Coeficientes binomiales y números primos

A partir de la descomposición en primos de los coeficientes binomiales, se obtienen elementalmente cotas para \pi(x), que es el número de primos menores o iguales a x.

Se pueden cambiar los números en rojo en el coeficiente binomial de la izquierda. En la casilla de la derecha aparecerá la descomposición en primos del coeficiente binomial.


En la descomposición de un coeficiente binomial en producto de factores primos,

\displaystyle \binom{n}{m} = \dfrac{n!}{m!(n-m)!} = \prod p_i^{r_i}  ,

para cada p_i, \ p_i \le n, pues ningún primo mayor que n aparece en el numerador.   No es tan evidente, pero no es difícil demostrar , que además para cada componente p_i^{r_i} de la factorización, p_i^{r_i} \le n.   [???]

Por otro lado, en la factorización de \dbinom{2n}{n} aparecerán todos los primos entre n y 2n.

A partir de estas propiedades se deduce, como se muestra a continuación, que, si \pi(x) es el número de primos menores o iguales que  x ,

 \displaystyle   \frac{2^k}{k} - 2  < \pi(2^k) < 3 \cdot \frac{2^k}{k}

Una cota inferior para  \pi(x)

Por la primera propiedad anterior:
\displaystyle \binom{n}{m} = \prod p_i^{r_i} \leq n^{\pi(n)} ,    [???]

Y por tanto
\displaystyle 2^n = (1+1)^n = \sum_{m=0}^n \binom{n}{m} \leq (n+1)n^{\pi(n)} \le (2n) n^{\pi(n)}

Si  n=2^k ,
Comparando exponentes,
 2^k \leq (k+1) +k \pi(2^k) ,
es decir
\displaystyle \pi(2^k) \geq \frac{2^k}{k} - \frac{k+1}{k} > \frac{2^k}{k} - 2 .

Una cota superior para  \pi(x)

Por la segunda observación hecha en la introducción:

\displaystyle n^{\pi(2n)-\pi(n)} \leq \prod_{n < p \leq 2n} p \leq \binom{2n}{n} < 2^{2n}.     [???]
Si  n = 2^{k-1}, k \geq 1,
y comparando exponentes,
 (k-1)(\pi(2^k)-\pi(2^{k-1})) < 2^k ,
o
 k\pi(2^k) < (k-1)\pi(2^{k-1}) + \pi(2^k) + 2^k ,
y como   \pi(2^k) \leq 2^{k-1} ,
 k\pi(2^k) < (k-1)\pi(2^{k-1}) + 3 \cdot 2^{k-1} .

Usando esta última desigualdad se obtiene por inducción que

  \pi(2^k) < 3 \cdot \dfrac{2^k}{k} .     [???]

Corolarios

De 2^n  \leq (n+1)n^{\pi(n)} se deduce también, tomando logaritmos, que para  n > 2,

  \pi(n) > \dfrac{2}{3} \cdot \dfrac{n}{\ln n} .    [???]
Y de   \pi(2^k) < 3 \cdot \dfrac{2^k}{k} se deduce que
\displaystyle \pi(x) < 6 \ln 2 \cdot \frac {x}{\ln x} < 4.16 \cdot \frac {x}{\ln x}.     [???]
Por tanto hemos demostrado que

 \displaystyle A \cdot \frac{x}{\ln x} < \pi(x) < B \cdot \frac{x}{\ln x}

con  A=0,666 y  B=4,16 , para x > 3.     [Nota histórica]

De esto se deduce que si p_n es el n-ésimo primo,

 0.24 \cdot n \ln n < p_n  < 3  \cdot n \ln n     [???]

Y también se concluye de lo anterior que los primos son infinitos.

Esta entrada participa en la Edición 3.141592 del Carnaval de Matemáticas cuyo anfitrión es el blog ZTFNews.org.

Las paradojas de Erycino

Se supone que las matemáticas son consistentes, y por tanto no tienen contradicciones, pero, como ya observaron los antiguos griegos, sí tienen algunos resultados a primera vista contrarios a la intuición común.

Pappus de Alejandría, en el libro III de su “Colección matemática“, presenta unas proposiciones que dice ha tomado de las “Paradojas” de Erycino, del que no tenemos otra noticia.

Un grupo de resultados, que Pappus expone, se derivan del hecho de que podemos construir un triángulo, o cualquier polígono, de perímetro tan grande como queramos con un área tan pequeña como queramos. Por ejemplo (Pappus III.40):
Dado un paralelogramo y cualquier número N, construir un paralelogramo cuyos lados sean, cada uno, N veces los lados del primero y cuya área sea una parte tan pequeña como queramos del área del primer paralelogramo.

El otro grupo de resultados tomados de Erycino se refieren a que en el interior de una línea quebrada situada sobre una base, podemos construir otra con el mismo número de segmentos y longitud total mayor.

Pappus demuestra (III.30) que si un triángulo es equilátero o isósceles con la base menor que los lados iguales, no existe un punto en el interior del triángulo desde el que es posible trazar segmentos interiores hasta la base cuya suma de longitudes sea igual que la de los lados, pero que en otro caso siempre existen puntos en el interior del triángulo con esa propiedad. (III.29)

Si AB > AC, existe en el lado AB un punto F tal que BF = (AB+AC)/2. Sea P un punto en el interior del triángulo y situado por encima de F. Trazamos PJ paralela a AB. Pappus demuestra que la circunferencia con centro P y radio AB+AC-PJ corta al segmento JC en un punto L. Entonces AB+AC=PJ+PL.

A continuación Pappus muestra como proceder en el caso de que la base BC > AB=AC, y demuestra que si desde un punto interior se pueden trazar segmentos a la base cuya suma es igual a la de los lados sobre la base, también existe un punto interior y segmentos desde él a la base cuya suma es mayor que la de los lados (III.31).

Pappus prosigue en III.32:
Como todo esto parece paradójico a los que no conocen la geometría, parecerá todavía más paradójico, no solo que la suma de los segmentos situados en el interior pueda igualar o superar a la suma de los segmentos exteriores sino también que cada uno de los segmentos interiores pueda igualar a superar a cada uno de los segmentos exteriores.

Y Pappus demuestra que si la base BC > AB > AC es posible realizar esa construcción:

Tomamos un punto P en el interior del triángulo y en la circunferencia con centro B que pasa por A. Entonces la circunferencia con centro P y radio AC corta a BC en un punto E, y AB=PB y AC=PE. (III.33).
Si P está en el interior del triángulo y fuera de la circunferencia con centro B, podemos obtener segmentos interiores mayores respectivamente que los exteriores.

Pappus concluye la exposición de Erycino extendiendo las “paradojas” al caso en que las líneas quebradas exterior e interior tienen más de dos segmentos.


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Areas de polígonos a partir de lados y diagonales

Por la fórmula de Herón, si a,b,c son las longitudes de los lados de un triángulo y P es su área, 16 P^2 = 2a^2b^2 + 2b^2c^2 + 2c^2a^2 - a^4 - b^4 - c^4.
Von Staudt publicó en 1842 una curiosa generalización:

Sean dos polígonos planos P y Q con vértices A_1\ldots A_n y B_1\ldots B_m, y sea \phi el ángulo entre los planos en que están los polígonos.
El producto de las áreas de los dos polígonos es función de los cuadrados de las distancias entre los vértices de un polígono y los del otro, según la fórmula de Von Staudt1:

(Siendo en la fórmula A_{n+1} = A_1, B_{m+1} = B_1, y análogamente en lo que sigue).
Cada término A_iB_j^2\cdot A_{i+1}B_{j+1}^2 - A_{i}B_{j+1}^2 \cdot A_{i+1}B_{j} ^2 del sumatorio relaciona dos lados a_i = A_iA_{i+1} y b_j = B_jB_{j+1}, y en total tenemos una suma de 2mn términos.

Entonces si m=n y A_i = B_i, los dos polígonos coinciden, y 16P^2 es la suma de (considerando las relaciones entre los lados a_i = A_iA_{i+1} y a_j = A_jA_{j+1}):

  • n términos de la forma -a_i^4, resultado de la relación de un lado consigo mismo,
  • n términos de la forma 2a_i^2a_{i+1}^2, resultado de la relación de lados consecutivos y
  • n(n-3) términos de la forma \pm 2x^2y^2 resultado de la relación entre dos lados no consecutivos, donde x,y^{\ } son lados o diagonales.

Por tanto podemos expresar 16P^2 como la suma de n(n-1) términos.
Para los polígonos de 3, 4, 5 y 6 lados resultan las fórmulas siguientes.

Triángulo y cuadrilátero:

Pentágono:

Hexágono:


1“Theorèmes sur les aires des polygones et les volumes de polyèdres” d’après M.Staudt. Nouvelles annales de mathematiques (1852), P. 299-304.

Von Staudt, “Ueber die Inhalte der Polygone und Polyeder”, Journal für die reine und angewandte Mathematik (J.de Crelle) Band 24 (1842) , p.252-256.

Piero della Francesca y el volumen del tetraedro


Piero della Francesca, Flagelación de Cristo.

La Wikipedia, entre otros sitios, nos cuenta erróneamente que Tartaglia descubrió la siguiente fórmula que da el volumen de un tetraedro a partir de las longitudes de sus seis aristas:
288 \cdot V^2 =\begin{vmatrix}  0 & 1        & 1        & 1        & 1        \\  1 & 0        & d_{12}^2 & d_{13}^2 & d_{14}^2 \\  1 & d_{12}^2 & 0        & d_{23}^2 & d_{24}^2 \\  1 & d_{13}^2 & d_{23}^2 & 0        & d_{34}^2 \\  1 & d_{14}^2 & d_{24}^2 & d_{34}^2 & 0\end{vmatrix}, donde d_{ij} es la distancia entre los vértices i y j.
Es evidente que Tartaglia no pudo imaginar ningún determinante, pero lo que viene al caso es que Tartaglia, en lo relativo al volumen del tetraedro, se limitó, en su “General trattato di numeri et mesure“, a reproducir resultados que aparecen en los tratados “Summa…” y “Divina proportione” de Luca Pacioli, quien los copió de los tratados “Trattato dell’abaco” y “Libellus de quinque corporibus regularibus” de Piero della Francesca.

En el interesante sitio “Mathpages” se asigna a Piero della Francesca la siguiente fórmula:

(Tomada de Von Staudt, en “Nouvelles annales de mathematiques (1852), P. 299-304“.)

Pero la asignación de esa fórmula a Piero della Francesca no tiene base. Esas fórmulas fueron descubiertas por Cayley (1841) y Von Staudt (1843), y afirma Sylvester que no parecen tener antecedentes.

Es cierto que Piero della Francesca dio un procedimiento para obtener el volumen del tetraedro a partir de las longitudes de las aristas, pero ese procedimiento está alejado de una fórmula como las anteriores.

El área de un triángulo a partir de sus lados

Piero comienza el “Libellus de quinque corporibus regularibus“, obteniendo la altura de un triángulo a partir de sus lados, usando los resultados de las proposiciones II.12 y II.13 de los “Elementos” de Euclides, que hoy se formulan como el “teorema del coseno”.

Sea un triángulo ABC, \  AB la base y CD la altura. Entonces
BC^2 + 2 AB\cdot AD = AB^2 + AC^2 (Euclides II.13).
Y por tanto podemos obtener AD a partir de los lados. Conocido AD, obtenemos CD = \sqrt{AC^2 - AD^2}, y a partir de aquí tenemos el área S= AB\cdot CD/2.

Piero da instrucciones detalladas de los cálculos para el triángulo de lados 13,14,15 y obtiene AD=5 y CD=12, y para la altura desde A, 11 \frac{1}{5}.

El volumen de un tetraedro a partir de sus aristas

De la misma forma que en el apartado anterior, y utilizando las mismas herramientas, obtiene Piero, en el problema 10 del libro II del “Libellus“, la altura de un tetraedro a partir de sus aristas.
A partir de ahí podemos obtener el volumen como la tercera parte del producto de la altura por el área de la base, que obtenemos a partir de sus lados como en el apartado anterior.

Sea un tetraedro como en la figura. El plano que pasa por B y es perpendicular a AD corta en los planos ABD y AFD rectas GB y GH perpendiculares a AD.
Entonces BG es una altura de BAD, que podemos obrtener a partir de sus lados como en el apartado anterior, y GH es paralela a la altura FE.
Haciendo GH = FE, GHFE es un rectángulo y por tanto HF = GE = DG – DE es una cantidad obtenible a partir de los lados.
Además el ángulo BHF es recto, porque el plano BGH es perpendicular a HF, paralela a AD, y como hemos obtenido HF y tenemos BF, podemos obtener BH.

Hemos obtenido entonces, a partir de las aristas del tetraedro, los lados del triángulo BGH. Finalmente obtenemos la altura BK de ese triángulo, que es la altura del tetraedro, a partir de los lados BG,BH,GH, una vez más como en el apartado anterior.

Piero della Francesca expone el procedimiento con un ejemplo numérico concreto, que es el mismo que usa Tartaglia, casi un siglo después, en “General trattato, quarta parte, libro secondo, capo iiii,10“. Pero Tartaglia comete un error en el resultado intermedio: \sqrt{305\frac{3}{49}}, en lugar del correcto que da Piero: \sqrt{305\frac{31}{49}}. A partir de ahí los resultados de Tartaglia están mal. El resultado obtenido por Piero en el “Libellus” para la altura BK es \sqrt{240\frac{271216}{1382976}},   si, en la figura, DF=13, AB=20, AD=14, BF=16, AF=15, DB=18.

Piero della Francesca y Tartaglia llaman a la altura del triángulo “cateto” o “perpendicular” y a la altura del tetraedro “eje (assis)”.

Demostración por inducción

La demostración por inducción más antigua, puesta por escrito, parece ser la que aparece en el diálogo ‘Parménides’ de Platón:

- En consecuencia es necesario que haya, como mínimo, dos términos para que pueda darse un contacto.
- Es necesario.
- Pero si a esos dos términos se les añade a continuación un tercero, los términos serán tres y los contactos serán dos.
- Sí.
- De este modo siempre que se añade una unidad, se añade siempre también un contacto, y de ello se sigue que los contactos serán inferiores por uno a la suma numérica de los términos. En efecto, así como los dos primeros términos excedían a los contactos por ser su número mayor que el de los contactos, así también, en igual medida, la suma numérica de los términos excederá a la suma de todos los contactos, puesto que, cuando sucesivamente se añada uno al número, se añadirá simultáneamente un contacto a los contactos.
- Es cierto.
- Así, sea cual fuere el número de las cosas que son, sus contactos serán siempre menores que ellos por uno.
- Es verdad.

(Platón. Parménides 149b)