguientes son específicas para la parábola.

Proposición I.33
Sea H un punto en la parábola y E el extremo de su ordenada en el diámetro que la define. Prolongamos el diámetro más allá del vértice V hasta un punto S tal que VE = VS. Entonces la recta SH es tangente a la parábola en H.
Demostración. Con las letras de la figura,
\dfrac {\square FJ}{\square EH}=\dfrac{FV}{EV},   por I.20.

\dfrac{FV}{EV} = \dfrac{4\!\sqsubset\!\sqsupset\!\!(FV,VS)}{4 \square EV},   porque EV\!=\!VS y Euc.VI.1.

Pero 4\square EV = \square ES   y    4\!\sqsubset\!\sqsupset\!\!(FV,VS) < \square FS, si V no es el punto medio de FS, por el corolario a Euc.II.5. Entonces \dfrac {\square FJ}{\square EH} < \dfrac {\square FS}{\square ES}.

Como \triangle SEH \simeq \triangle SFT, por Euc.VI.20 cor. tenemos \dfrac {\square FS}{\square ES} = \dfrac {\square FT}{\square EH}, y por tanto \dfrac {\square FJ}{\square EH} < \dfrac {\square FT}{\square EH}, y FJ < FT.

Como esto sucede para cualquier punto F, distinto de E, en el diámetro, la recta SH es tangente a la parábola en H.

Proposición I.35
Es la recíproca de I.33. Si en la figura anterior SH es tangente en H a la parábola, entonces EV=VS.

Tales y las aceitunas

Por ejemplo, lo que se le ocurrió a Tales de Mileto…Como se le reprochaba por su pobreza lo inútil que era su amor a la sabiduría, cuentan que previendo, gracias a sus conocimientos de astronomía, que habría una buena cosecha de aceitunas cuando todavía era invierno, entregó fianzas con el poco dinero que tenía para arrendar todos los molinos de aceite de Mileto y Quíos, alquilándolos por muy poco porque no tenía ningún competidor.
Cuando llegó el momento oportuno, muchos los buscaban a la vez y con urgencia, y él los realquiló en las condiciones que quiso, y, habiendo reunido mucho dinero, demostró que es fácil para los filósofos enriquecerse, si quieren, pero no es eso por lo que se afanan. 

(Aristóteles, Política, 1259a)

Apolonio I.20

Como, en una parábola, por definición, los cuadrados sobre las ordenadas son iguales a los rectángulos formados por el lado recto constante y el segmento en el diámetro entre el vértice y el extremo de la ordenada, los cuadrados sobre las ordenadas serán entre sí como los segmentos en el diámetro, por Euclides VI.1.

Podemos expresar el resultado, para la figura adjunta, como \square EH : \square FJ :: EV : FV.

Este resultado es la proposición I.20 de las Cónicas.

En lugar de la expresión anterior escribiremos \dfrac{\square EH }{\square FJ} = \dfrac{EV}{FV}, pero se debe recordar que ninguno de los términos es un número, sino una superficie o un segmento y no se trata ni de fracciones ni de una igualdad entre números, sino de una proporción.

La definición de la parábola en Apolonio

En la proposición I.7 de las Cónicas, Apolonio demuestra que la sección de un cono oblicuo por un plano que no pasa por el vértice del cono es una curva que tiene un diámetro.

Y en la proposición I.11 de las Cónicas, demuestra que si el plano es paralelo a una de las generatrices del cono oblicuo, la curva que resulta tiene además la siguiente propiedad:

Existe un segmento constante, llamado lado recto, tal que el cuadrado sobre una ordenada es igual al rectángulo cuyos lados son el lado recto y el segmento entre el vértice de la curva y el extremo de la ordenada en el diámetro.

Y, en esa proposición, Apolonio define1 “parábola” como cualquier curva que tenga un diámetro con esa propiedad.

En la proposición I.52 Apolonio demuestra que toda parábola, es decir
toda curva así definida, se puede obtener como sección de un cono con un plano.


1En realidad Apolonio, tras deducir la propiedad característica, dice “llamemos parábola a tal sección”. Posteriormente usa el hecho de que la parábola es sección de un cono en proposiciones sobre el interior y exterior de la sección. Para un desarrollo puramente planimétrico habría que añadir a la definición anterior la definición (I.10) de interior y exterior de la curva. (Un punto es interior si está en un segmento entre dos puntos de la curva).

El accidente de Tales

Teodoro.- ¿Por qué dices todo esto, Sócrates?
Sócrates.- Es lo mismo que se cuenta de Tales, Teodoro. Este, cuando estudiaba los astros, se cayó en un pozo, al mirar hacia arriba, y se dice que una sirvienta tracia, ingeniosa y simpática, se burlaba de él porque quería saber las cosas del cielo pero se olvidaba de las que tenía delante y a sus pies.
(Platón, Teeteto, 174a)

En el apartado 8f de esta entrada sobre Tales se sugiere que la anécdota pudo tener su origen en que quizá probó un pozo como primitivo observatorio astronómico.