Trisecciones y “pentasecciones” de ángulos con regla y compás

Introducción

Sea dado en el plano un ángulo \alpha = \dfrac{360^{ \circ }}{n}, con n natural.
En esta entrada se muestra como una mirada a Euclides IV.16 nos lleva a los siguientes resultados:

  • Si n no es múltiplo de 3, podemos trisecar \alpha con regla y compás.

  • Si n no es múltiplo de 5, podemos dividir \alpha con regla y compás en 5 partes iguales.

  • Si n no es múltiplo de 7, y tenemos en el plano un heptágono regular, podemos dividir \alpha con regla y compás en 7 partes iguales.

Un ejemplo típico de ángulo trisecable pero no construible es 3\pi/7. El resultado anterior implica que además ese ángulo es divisible con regla y compás en 9 partes iguales y en 5 partes iguales.
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El συμπτωμα de la hipérbola (I.12)

En la proposición 12 del libro I de las Cónicas, Apolonio obtiene el συμπτωμα (symptoma) o propiedad característica que define a la hipérbola como curva en el plano.

Sean dados un segmento HE que denominamos lado transverso, un segmento ER perpendicular a HE que denominamos lado recto, y una dirección de ordenadas arbitraria ST.

Apolonio denomina hipérbola a la curva que tiene por diámetro la prolongación EM del lado transverso HE, con vértice en E y dirección de ordenadas ST, y tal que el cuadrado MS^2 de una ordenada aplicado sobre el segmento EM deja sobre el lado recto ER un exceso RJZK semejante al rectángulo de lados HE, ER, es decir, en la figura, MS^2 = EM \cdot MZ, donde Z está en la recta HR.

Apolonio obtiene la propiedad anterior a partir de la sección de un cono oblicuo por un determinado plano de la siguiente forma:
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El estema de las Cónicas

La siguiente imagen es el estema de la tradición manuscrita griega conservada de las Cónicas de Apolonio, según Micheline Decorps-Foulquier1.

Se conservan 34 manuscritos que contienen el texto griego de los cuatro primeros libros de las Cónicas de Apolonio. Ese conjunto de manuscritos consiste en:
El Vaticanus graecus 206, conservado en la biblioteca del Vaticano y copiado posiblemente en Constantinopla a finales del siglo XII o principios del siglo XIII, y otros 33 manuscritos que son apógrafos (es decir, copias directas o indirectas) del Vat.gr.206.

La lista de los 34 manuscritos se puede ver aquí:


1 – En Apollonius de Perge, Coniques, Tome 1.2: Livre I., De Gruyter 2008. (p.xxxvi)