Un pasaje de la Metafísica

Aristóteles, en el libro IX de la Metafísica, escribe:

Por otra parte, también los teoremas geométricos se descubren al realizarse en acto. Los encuentran, en efecto, al realizar las divisiones correspondientes. Y si las divisiones estuvieran ya realizadas, serían obvios, pero están contenidos solamente en potencia. ¿Por qué los ángulos del triángulo equivalen a dos rectos? Porque los ángulos alrededor de un punto son iguales a dos rectos. Y, ciertamente, si se traza la paralela a uno de los lados, para quien lo contemple será inmediatamente evidente. Y ¿por qué un ángulo inscrito en un semicírculo es recto en todos los casos? Porque si se trazan tres líneas iguales, la base compuesta por dos de ellas y la recta trazada desde el centro, resultará obvio para quien lo contemple, si conoce el teorema anterior. Conque es evidente que los teoremas, que están potencialmente, se descubren al ser llevados al acto. (Aristóteles. Metafísica IX,9 (1051a).)1

Las figuras a que alude Aristóteles parecen claras, y, en efecto, hacen evidente y obvio, como dice, que esas proposiciones son verdaderas.

Sin embargo T.L.Heath2, siguiendo la traducción de Ross, en la segunda proposición lee “la perpendicular trazada desde el centro”, en lugar de “la recta trazada desde el centro”. lo que da lugar a una figura (aquí, parte 9) que no hace obvia a esa segunda proposición, ni la hace dependiente de la primera.

El texto griego dice ““, literalmente “la desde el medio puesta erguida”, y no usa la palabra “καθετοσ“, “perpendicular” , sino “ορθη“, “erguida” o “recta”, lo que no desautoriza la traducción por “perpendicular” (como en Ross, pero sería mejor “upright”), pero admite también, y es mejor en el contexto, la traducción “erigida” o “recta” (desde el centro al punto en la semicircunferencia), como más arriba.

En cualquier caso, los textos de Aristóteles son los más antiguos que tenemos donde se mencionan esos teoremas, el segundo atribuido a Tales de Mileto por Pánfila de Epidauro y demostrados en las proposiciones I.32 y III.31 de Euclides.


1 – Cita tomada de la traducción de Tomás Calvo Martínez, en la 1ª edición de la Biblioteca Clásica Gredos.
2 – T.L.Heath, Mathematics in Aristotle, 1998. p.73.

Dominios euclídeos

En la proposición primera del libro VII de los Elementos, el primero de los tres dedicados a lo que hoy se llama teoría de números, Euclides presenta el hoy conocido como algoritmo de Euclides, que permite obtener el máximo común divisor de dos números.
En la proposición 30 del libro VII, Euclides deduce que si p es primo y p divide a ab, entonces p divide a a ó p divide a b, de donde se puede obtener el teorema de descomposición única en producto de factores primos, llamado teorema fundamental de la aritmética.

Siguiendo los pasos de Euclides, hoy se demuestra que un dominio de integridad que tenga un algoritmo de división es un dominio de factorización única.

A continuación está esbozada la demostración de ese hecho que dan Oscar Zariski y Pierre Samuel en su “Commutative Algebra” (Ch.I.$14,$15.):
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Media armónica de áreas

Tres cevianas que se cortan en el interior de un triángulo dividen a este en seis triángulos, que coloreamos como en la figura.

Sea cual sea el punto en que se cortan las cevianas, la media armónica de las áreas de los triángulos verdes es igual a la media armónica de las áreas de los triángulos marrones.


La proposición anterior se debe a Amédée Mannheim y es una consecuencia de que en la figura de la izquierda la media armónica de las áreas de los dos triángulos coloreados es constante.

Fuente: F.G.-M. Exercices de géométrie, p.758.


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Metae

Las “metae” (plural de “meta”, sustantivo latino de la primera declinación) eran, en la antigua Roma, los mojones cónicos, y en particular los que estaban instalados en el circo, como los tres que se ven en esta imagen1:

Para designar la forma cónica, los antiguos griegos usaron la palabra “κωνοσ”, que significaba “piña”.
Los romanos tomaron “conus” del griego, y la palabra aparece por ejemplo en Lucrecio:
Y una galería, aunque a la postre sea de trazado parejo y derecha se apoye sin interrupción sobre columnas iguales, no obstante, cuando se la ve entera en su largura desde un extremo, poco a poco va formando la cúspide de estrecho cono, juntando techo con suelo y la parte derecha toda con la izquierda hasta venir a parar en confuso vértice de cono (in obscurum coni conduxit acumen). (Lucrecio, La naturaleza, IV.430)

Pero para designar la forma cónica, la palabra tradicional y habitual en Roma era “meta”, que significaba “mojón”2.
Es la palabra que usa Tácito para describir la imagen de Afrodita en Pafos, y también es usada en Tito Livio:
El promontorio de Mioneso está entre Teos y Samos. En sí es una colina en forma de cono (in modum metae) que se alza sobre una base bastante ancha rematando en punta… (Tito Livio, Historia de Roma, XXXVII,27.)

O en Plinio el Viejo:
El eclipse de luna expresa la dimensión del sol con un argumento irrefutable, igual que el propio eclipse de éste muestra la pequeñez de la tierra. En efecto, dado que hay tres formas de sombra y consta: que si el objeto que la produce es igual a la luz, la sombra se proyecta en forma de columna y no tiene fin; que, en cambio, si el objeto es mayor que la luz, se produce en forma de una peonza derecha, de suerte que su pico inferior será muy fino e igualmente su longitud infinita; y que si el objeto es menor que la luz, origina la imagen de un cono (metae existere effigiem) con su extremo terminado en punta, tal como es la sombra que se ve cuando se eclipsa la luna, entonces ocurre evidentemente, sin que quepa la menor duda, que el sol sobrepasa el tamaño de la tierra. (Plinio el Viejo, Historia natural, II.11,51)

Puesto que la ciencia fue un invento griego y no romano, hoy decimos “secciones cónicas” y no “secciones méticas”.


1 – La imagen está tomada de:
http://penelope.uchicago.edu/~grout/encyclopaedia_romana/circusmaximus/metae.html
Otra imagen de metae en los extremos de la spina de un circo:
http://penelope.uchicago.edu/~grout/encyclopaedia_romana/circusmaximus/lyon.html

2 – La palabra latina “meta” proviene de la raiz proto-indoeuropea *med-, de donde proviene también el griego μετρον


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El teorema de Dositeo

(‘dusitaus‘)

Dositeo, quizá de Pelusio, fue corresponsal de Arquímedes en Alejandría tras la muerte de Conón, y, hasta las ediciones del manuscrito árabe del tratado “Sobre los espejos ustorios”, de Diocles, en 19761 y 20022, sólo era conocido por eso y por ser citado en algunos almanaques griegos antiguos.

En el prólogo de “Sobre los espejos ustorios”, Diocles dice:
“El astrónomo Hipodamos, cuando llegó a Arcadia, nos preguntó como encontrar la superficie de un espejo tal que, cuando se la pone de cara al sol, los rayos reflejados sobre ella se encuentran en un punto y por tanto queman.
Queremos mostrar la solución de lo pedido por Pition e Hipodamos y para ello usaremos lemas establecidos por nuestros predecesores.
Uno de estos problemas, a saber, aquél en que se pide la construcción de un espejo tal que los rayos se encuentren en un solo punto, ha sido resuelto por Dositeo
.(2,p.98.)

De aquí podemos concluir que Dositeo fue el descubridor de la propiedad de reflexión focal de la parábola3, y el primero que la demostró.

El argumento de Dositeo

Diocles dice a continuación:
“Hemos mostrado la composición de las demostraciones y las hemos aclarado”.

De donde se puede conjeturar que Diocles formalizó el argumento dado por Dositeo elaborando la síntesis (=composición) a partir del análisis de Dositeo, y añadiendo detalles, y por tanto que el argumento que da Diocles, que expongo a continuación, es el argumento original de Dositeo y, en cualquier caso, la demostración más antigua (del siglo III a.C.) que tenemos de la propiedad de reflexión de la parábola.

Diocles asume conocidas las propiedades de la tangente y de la normal de la parábola, es decir, en la figura, EG=GH, y HF es constante e igual a la mitad del lado recto. A partir de aquí Diocles detalla el siguiente paso:
Si C es el punto situado en el eje a una distancia del vértice G igual a la cuarta parte del lado recto, entonces C es el punto medio de la hipotenusa EF del triángulo rectángulo EDF.
Y Diocles concluye que \triangle CDF es isósceles y \angle CDF = \angle CFD. Pero \angle CFD es igual al alterno \angle FDI, entonces \angle CDF = \angle FDI y el rayo ID se refleja en DC.

Es una demostración sencilla pero algo sofisticada, porque usa la propiedad de la normal de la parábola, conocida en el siglo III a.C. según Apolonio en el prólogo a Cónicas V, y que se puede comparar con la demostración que da el fragmento bobiense, en una época de decadencia de la ciencia.


1 – G.J.Toomer, Diocles on Burning Mirrors, Springer-Verlag 1976. (Fotocopia del manuscrito, edición del texto árabe y traducción al inglés.)

2 – Roshdi Rashed, Les catoptriciens grecs, Les Belles Lettres 2002. (Edición del texto árabe y traducción al francés.) Rashed (p.ix) dice de la edición y traducción de Toomer que es “déconcertante et étonnamment fautive” (desconcertante y asombrosamente defectuosa).

3 – La parábola era denominada en en el siglo III a.C. ‘sección del cono rectángulo’ y la palabra ‘foco’ fue introducida por Kepler en el siglo XVII.


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El triángulo órtico

El triángulo órtico de un triángulo ABC es el que tiene por vértices los pies H_A, H_B, H_C de las alturas de \triangle ABC.

En la figura los ángulos del mismo color son iguales, porque, por ejemplo, \angle BH_BC y \angle CH_CB son rectos y la circunferencia de diámetro BC pasa por H_C y H_B, y por tanto BC y H_BH_C son antiparalelas respecto a AB y AC, y \angle AH_CH_B = \angle ACB, etc.

Por tanto los triángulos AH_BH_C, BH_CH_A, CH_AH_B son semejantes entre sí y semejantes al triángulo ABC.

Una consecuencia es que las alturas de \triangle ABC son las bisectrices interiores de su triángulo órtico (y los lados de \triangle ABC las exteriores) y por tanto el ortocentro del triángulo ABC es el incentro de su triángulo órtico.
Esta propiedad fue descubierta por Giovanni Francesco Fagnano. (No confundir con su padre Giulio Carlo).

Giovanni Fagnano demostró también que el triángulo órtico es el de menor perímetro que es posible inscribir en un triángulo acutángulo ABC.
La siguiente demostración se debe a L. Féjer.

De los triángulos inscritos que tienen un vértice fijo D en el lado AB, el de menor perímetro es aquel cuyo lado opuesto pasa por los simétricos D' y D'' de D respecto a AC y BC, pues el perímetro de ese triángulo DGH es igual al segmento D'D'' y el de otro triángulo DEF es la linea quebrada D'EFD'' mayor que D'D''.

Se trata entonces de encontrar el punto D en AB que hace mínima la longitud D'D''.

El triángulo D'CD'' es isósceles pues CD' y CD'' son los simétricos de la ceviana CD respecto a AC y BC. Además el ángulo D'CD'' es el doble del ACB y por tanto constante cuando D se mueve sobre AB.

Entonces al moverse D sobre AB, los triángulos D'CD'' que resultan son semejantes y el lado D'D'' será el mínimo cuando CD', es decir CD, sea mínimo, y eso sucede cuando CD es perpendicular a AB, es decir cuando D es el pie de la altura desde C.

Como el triángulo inscrito que resulta es el de perímetro mínimo de todos los que es posible inscribir en \triangle ABC, los otros vértices de ese triángulo inscrito mínimo serán los pies de las otras alturas, pues el argumento anterior se aplica igual a los otros lados.

Antiparalelas

Dadas dos rectas, si una transversal forma los mismos ángulos con ellas que otra, las dos transversales son paralelas si los mismos ángulos son con las mismas rectas, o antiparalelas, respecto a las dos rectas dadas, si los mismos ángulos no son con las mismas rectas.

Si dos transversales son antiparalelas respecto a dos rectas de referencia, las rectas de referencia son antiparalelas respecto a las transversales.
Y dos rectas antiparalelas a una tercera son paralelas entre sí.

Pero el hecho importante sobre las antiparalelas es que los 4 puntos de intersección con las 2 rectas de referencia están en una misma circunferencia, y, recíprocamente, en un cuadrilátero inscrito en una circunferencia, dos lados opuestos son antiparalelos respecto a los otros dos.

En la figura las rectas de un mismo color son antiparalelas respecto a las de otro color.

Por ejemplo \angle GCE = \angle EFD porque \angle GCE es suplementario de \angle ECD, que es suplementario de \angle EFD, por Euclides III.22.
Y \angle GCF = \angle HED porque sus suplementarios, \angle DCF y \angle DEF, son iguales, por Euclides III.21.

No mayor que la media de adyacentes

Secuencias 0,...,, con términos
no superiores a la media de los dos adyacentes.

0 10
0 1 10
0 2 10
0 1 2 10
0 3 10
0 1 3 10
0 1 2 3 10
0 4 10
0 1 4 10
0 2 4 10
0 1 2 4 10
0 1 2 3 4 10
0 5 10
0 1 5 10
0 2 5 10
0 1 2 5 10
0 1 3 5 10
0 1 2 3 5 10
0 1 2 3 4 5 10
0 2 6 10
0 1 2 6 10
0 3 6 10
0 1 3 6 10
0 1 2 3 6 10
0 2 4 6 10
0 1 2 4 6 10
0 1 2 3 4 6 10
0 1 2 3 4 5 6 10
0 1 4 7 10
0 2 4 7 10
0 1 2 4 7 10
0 1 2 3 4 7 10
0 1 3 5 7 10
0 1 2 3 5 7 10
0 1 2 3 4 5 7 10
0 1 2 3 4 5 6 7 10
0 2 4 6 8 10
0 1 2 4 6 8 10
0 1 2 3 4 6 8 10
0 1 2 3 4 5 6 8 10
0 1 2 3 4 5 6 7 8 10
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
El recuadro adjunto, donde se puede cambiar el número en rojo N por cualquier número entre 1 y 24, lista todas las secuencias que comienzan en 0 y terminan en N, y cada uno de los otros términos es un entero positivo no mayor que la media de sus dos adyacentes.

Una observación, casi trivial, es que el número de secuencias con esa propiedad, que comienzan en 0 y terminan en N, es igual al número de particiones de N.