Algunas tablas de particiones

Una partición de un número entero positivo n en k partes es una secuencia de enteros positivos (\lambda_1, \lambda_2, \ldots,\lambda_k) tal que  \lambda_1 \geq \lambda_2 \geq \ldots \geq \lambda_k ~~\mathrm{y}~~ \lambda_1 + \lambda_2 + \cdots \lambda_k = n.

Si \lambda_k = 1 y \lambda_i - \lambda_{i+1} < 2, decimos que la partición es en partes seguidas.
Sea s(n,k) es el número de particiones de n en k partes seguidas. Entonces s(1,1)=1, s(n,1)= 0 si n>1 y s(n,k) = s(n-1,k-1) + s(n-k, k-1) porque s(n-1,k-1) es el número de esas particiones que terminan en ’1 1′ y s(n-k, k-1) es el número de las que terminan en ’2 1′.

De la misma forma, considerando las particiones que terminan en 1 y las que no terminan en 1, obtenemos recurrencias para el número de todas las particiones de n en k partes, para el número de esas particiones cuyas partes son diferentes y para el número de esas particiones cuyas partes son impares.

En las tablas que siguen al colocar el cursor sobre un número de la tabla cambia el fondo. La imagen de la derecha se ha obtenido cuando el cursor estaba sobre el ’5′. Nos dice que 5 es el número de particiones de n=8 en k=3 partes, y que el 5 se ha formado por la regla de recurrencia como suma de los números que aparecen con fondo gris. El ‘Σ=5′ en rojo indica que la suma de los números de esa fila, en ese caso el número total de particiones de 4, es 5.
Al hacer clic sobre un número de particiones de n en k partes de determinado tipo, aparece en el recuadro el conjunto de esas particiones.

PULSE UNO DE LOS BOTONES DE ABAJO PARA OBTENER LOS NUMEROS DE PARTICIONES DE n EN k PARTES.

Al hacer clic sobre un número de la tabla aparece aquí el conjunto de particiones que representa.

Se observan varios hechos curiosos. El más notable es que el número total de particiones de n en partes distintas es igual al total de particiones de n en partes seguidas e igual al total de particiones de n en partes impares. Este teorema tiene muy fácil demostración, que dejamos para otra entrada.

Diofanto III.19

“Es muy bello este problema, y de rara sutileza. Aunque Xilandro trabajó mucho en él, no pudo conseguir sin embargo su completa aclaración, privado como estaba de la ayuda de los porismas que se requieren para ello. Y ya que, por consiguiente, nos dejó de buen grado el honor de explicar asunto tan oscuro, nosotros lo asumimos con sumo placer.”
Así comienza Bachet su comentario al problema 19 del libro III de la “Aritmética” de Diofanto, que dice:

“Encontrar cuatro números tales que el cuadrado de su suma, aumentado o disminuido en cada uno de ellos, forme un cuadrado.   [ Es decir encontrar x_1, x_2, x_3, x_4 tales que (\sum x_j)^2 \pm x_i = w_i^2 ]
Puesto que el cuadrado de la hipotenusa de todo triángulo rectángulo, aumentado o disminuido en el doble del producto de los catetos, forma un cuadrado, busquemos en primer lugar cuatro triángulos rectángulos con la misma hipotenusa. Lo cual equivale a descomponer de cuatro maneras diferentes un cuadrado como suma de dos cuadrados, cosa que hemos enseñado a hacer de infinitas maneras.”

Diofanto obtiene a continuación los triángulos rectángulos de lados (39,52,65), (25,60,65), multiplicando por 13 y 5 los triángulos (3,4,5) y (5,12,13) y continúa:

“Ahora bien 65 se descompone en forma natural en cuadrados de dos maneras: en 16 y 49 y en 64 y 1; lo que ocurre porque 65 es producto de 13 y 5, y cada uno de estos factores se descompone en suma de dos cuadrados. Formemos triángulos rectángulos a partir de los lados de estos cuadrados: a partir de los números 7 y 4 resulta el triángulo (33,56,65) y a partir de los números 8 y 1 el triángulo (16,63,65)..”

A partir de este párrafo podemos concluir que Diofanto conocía la identidad (a^2 + b^2)(c^2 + d^2) = (ac+bd)^2 + (ad-bc)^2,
explícitamente formulada por Al-Khazin en su discusión de este problema de Diofanto, y demostrada en el “Liber quadratorum” (1225) de Fibonacci.

A partir de los cuatro triángulos rectángulos con hipotenusa 65 común, Diofanto obtiene la solución \frac{17136600}{163021824}, \frac{12675000}{163021824}, \frac{15615600}{163021824}, \frac{8517600}{163021824}.

En general si tenemos k representaciones de n^2 como suma de dos cuadrados, n^2 = a_i^2 + b_i^2, \ i \in \{ 1\ldots k \}, y \alpha=\frac{n}{\sum 2a_jb_j}, haciendo x_i = 2\alpha^2a_ib_i, \ \sum x_j = n\alpha, y las 2k expresiones (\sum x_j)^2 \pm x_i son cuadrados de números racionales: (\sum x_j)^2 \pm x_i = n^2\alpha^2 \pm 2\alpha^2a_ib_i = \alpha^2(a_i \pm b_i)^2.


Fuente: Diofanto de Alejandría. La Aritmética. Versión castellana de M.Benito Muñoz, E.Fernández Moral y M.Sanchez Benito. Nivola 2007.


Esta entrada participa en la Edición 3.14159265 del Carnaval de Matemáticas cuyo anfitrión es el blog Pimedios – La aventura de las matemáticas.

El perímetro del triángulo órtico

Vimos en una entrada anterior que dos lados opuestos de un cuadrilátero inscrito en una circunferencia son antiparalelos respecto a los otros lados. Si el cuadrilátero degenera en un triángulo porque coinciden dos de sus vértices, resulta que la tangente a la circunferencia circunscrita a un triángulo en un vértice es antiparalela al lado opuesto respecto a los otros lados. (O bien por Euclides III.32)

Como cada lado del triángulo órtico \triangle H_AH_BH_C de \triangle ABC también es antiparalelo al correspondiente lado de \triangle ABC respecto a los otros lados, los lados del triángulo órtico son paralelos a las tangentes a la circunferencia circunscrita en los vértices.

Entonces el radio OA es perpendicular a H_BH_C, y por tanto el área del cuadrilátero AH_BOH_C es \dfrac{OA \cdot H_BH_C}{2}.
De la misma forma las áreas de los cuadriláteros BH_AOH_C y CH_AOH_B son \dfrac{OB \cdot H_AH_C}{2} y \dfrac{OC \cdot H_AH_B}{2}.
Si \triangle ABC es acutángulo, el circuncentro O está en el interior de \triangle ABC.
Entonces el área de \triangle ABC es la suma de las áreas de los cuadriláteros anteriores y por tanto igual al producto del radio de la circunferencia circunscrita por el semiperímetro del triángulo órtico.

Por tanto el perímetro del triángulo órtico de un \triangle ABC acutángulo, o el perímetro mínimo de los triangulos inscritos en un \triangle ABC acutángulo, es el doble del área de \triangle ABC dividida entre el radio de la circunferencia circunscrita a \triangle ABC.


Fuente: F.G.M. Exercises de géométrie, p.737.
Otra demostración en F.J. García Capitán, El triángulo órtico en el Court, Rev.E.OIM, 37


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Dos opiniones sobre Tales

Dos opiniones decimonónicas contrapuestas sobre Tales de Mileto, publicadas en 1887 y 1889 por dos grandes historiadores de las antiguas matemáticas griegas:

Paul Tannery sobre Tales
“En cuanto a mis conclusiones, quizá convenga resumirlas por adelantado. Intentaré mostrar que es ciertamente a los griegos a quien pertenece la gloria de haber constituido tanto las ciencias como la filosofía; pero si la originalidad de su genio estalla, como se verá en otro capítulo, con Anaximandro, el verdadero jefe de la escuela jonia, nada prueba que Tales en particular haya hecho otra cosa que provocar el movimiento intelectual, que suscitar la chispa, introduciendo en el medio heleno procesos técnicos tomados de los bárbaros y haciendo conocer alguna de sus opiniones. El mismo rol ha podido, por lo demás, ser jugado por muchos otros viajeros de su tiempo; pero el fue sin duda el observador más sagaz y el más hábil iniciador. Espíritu además, parece, menos especulativo que práctico, no hizo largos estudios en los santuarios de Egipto; pero ha aprovechado todas las ocasiones para preguntar todo lo que le parecía útil o curioso, y supo enseñar a sus compatriotas que en el extranjero se resolvían problemas con los que no habían soñado hasta entonces, que tenían creencias al menos tan plausibles como las suyas.
Así, sin quizá imaginar o inventar nada por sí mismo, dió movimiento a la actividad inconsciente que dormitaba, y mereció por eso el renombre que le concedieron sus contemporáneos y que la posteridad más lejana se ha complacido en conservar.”

(Paul Tannery, Pour l’histoire de la science hellène, p.56)

George Jonston Allman sobre Tales
“Procedamos ahora a considerar la importancia del trabajo de Tales:
I. Desde el punto de vista científico:
(a) Vemos, en primer lugar, que con sus dos teoremas fundó la geometría de las líneas, que desde entonces ha sido la parte principal de la geometría.
(b) Tales puede, en segundo lugar, ser justamente considerado por haber establecido los fundamentos del álgebra, porque su primer teorema establece una ecuación en el verdadero sentido de la palabra, mientras que el segundo instituye una proporción.
II. Desde el punto de vista filosófico:
Vemos que en esos dos teoremas de Tales el primer tipo de ley natural -es decir, la expresión de una dependencia fija entre diferentes cantidades, o, de otra forma, el desentrañamiento de una constancia entre la variedad- ha surgido decisivamente.
III. Por último, desde un punto de vista práctico:
Tales proporcionó el primer ejemplo de una aplicación de la geometría teórica a la práctica, y fundó una importante rama de la misma, la medida de alturas y distancias.”

( G.J.Allman. Greek geometry from Thales to Euclid, p.15)

Sobre la opinión de Tannery cabe objetar que el elevado concepto que se tenía de Tales como ingeniero, astrónomo y matemático, del que tenemos testimonios desde el siglo V a.C., parece incompatible con el papel poco creativo que le atribuye.

Sobre la opinión de Allman, dejando a un lado los anacronismos relativos al álgebra o al concepto de ley natural, se puede decir que parece más verosímil que Tales en matemáticas se limitase a inventar nuevos métodos prácticos de cálculo y medida. La noción de ‘teorema’ no debía existir en su época y las cuestiones de fundamentos no son las primeras que se investigan cuando nace una rama de la ciencia, sino que se establecen cuando ésta ya es relativamente madura.


Otras entradas sobre Tales:
El accidente de Tales
Tales y las aceitunas
La recompensa de Tales


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Sumas de dos cuadrados

Factorización de un natural en \mathbb{Z}[i]
Si la descomposición de n \in \mathbb{N} en producto de factores primos es n= 2^r \prod p_j^{s_j} \prod q_j^{t_j},
donde los p_j son primos de la forma 4k+1 y los q_j primos de la forma 4k+3, por la entrada sobre primos gaussianos, la única factorización de n en primos del primer cuadrante del anillo de los enteros gaussianos \mathbb{Z}[i] será:
n =i^h (1+i)^{2r} \prod (a_j+b_ji)^{s_j}(b_j+a_ji)^{s_j} \prod q_j^{t_j}.
donde a_j^2+b_j^2 = p_j y los a_j, b_j, q_j son positivos.

Producto de conjugados
Como el conjugado de un producto es el producto de los conjugados, y el conjugado de (1+i) es -i(1+i), el de (a_j+b_ji) es -i(b_j+a_ji), y el de q_j es q_j, si n tiene la factorización anterior y n=(x+yi)(x-yi), entonces x+yi y x-yi se factorizarán de forma única como producto de una unidad por primos del primer cuadrante como:
x+yi = i^{h_1} (1+i)^{r} \prod (a_j+b_ji)^{u_j}(b_j+ a_ji)^{s_j -u_j} \prod q_j^{t_j/2},
x-yi = i^{h-h_1} (1+i)^{r} \prod (b_j+a_ji)^{u_j}(a_j+b_ji)^{s_j-u_j} \prod q_j^{t_j/2}.
Es claro que n no puede ser el producto de dos conjugados si algún t_j es impar.

El número de soluciones
Si los t_j son pares, podemos elegir entre 4 valores para h_1 que dan lugar a 4 valores diferentes i^{h_1}, y entre s_j+1 valores diferentes para cada u_j.
Entonces, si \prod q_j^{t_j} es un cuadrado, el número de soluciones de (x+yi)(x-yi) = n, \  x,y \in Z, es 4 \prod( s_j+1). Pero  \prod( s_j+1), por la primera observación de la entrada anterior, es igual al número de divisores de \prod p_j^{s_j}, que son todos de la forma 4k+1.
También, por la segunda observación de esa entrada, la diferencia entre el número de divisores de n= 2^r \prod p_j^{s_j} \prod q_j^{t_j} de la forma 4k+1 y los de la forma 4k+3 es igual a cero si \prod q_j^{t_j} no es un cuadrado y en otro caso igual al número de divisores de \prod p_j^{s_j}. Por tanto 4 veces esa diferencia es el número de soluciones de (x+yi)(x-yi) = n, es decir de x^2 + y^2=n.

Teorema de Jacobi
Ha quedado demostrado el teorema enunciado por Jacobi en 1834 (J. de Crelle, 12, p.169) para el doble de un impar y que Dirichlet en 1840 (J. de Crelle, 21, p.3) enunció para un n \in \mathbb{N} general:
El número de soluciones (x,y), \ x,y \in \mathbb{Z}, de la ecuación x^2+y^2 = n es igual a 4 veces la diferencia entre el número de divisores de n que son de la forma 4k+1 y el número de divisores que son de la forma 4k+3.

Dos observaciones sobre divisores

Dos argumentos combinatorios para dos resultados que serán útiles:

1
Si n = \prod p_i^{r_i} es la descomposición de un n \in \mathbb{N} en producto de factores primos y n=x \cdot y, con x,y \in \mathbb{N}, las descomposiciones de x e y serán x = \prod p_i^{s_i} e y = \prod p_i^{r_i-s_i} , y como para cada s_i podemos elegir entre los r_i +1 valores \{ 0,1,\ldots,r_i\}, el número de soluciones (x,y), \ \ x,y \in \mathbb{N}, de x\cdot y = n, o, lo que es lo mismo, el número de divisores de n, es igual a \prod (r_i+1).

2
Sea a > 1, \  d_1(n) el número de divisores de n que son \equiv 1 \pmod{a}, y d_{-1}(n) el número de divisores de n que son \equiv -1 \pmod{a}.
Si n= s \cdot t   y s,t son primos entre sí, y t solo tiene factores primos \equiv -1  \pmod{a}, entonces
d_1(n)-d_{-1}(n) = \left\{ \begin{array}{ll}  0 &\mbox{ si } t \mbox{ no es un cuadrado} \\  d_1(s)-d_{-1}(s) &\mbox{ si }t \mbox{ es un cuadrado }   \end{array} \right.
porque si q \equiv -1 \pmod{a} no divide a m y el conjunto de divisores de m es \{ m_i \}, el de mq^h será \{ m_i \} \cup \{ qm_i \} \cup \{ q^2m_i \} \cup \ldots \cup \{ q^hm_i \} y entonces, como al multiplicar por un número \equiv -1 \pmod{a} se invierte el signo de los restos:
d_1(mq^h) = d_1(m) + d_{-1}(m)+ d_1(m) + \ldots + d_{\pm 1}(m) donde el último término es d_1(m) o d_{-1}(m) según h sea par o impar. De la misma forma:
d_{-1}(mq^h) = d_{-1}(m) + d_{1}(m)+ d_{-1}(m) + \ldots + d_{\mp 1}(m).
Entonces si h es par d_1(mq^h) - d_{-1}(mq^h) =  d_1(m) - d_{-1}(m) y si h es impar d_1(mq^h) = d_{-1}(mq^h).

Medir las llanuras aéreas

Talía, musa de la Comedia

En las obras de Aristófanes tenemos dos interesantes testimonios, por coetáneos y únicos, sobre la actividad en geometría en la Atenas del siglo V a.C.

Uno de ellos ya apareció en una entrada anterior, y es el pasaje de “Las nubes” donde Aristófanes nos hace sonreir, todavía hoy, con el diálogo entre Estrepsíades y un dicípulo del “Pensatorio”.

Otro pasaje de Aristófanes donde se menciona la geometría está en “Las Aves”, que obtuvo el segundo premio en el festival de las Grandes Dionisias en Atenas en el 414 a.C., donde aparece el astrónomo y geómetra Metón en la siguiente escena.
Leer más

Primos gaussianos

En la entrada anterior obtuvimos que todo entero gaussiano se descompone en forma única en producto de factores primos. En esta determinamos cuáles son los primos gaussianos.
Descomposición de en primos (formato a+bi):

[-113+319i] = [-i][1+i][1+2i][3+2i][16+25i]


Todo primo (a+bi) de \mathbb{Z}[i] divide a algún primo de \mathbb{Z}, porque (a+bi) divide a su norma (a+bi)(a-bi) que es un entero de \mathbb{Z} y por el teorema de factorización única en \mathbb{Z}[i], si (a+bi) es primo divide a alguno de los primos de \mathbb{Z} que son factores de la norma. Basta entonces considerar los divisores de los primos en \mathbb{Z} para obtener todos los primos de \mathbb{Z}[i].
Por otro lado, si la norma de w \in \mathbb{Z}[i] es un primo de \mathbb{Z}, w es un primo en \mathbb{Z}[i], porque como la norma es múltiplicativa, la norma de un divisor propio (distinto de un asociado y de una unidad) de w es un divisor propio de la norma de w, lo que no es posible si esta es un primo. Entonces w no tiene divisores propios y por tanto es primo.

Como 2=-i(1+i)^2, y la norma de 1+i es 2, \ (1+i) y sus asociados son primos de \mathbb{Z}[i].
Si p es un primo de \mathbb{Z} de la forma 4k+1, por el teorema de Girard-Fermat, p=a^2+b^2= (a+bi)(a-bi), y estos dos factores son primos de \mathbb{Z}[i] porque su norma es un primo.
La norma de un divisor propio de un primo p de \mathbb{Z} de la forma 4k+3, tendría que ser p, pero considerando restos al dividir por 4, p no puede ser suma de dos cuadrados, y entonces no tiene divisores propios y p y sus asociados son primos en \mathbb{Z}[i].

Por tanto los primos en \mathbb{Z}[i] son:

  • 1+i y sus asociados

  • los divisores (a+bi) y (a-bi) de los primos de \mathbb{Z} de la forma 4k+1, y sus asociados

  • los primos de \mathbb{Z} de la forma 4k+3 y sus asociados

Como uno de los 4 asociados g, ig, -g, -ig, está en el primer cuadrante del plano complejo, todo entero gaussiano se descompone en forma única como producto de una unidad por primos del primer cuadrante.