Apolonio I.6, I.7

I.6
Sea una superficie cónica, en general oblicua, con vértice V.
Un plano que contenga al eje de la superficie corta a la base del cono en un diámetro CD.
Llamamos triángulo axial al triángulo VCD que es intersección de un plano que contiene al eje de la superficie con el cono.
Si desde un un punto S de la superficie cónica trazamos una recta paralela a una perpendicular a CD, la recta corta a la superficie en otro punto T, y el punto medio M de ST está en el triángulo axial.

I.7
Sea un plano ABM que corta a la superficie cónica y sea la recta AB la intersección de ese plano con el plano de la base del cono. Sea CD el diámetro de la base perpendicular a AB. Sea EH la recta intersección del plano secante ABM con el plano axial VCD.
Esa recta EH es diámetro de la sección cortada por el plano ABM en la superficie cónica, con ordenadas paralelas a AB.
Si el cono es recto esas ordenadas serán perpendiculares al diámetro EH, y si el cono es oblicuo las ordenadas son perpendiculares al diámetro solo cuando el plano axial VCD sea perpendicular a la base del cono.

(La recta EH puede cortar a la superficie en dos puntos a un mismo lado del vértice como en la figura, en un punto a un lado y en otro al otro lado del vértice, caso de la hipérbola, o en un solo punto, caso de la parábola)

Sobre división de las figuras

Proclo dice en su comentario al libro I de los Elementos:
Hay muchos otros escritos matemáticos de Euclides, abundantes en conocimientos científicos y en una sorpendente precisión. Tales son su Optica, su Catróptica, sus Elementos de Música, y su pequeño libro Sobre Divisiones. (69)
…..
El círculo, por ejemplo, y toda figura rectilínea, puede ser dividido en partes diferentes en definición o noción, esto de hecho es tratado por el autor de los
Elementos en sus Divisiones, donde divide figuras dadas, en unos casos en figuras análogas y en otros en desemejantes. (144)

No nos ha llegado ningún manuscrito griego de la obra Sobre Divisiones, pero, a mediados del siglo XIX, Franz Woepcke descubrió un manuscrito árabe en la biblioteca nacional de París, con un tratado Sobre División de las Figuras expresamente atribuido a Euclides. El tratado consta de 36 proposiciones de las que el manuscrito da el enunciado, y la demostración de cuatro de ellas.
Como esas demostraciones también están en la obra Practica Geometricae de Leonardo de Pisa (Fibonacci), y el enunciado de otras muchas proposiciones de Fibonacci coincide con las del manuscrito árabe, R.C.Archibald propone una reconstrucción de la obra de Euclides usando las demostraciones que aparecen en Fibonacci.

La reconstrucción de Archibald, con comentario histórico y notas, está accesible en internet, por ejemplo en: http://www.gutenberg.org/ebooks/38640

——————————————————–

Francesco Filelfo

En las entradas sobre Francesco Filelfo (1398-1481) en diferentes enciclopedias en internet encontramos una sorprendente diatriba, que parece demasiado personal y exagerada:
Filelfo deserves commemoration among the greatest humanists of the Italian Renaissance, not for the beauty of his style, not for the elevation of his genius, not for the accuracy of his learning, but for his energy, and for his complete adaptation to the times in which he lived. His erudition was large but ill-digested; his knowledge of the ancient authors, if extensive, was superficial; his style was vulgar; he had no brilliancy of imagination, no pungency of epigram, no grandeur of rhetoric.
Therefore he has left nothing to posterity which the world would not very willingly let die.

En la versión castellana está suprimida la última frase.

Francesco Filelfo será recordado favorablemente en la historia de las matemáticas porque en 1427 trajo de Constantinopla a Italia un manuscrito con las Cónicas de Apolonio de Perga.
Ese manuscrito es probablemente el hoy conocido como Vaticanus Graecus 206, que contiene los cuatro primeros libros de las Cónicas y del cual son copia, directa o indirecta, todos los manuscritos griegos que tenemos de esa obra.

Apolonio I.1, I.2, I.3

Después de las primeras definiciones comienzan las proposiciones:

I.1
Las líneas rectas trazadas desde el vértice de una superficie cónica a puntos sobre la superficie están en la superficie.
Corolario. Es también evidente que si una recta se une desde el vértice a un punto en el interior de la superficie, caerá en el interior y si se une a un punto exterior estará fuera de la superficie.

I.2
Si sobre una de las dos superficies opuestas por el vértice se toman dos puntos, y el segmento entre los dos puntos prolongado no pasa por el vértice, entonces el segmento caerá en el interior de la superficie y su prolongación en el exterior.

I.3
Si un cono es cortado por un plano que pasa por el vértice, la sección del cono con el plano es un triángulo.

Apolonio VII.5

Sea, en la figura, una parábola y VL igual al lado recto correspondiente al eje VF, es decir para todo punto D de la parábola, DK2 = VK·VL.

En la proposición VII.5 Apolonio demuestra que el lado recto correspondiente a otro diámetro DH es igual al doble de EF, donde E y F son los puntos de intersección de la tangente y la normal en D con el eje, es decir en la figura HT2 = HS2 = 2EF·DH

De aquí deduce que KF es constante e igual a la mitad del lado recto VL correspondiente al eje y que el lado recto 2EF correspondiente a DH también es igual a VL más 4 veces la distancia VK.

Demostración:
Los triángulos rectángulos DIJ y EDF son semejantes.
Por tanto DJ/DI = EF/DE, y entonces, por I.49, EF es la mitad del lado recto correspondiente al diámetro con vértice D.
DK2 = EK·KF = VL·VK por ser EDF recto y la definición de la parábola.
Y como, por I.35, EK = 2VK tenemos que 2KF = VL.
Entonces 2EF = 2EK+2KF = 4VK+VL.

La proposición VII.32 es un corolario que dice que si el punto D se mueve en la parábola, el lado recto es mínimo cuando D es el vértice del eje, y crece al alejarse D de ese punto.
VII.1, VII.5 y VII.32 son las únicas proposiciones del libro VII de las Cónicas dedicadas a la parábola.

Reducción al absurdo

CREMILO.- ¿Dirás también que Zeus no sabe distinguir lo que es bueno? Vaya, se reserva para sí a Riqueza…
BLEPSIDEMO.- …y envía a Pobreza a la tierra.
POBREZA.-¡Qué telarañas tenéis en los ojos, carcamales de los días de Crono!
Zeus también es pobre, y voy a probároslo claramente. Si fuese rico, ¿cómo en los juegos Olímpicos por él establecidos, al reunir cada cinco años a toda la Hélade, había de contentarse con dar a los vencedores una sencilla corona de acebuche? Si fuese rico se las daría de oro.
CREMILO.-Lo que prueba es la grande estimación en que tiene las riquezas. Por economía, por evitar gastos, regala a los vencedores coronas de ningún valor, y se guarda las riquezas.
POBREZA.-Mil veces más vergonzosa que la pobreza es esa avaricia sórdida e insaciable que le supones.
CREMILO.-¡Que Zeus te confunda, después de coronarte con esa corona de acebuche!

(Aristófanes, Pluto, 580ss.)

Lo que se demuestra es la afición de los antiguos griegos a las coronas vegetales. Parece que en los juegos olímpicos, píticos, ístmicos y nemeos se premiaba con olivo, laurel, pino y apio, respectivamente. Y Aristófanes alguna vez aspiraría a una corona de hiedra como premio en las Dionisias.

(Datos tomados de: http://en.wikipedia.org/wiki/Olive_wreath y enlaces externos.)

Apolonio VII.1

De Apolonio a Átalo, salud.
Te adjunto el séptimo libro de las Cónicas con esta carta.
Hay en ese libro numerosas cosas, asombrosas y bellas, relativas a los diámetros y a las figuras construidas sobre ellos, detalladas. Todo esto es de gran utilidad en numerosos tipos de problemas, y se necesita en los problemas que son determinados en las secciones cónicas, que hemos mencionado, lo que será expuesto y demostrado en el libro VIII de este tratado, que es el último. Me aplicaré para enviártelo a la mayor brevedad. Salud.

1. Si se prolonga el eje de una parábola hacia el exterior de la sección hasta un punto de forma que lo que del eje caiga en el exterior de la sección sea igual a su lado recto, si se traza igualmente desde el vértice de la sección hasta la sección una recta cualquiera, y si se traza desde su extremo la perpendicular al eje, entonces la recta trazada puede el rectángulo limitado por la recta que está entre el pie de la perpendicular y el vértice de la sección, y la recta que está entre el pie de la perpendicular y el punto hasta el que se ha prolongado el eje.

Sea AB una parábola de eje AC. Prolongamos AC hasta D; sea AD igual al lado recto. Trazamos desde A una recta AB cualquiera y trazamos la recta BC perpendicular a AC. Digo que el cuadrado de AB es igual al rectángulo obtenido del producto de DC por CA.

Demostración. La recta AC es el eje de la sección, la recta BC es perpendicular y la recta AD es igual a su lado recto; el cuadrado de BC es entonces igual al rectángulo DA por AC, como se ha demostrado en la proposición 11 del libro I. Pongamos común el cuadrado de AC; tenemos que la suma de los cuadrados de AC y de CB es igual al rectángulo DA por AC más el cuadrado de AC. En cuanto a los cuadrados de AC y de CB, son iguales al cuadrado de AB; en cuanto al rectángulo DA por AC más el cuadrado de AC, es igual al rectángulo DC por CA. El cuadrado de AB es entonces igual al rectángulo DC por CA. Como queríamos demostrar.

(Apolonio de Perga, Cónicas, comienzo del libro VII).