Una construcción de ‘s Gravesande

La proposición I.31 de los “Elementos” de Euclides es el problema de trazar por un punto dado una paralela a una recta dada.

Willem ‘s Gravesande, en “Matheseos universalis elementa” (1727) mostró como resolver el problema usando solamente la regla (“sine circuli operatione”), si en el plano tenemos trazado un paralelogramo dado.

Gravesande formula el problema así:

y la figura correspondiente es:


Se trata de trazar por el punto dado A una paralela a una recta dada BF, si disponemos solo de la regla y de un paralelogramo dado IKLM.

Construcción:
Obtenemos F,E,C,B, intersecciones de LM,KM,IM,KL con BF. Sea D la intersección de IK con AB, y G la intersección de AC con ED. Sea H la intersección de IK con FG.
Entonces la recta AH es paralela a BF.

Demostración:
Sea N la intersección de ED con {}FL.
Como IK es paralela a {}FL, \triangle ENM \simeq \triangle EDK y EN/ED = EM/MK.
Como \triangle EMC \simeq \triangle EKB, EM/EK = EC/EB, y por tanto EN/ND = EC/EB y NC, DB son paralelas. Entonces \triangle GNC \simeq \triangle GDA y GD/GN = GA/GC.
También, como IK y {}FL son paralelas, \triangle GDH \simeq \triangle GNF y GD/GN = GH/GF y por tanto GA/GC = GH/GF y AH es paralela a CF.

Frisos numéricos

Frisos aditivos

En la figura siguiente, para cada 4 números , a + d = b + c + 1.

Para construir la figura anterior, partimos de un marco que son las filas superior e inferior de ceros, prolongadas indefinidamente a izquierda y derecha.
A continuacion establecemos una base que es una secuencia de ceros en zigzag que conecta las filas superior e inferior del marco.

Una vez establecidos el marco y la base, aplicamos la regla a+d=b+c+1 para rellenar el resto de casillas, obteniendo cada vez un cuarto número a partir de tres ya establecidos.

Resulta que, sea cual sea el número de filas del marco y el zigzag de la base, siempre resulta una configuración de enteros no negativos que se repite, lo que no es difícil demostrar.

Frisos multiplicativos

En la figura siguiente, para cada 4 números , a\cdot d = b\cdot c + 1.

Para construir la figura anterior, partimos de un marco que son las filas superior e inferior de unos, prolongadas indefinidamente a izquierda y derecha.
A continuacion establecemos una base que es una secuencia de unos en zigzag que conecta las dos filas del marco.

Una vez establecidos el marco y la base, aplicamos la regla a\cdot d=b\cdot c+1 para rellenar el resto de casillas a partir de la base, obteniendo cada vez un cuarto número a partir de tres ya establecidos.

Sorprendentemente, aplicando esa regla siempre se obtienen enteros positivos y resulta una configuración de números que se repite. La demostración no es tan fácil como la del caso aditivo. Puede ayudar que estos frisos tienen además la propiedad de que cada término es divisor de la suma de los adyacentes en una misma diagonal.

Además, en estos frisos multiplicativos la reflexión respecto a la linea central del friso seguida de una traslación da el mismo friso.

Generador de frisos

Friso:
Aditivo
Multiplicativo

Presentación:
Rejilla
Colores


Pulse uno de los botones de arriba.

Al pulsar ‘Automático’ se generará una base en zigzag al azar, si no está generada.
Al pasar el cursor entre cuatro números construidos, aparece en la parte superior derecha la comprobación de la regla de formación.

Geometría del infierno

Antonio Manetti, arquitecto y matemático florentino, estudió la forma y figura del Infierno, según la descripción de Dante, y dibujó su planta, alzado y perspectiva de una sección.

Dante parece haberse inspirado, en su descripción del infierno, en la escatología musulmana , como señala Asín Palacios en “La escatologia musulmana en la Divina comedia”. En particular, el místico murciano Ibn Arabi dibujó, antes de que naciese Dante, la planta del Infierno que se puede ver en la página 120 de esa obra:

La descripción cuantitativa del Infierno por Manetti es precisada por Galileo Galilei en sus “Due lezioni all’Accademia fiorentina circa la figura, sito e grandezza dell’inferno di Dante” (versión italiana en Wikisource, y traducción inglesa aquí).

Galileo comienza:
Si es cosa difícil y admirable el haber podido los hombres por largas observaciones, con vigilias continuas, por peligrosas navegaciones, medir y determinar los intervalos de los cielos, los movimientos veloces y los tardos y sus proporciones, la magnitud de las estrellas, no menos de las vecinas que de las lejanas también, los lugares de la tierra y de los mares, cosas que, en todo o en la mayor parte, caen bajo los sentidos; cuanto más maravillosa deberíamos estimar la investigación y descripción del lugar y la figura del Infierno, sepulto en las vísceras de la tierra, oculto a todos tos sentidos, y, de nadie por ninguna experiencia conocido; donde, si bien es fácil descender, es tan difícil salir, como bien enseña nuestro poeta en el dicho:

Uscite di speranza, voi ch’entrate,
y su guía en aquel otro:

la bajada al Averno es cosa fácil. La puerta del sombrío Plutón
está de par en par abierta noche y día, pero volver pie atrás
y salir a las auras de la vida, eso es lo trabajoso, ahí está el riesgo.1
.(Galileo, Lezione prima, p.31)

Poco más adelante Galileo describe la situación y forma del Infierno:
…immaginiamoci una linea retta che venga dal centro della grandezza della terra (il quale è ancora centro della gravità e dell’universo) sino a Jerusalem, ed un arco che da Jerusalem distenda sopra la superficie dell’aggregato dell’acqua e della terra per la duodecima parte della sua maggior circonferenza: terminerà dunque tal arco con una delle sue estremità in Ierusalem; dall’altra sino al centro del mondo sia tirata un’altra linea retta, ed aremo un settore di cerchio, contenuto da le due linee che vengono dal centro e da l’arco detto: immaginiamoci poi che, stando immobile la linea che congiugne Ierusalem ed il centro, sia mosso in giro l’arco e l’altra linea, e che in tal suo moto vadia tagliando la terra, e muovasi fin tanto che ritorni onde si partì; sarà tagliata della terra una parte simile ad un cono: il quale se ci immagineremo esser cavato della terra, resterà, nel luogo ov’era, una buca in forma di conica superficie; e questa è l’Inferno.(Galileo, Lezione prima, p.34)

Queda claro que el Infierno es un cono. Galileo prosigue determinando el grosor de la bóveda y los tamaños de otros componentes.


1 – Virgilio, Eneida, VI, 126-128.

El método de la diagonal de Piero della Francesca


En el libro I de la “Prospectiva pingendi”, Piero della Francesca presenta el “método de la diagonal” para construir la proyección perspectiva de una figura situada en una base sobre un plano perpendicular a la base, cuando la figura está en un cuadrado que tiene uno de sus lados en la intersección de los planos y del que tenemos su proyección.

Para ello abatimos el plano de la base alrededor de la intersección AB de los dos planos hasta hacerlo coincidir con el plano de la proyección.
Sea ABCD un cuadrado en el plano base y ABC’D’ su proyección (el cuadrado degradado, en la terminología de Piero). BC’ y AD’ se cortan en el punto de fuga E.

Para obtener la imagen de un un punto H:
Trazamos HJ perpendicular a AB, y JE.
Trazamos HK hasta la diagonal BD, KL perpendicular a AB, y obtenemos K’ como intersección de EL y la diagonal BD’.
La paralela por K’ a AB y la recta JE se cortan en la imagen H’ de H.

Piero della Francesca ilustra el método obteniendo, entre otras, las proyecciones de algunos polígonos regulares, como se muestra en la siguiente figura GeoGebra:
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