Fyodor Bronnikov

Pintor ruso, que viene aquí por su cuadro “Himno de pitagóricos al sol naciente”, que aparece en la cubierta del libro “Pythagoras and the Early Pythagoreans” de Leonid Zhmud, cuya traducción inglesa acaba de publicarse1.

Imagen tomada de la wikipedia.


1Leonid Zhmud. Pythagoras and the Early Pythagoreans. Translated from Russian by Kevin Windle and Rosh Ireland. Oxford University Press, 2012.

Neusis desde circunferencia a cuerda

Dado un punto en una circunferencia y una cuerda, trazar una recta por el punto de tal forma que el segmento entre la cuerda o su prolongación y el otro punto de intersección de la recta con la circunferencia tenga una longitud dada.

Este es un caso neusis, que aparece en la trisección del ángulo del Libro de los Lemas, donde la longitud dada es el radio de la circunferencia y la cuerda un diámetro, y en algunas proposiciones del tratado “Sobre las líneas espirales” de Arquímedes.

Como demostró Pappus en su Colección matemática, el punto de intersección de la cuerda con la recta a construir se puede obtener a partir de la intersección de una parábola y una hipérbola equilátera.
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La trisección del ángulo de Arquímedes

Además de las trisecciones del ángulo, mediante neusis entre dos rectas y mediante una hipérbola, que expone Pappus en su Colección Matemática, tenemos otra única trisección que nos ha llegado de los antiguos griegos.

El método está expuesto en la proposición 8 del “Libro de los Lemas”, y posiblemente se deba a Arquímedes.

En la siguiente figura en GeoGebra, al mover el punto sobre la circunferencia, los tres segmentos rojos se mantienen iguales.
Entonces usando dos veces que los ángulos de la base de un triängulo isósceles son iguales (Euc.I.5), y dos veces que un ángulo externo es igual a la suma de los otros dos ángulos en un triángulo (Euc.I.32), resulta que el ángulo mayor es triple del menor.
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Liber assumptorum

El “Libro de los Lemas” es una colección de 15 proposiciones que nos ha llegado desde la antigüedad a través del árabe.

La colección fue editada en latín primero por S.Foster, Miscellanea (Londres, 1659), y a continuación por Borelli en un libro publicado en Florencia, 1661, como

Archimedis Liber Assumptorum interprete Thebit ben-Kora exponente Almochtasso.
Ex codice Arabico manuscripto Ser.Magni Ducis Etruriae
Abrahamus Ecchellensis Latine vertit. Io. Alfonsus Borellus Notis illustravit.

Esta obra es un apéndice a la traducción de Borelli:
Apollonii Pergaei Conicorum Lib.V. VI. VII.; ed.Io.Alfonsus Borellus. Florentiae MDCLXI.

En cuanto a la autoría cabe citar:
Los lemas, no obstante, no pueden haber sido escritos por Arquímedes en su forma actual, porque su nombre es citado en ellos más de una vez. Es posible que fuesen proposiciones recogidas por algún autor griego de fecha tardía para elucidar alguna obra antigua, aunque es muy probable que alguna de las proposiciones sea de origen arquimedeo, e.g. las relativas a las figuras llamadas arbelos y salinon, y la prop.8 que trata el problema de trisecar el ángulo.
(T.L.Heath The works of Archimedes, pag.xxxii.)

El libro traducido por Thabit no puede ser de Arquímedes en la forma en que lo tenemos, porque es citado en él varias veces.
(E.J.Dijksterhuis, Archimedes, pag.43.)

Que Arquímedes sea citado en la obra no es motivo para rechazar su autoría, porque solo es citado en relación a las palabras griegas “arbelos” y “salinon”, que son mencionadas como “la figura que Arquímedes llama arbelos” y “la figura que Arquímedes llama salinon”, expresiones que podrían haber sido introducidas por un traductor.

Más significativo para rechazar la autoría de Arquímedes es que se aluda a obras del autor que no están entre las de Arquímedes y que el traductor Thabit ben Qurra señale en la introducción que la atribución a Arquímedes de debe al doctor Almochtasso Abilhasan.
(Ver al respecto la introducción de Paloma Ortiz García a la obra en Arquímedes, Tratados II, Biblioteca Clásica Gredos 378.).

El contenido matemático del libro de los lemas se puede ver en:
http://www.cut-the-knot.org/Curriculum/Geometry/BookOfLemmas/index.shtml

La recompensa de Tales

Tales de Mileto, uno de los siete sabios famosos, el más importante de ellos, sin duda alguna -pues fue entre los griegos el primer inventor de la Geometría, el más certero investigador de la naturaleza de las cosas y el más experto observador de los astros-, llevó a cabo, valiéndose de pequeñas líneas, los más asombrosos descubrimientos: los ciclos de las estaciones del año, los soplos de los vientos, las órbitas recorridas por los planetas, las resonantes maravillas de los truenos, los movimientos oblicuos de los astros, los retornos anuales del sol y también el nacimiento y progresivo crecimiento de la luna, su decrecer paulatino, al ir envejeciendo, y las causas que la ocultan durante sus eclipses.
Este mismo Tales, ya en el declinar de su vida, concibió acerca del sol esta divina teoría, que yo no me he limitado a aprender, sino que incluso he comprobado experimentalmente, y que establece cierta relación entre el tamaño del sol y la órbita que este astro describe. Se dice que Tales enseñó este descubrimiento, cuando aún era reciente, a Mandraito de Priene, el cual, entusiasmado en grado sumo por aquella verdad tan nueva como imprevista, invitó a Tales a pedirle el precio que quisiera por tan valiosa enseñanza.
«Yo me consideraría suficientemente pagado», respondió Tales, el sabio, «si, cuando intentes comunicar a los demás lo que de mí has aprendido, no te atribuyes el mérito de tal descubrimiento, sino que, por el contrario, proclamas que yo, únicamente yo, soy el autor del mismo».
Hermosa recompensa, desde luego, digna de tal hombre y que no muere nunca. Tales la ha conservado, en efecto, hasta hoy y se la seguiremos pagando en el futuro todos aquellos que hemos comprobado la veracidad de sus observaciones celestes.

(Apuleyo, Flórida XVIII,30-35)

Tomado de:
Apuleyo. Apología – Flórida. Traducción de S. Segura Munguía. Biblioteca Clásica Gredos 32.

Apolonio I.8, I.10

Por la proposición I.7, toda curva que sea sección de un cono tiene un diámetro.

La proposición I.8 establece que si el diámetro no corta a las dos generatrices que son lados del triángulo axial en dos puntos al mismo lado del vértice, las ordenadas crecen indefinidamente al alejarnos del vértice de la curva, y que cualquier longitud es la longitud de una ordenada.

La proposición I.10 define el interior y exterior de la curva en función del interior y exterior del cono:
“Si se toman dos puntos en la sección de un cono, el segmento que une los dos puntos caerá dentro de la sección, y su prolongación caerá en el exterior”.

Diámetro conjugado en la elipse (I.15)

En la proposición I.15 de las Cónicas, Apolonio demuestra que una elipse, definida por su “symptoma”, tiene un diámetro conjugado.

La longitud del diámetro conjugado es la media proporcional entre el lado recto y el diámetro que define la elipse.

Y para ese diámetro conjugado existe un lado recto que define la misma elipse, con direccion de ordenadas igual a la del primer diámetro.

Entonces los diámetros conjugados y sus correspondientes lados rectos están en la relación mencionada en la figura adjunta.

Demostración.
Sea una elipse definida mediante un diámetro AB, un lado recto AN, y una dirección de ordenadas DE. Sea C el punto medio de AB. La recta por C paralela a las ordenadas corta a la elipse en D y E. Sea DF perpendicular a DE, tal que AB es media proporcional de DE y DF.
Sea G un punto de la elipse y X el punto correspondiente del diámetro AB.
Trazamos la paralela por G a AB que corta en H y W a DE y a la elipse.
Construimos el resto de puntos de la figura.
Demostramos que GH^2 = HD\cdot HL y que GH=HW.

Por Euclides II.5, CD^2-GX^2 = CD^2-HC^2 = EH\cdot HD.
Por la definición de la elipse CD^2 - GX^2 = CA\cdot CP - XA\cdot XO= OS\cdot SP
Entonces EH\cdot HD = OS\cdot SP.
Por definición de DF, \ \dfrac{DE}{AB}=\dfrac{AB}{DF}, y entonces \dfrac{DE}{DF}=\dfrac{DE^2}{AB^2}=\dfrac{CD^2}{CA^2} =\dfrac{CP\cdot CA}{CA^2} = \dfrac{OS\cdot SP}{OS^2}, porque \dfrac{CP}{CA} = \dfrac{SP}{OS}. Y entonces \dfrac{DE}{DF}=\dfrac{EH \cdot HD}{OS^2}.
Por otro lado \dfrac{DE}{DF} = \dfrac{EH}{HL} = \dfrac{EH\cdot HD}{HD \cdot HL}.
Entonces HD\cdot HL = OS^2 = GH^2.

Demostramos ahora que GH=GW.
Como GW y AB son paralelas, GX^2 = WY^2, y entonces AX\cdot OX= AY\cdot YZ.
Por tanto \dfrac{OX}{YZ} = \dfrac{AY}{AX} = \dfrac{XB}{YB}, porque \triangle BZY \simeq \triangle BOX. Entonces \dfrac{AY-AX}{AX} = \dfrac{XB-YB}{YB}, es decir \dfrac{XY}{AX}=\dfrac{XY}{YB},
y AX = YB.
Como C es el punto medio de AB, \ XC=CY y GH=HW.
ED es media proporcional de AB y AN, porque su mitad CD es media proporcional de AB/2=AC y AN/2=CP, puesto que por definición de la elipse CD^2 = AC\cdot CP.

El συμπτωμα de la elipse (I.13)

El “symptoma” (συμπτωμα) de una curva era, en la antigua geometría griega, la propiedad característica que define la curva.

Como se ha visto en I.7, la sección de un cono oblicuo VCD por un plano ABM, que no pasa por el vértice del cono, es una curva que tiene un diámetro EH.

En la proposición I.13 de las Cónicas, Apolonio obtiene la relación entre el cuadrado de las ordenadas SM^2 y la distancia EM entre el vértice {}E de la curva y la interseccion {}M de la ordenada con el diámetro, cuando el diámetro EH corta a un mismo lado del vértice V al triángulo axial VCD, intersección del plano axial (que contiene al vértice V y al diámetro CD de la base perpendicular a la recta AB intersección del plano secante con el plano de la base) con el cono.

Por Euclides II.14, SM^2 = LM\cdot MN. Trazamos la paralela VW al diámetro EH por el vértice del cono, que estará en el plano axial VCD.
Sea ER perpendicular a EH y tal que \dfrac{ER}{EH}=\dfrac{CW\cdot DW}{VW^2}. Como \triangle ELM \simeq \triangle VCW, \ \ \dfrac{CW}{VW}=\dfrac{LM}{EM}.
Y  \triangle HNM \simeq  \triangle HDI \simeq \triangle VDW,
entonces \dfrac{DW}{VW}=\dfrac{NM}{HM}.
Por tanto \dfrac{ER}{EH}=\dfrac{LM\cdot NM}{EM\cdot HM}=\dfrac{SM^2}{EM\cdot HM}
Y como \dfrac{ER}{EH}=\dfrac{MZ}{HM}, tenemos que
el cuadrado de la ordenada SM^2 = EM\cdot MZ, donde Z es la intersección de RH con la perpendicular a EH por M.

Entonces la curva queda definida por el siguiente “symptoma”:
La curva tiene un diámetro finito y una dirección de ordenadas arbitraria.
El rectángulo que resulta de aplicar el cuadrado sobre una ordenada al segmento del diámetro entre el vértice de la curva y la ordenada, deja sobre un segmento fijo perpendicular al diámetro, el lado recto, un defecto (el rectángulo gris de la siguiente figura) semejante al rectángulo formado por el lado recto y el diámetro.

La siguiente figura en Geogebra, donde los dos cuadriláteros de igual color tienen igual área, ilustra la definición.
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