La palabra ‘línea’

La palabra latina “linum”, de la raíz indoeuropea “*lino-“, designa al lino (la planta y la fibra).

De ahí proviene la palabra latina “linea“, con el significado de “hilo”,”cordel”, y de aquí su uso para designar la línea geométrica.

Dice Aulo Gelio, en Noches áticas (I,20,7):
Pero entre nosotros se dice “línea” a lo que los griegos denominan γραμμην. Esta es definida por Marco Varrón así: “Línea es”, dice, “longitud sin anchura ni altura”. Por otro lado Euclides es más breve, omitiendo “altura”: γραμμη, dice, es μηκοσ απλατεσ, que no puedes expresar en una palabra en latín, a no ser que aventures decir “inlatabile”.

Los griegos también usaron “λινον” para designar el lino, y “λινω” con el significado “hilo”, como atestigua Homero en el verso 408 del canto XVI de la Ilíada:

Tiró de él, ensartado a la lanza, por encima del barandal,
como el que sentado sobre una prominente roca saca un sagrado pez
a tierra fuera del ponto con el hilo
(λινω) y el cegador bronce.

Pero para designar a la línea en geometría, los griegos usaron la palabra “γραμμη“, que no tiene un origen vegetal, sino que está conectada con “γραφω“: rayar, dibujar, escribir.

La cita por Aulo Gelio de la segunda definición del primer libro de los Elementos es quizá la más antigua que tenemos que es atribuida explícitamente a Euclides.


Imagen tomada de la Wikipedia.

Du Fay sobre polígonos regulares


Sea una circunferencia (roja en las figuras anteriores) y dos polígonos regulares de n lados, uno circunscrito y otro inscrito en la circunferencia.
Teorema: La diferencia entre las áreas de esos dos polígonos es igual al área de un polígono regular de n lados inscrito en una circunferencia cuyo diámetro es el lado del polígono circunscrito, e igual al área de un polígono regular de n lados circunscrito a una circunferencia cuyo diámetro es el lado del polígono inscrito.

Este teorema fue publicado (Memoires de l’Academie Royale des Sciences) en 1727 por Charles François de Cisternay du Fay (1698 – 1739).

La demostración de Du Fay es puramente geométrica. Usando las letras de la figura adjunta, unimos AT que cortará a SM en su punto medio U. Entonces \angle UTS = \angle UTM.
Por tanto \angle UTM es el ángulo que forman el radio y el lado de un polígono regular de n lados, y entonces el lado TZ -del polígono regular de n lados inscrito en la circunferencia cuyo diámetro es el lado TR del polígono circunscrito- está en la recta AT.

Como AT y MS se cortan en ángulo recto, U es el punto medio de ZT y ZMTS es un rombo. Entonces el área de \triangle ZMU es igual a la de \triangle TSU, y el área de \triangle ZMT es igual a la de \triangle SMT y por tanto el área total sombreada en marrón es igual al área sombreada en azul.

Como MU es la mitad de MS, el diámetro del círculo inscrito en el polígono azul de lado ZT es igual al lado del polígono inscrito en el círculo rojo, y queda demostrado el teorema.

Un corolario obtenido por Du Fay es que el área de un círculo cuyo diámetro es el lado de un polígono regular es igual a la diferencia entre las áreas de las circunferencias circunscrita e inscrita al polígono.
Es decir, en la figura, el área del círculo azul es igual al área de la corona roja.

Concurrencia de perpendiculares

Sea un triángulo \triangle ABC, y A', B', C' tres puntos en las rectas BC,  AC, AB. Por cada uno de esos puntos trazamos una perpendicular a la recta respectiva.
Una condición necesaria y suficiente para que esas perpendiculares sean concurrentes en un punto es que se cumpla la relación:
AC^{\prime\,2} - BC'^{\,2} + BA'^{\,2} - CA'^{\,2} + CB'^{\,2} - AB'^{\,2} = 0

Si las perpendiculares concurren en P, AC^{\prime\,2} - BC'^{\,2} = PA^2 - PB^2, etc, y se cumple la relación. Por otro lado como AC^{\prime\,2} - BC'^{\,2} = k determina un único punto C' en la recta AB, la relación es condición suficiente para la concurrencia de las perpendiculares.

Aplicando ese criterio se demuestran los siguientes corolarios.

1) Las perpendiculares por los puntos medios de los lados concurren en un punto, porque en ese caso AC^{\prime\,2} - BC'^{\,2} = 0, etc.

2) Las alturas concurren en un punto, porque en ese caso tenemos que AC^{\prime\,2} - BC'^{\,2} = AC^2 - BC^2, etc.

3) Si \triangle A_1B_1C_1 es el simétrico de \triangle ABC respecto a una recta (verde en la figura), las perpendiculares desde los vértices A_1,B_1,C_1 a los lados correspondientes de \triangle ABC se cortan en un punto P.

Porque BA^{\prime\,2} - CA'^{\,2} = A_1B^2 - A_1C^2, etc, y, por simetría, A_1B = AB_1, A_1C = AC_1, B_1C = BC_1.


4) Si A_1, B_1, C_1 son los pies de las perpendiculares desde los vértices de \triangle ABC a una recta dada, las perpendiculares desde A_1, B_1, C_1 a los lados BC, AC, AB concurren en un punto P.
Porque BA^{\prime\,2} - CA'^{\,2} = A_1B^2 - A_1C^2 = =  A_1B_1^2 + BB_1^2 - A_1C_1^2 - CC_1^2, y permutando cíclicamente A,B,C tenemos 12 términos que se cancelan.


5) Si A_1, B_1, C_1 son los pies de las perpendiculares trazadas desde un punto P sobre los lados de \triangle ABC, las perpendiculares trazadas desde A,B,C a B_1C_1, A_1C_1, A_1B_1 son concurrentes en un punto D.
Porque, en la figura, A'B_1^2 - A'C_1^2 = AB_1^2 - AC_1^2, etc, y por tanto A'B_1^2 - A'C_1^2 + B'C_1^2 - B'A_1^2 + C'A_1^2 - C'B_1^2 = = AB_1^2 - AC_1^2 + BC_1^2 - BA_1^2 + CA_1^2 - CB_1^2 = 0, porque las perpendiculares por A_1, B_1, C_1 concurren en P.


6) Si las perpendiculares trazadas desde los vértices de un triángulo \triangle ABC a los respectivos lados de otro triángulo \triangle A_1B_1C_1 se cortan en un punto E, entonces las perpendiculares trazadas desde los vértices de \triangle A_1B_1C_1 a los lados de \triangle ABC se cortan en un punto D.
Porque A'_1B_1^2 - A'_1C_1^2 = AB_1^2 - AC_1^2, etc, y A'B^2 - A'C^2 = A_1B^2 - A_1C^2, etc, y como la suma de las permutaciones cíclicas de A'_1B_1^2 - A'_1C_1^2 vale cero, también será cero la suma de las de A'B^2 - A'C^2.

7) BA'^2 - CA'^2 = (\overrightarrow{BA'} + \overrightarrow{CA'})(\overrightarrow{BA'} - \overrightarrow{CA'}) = (\overrightarrow{BA'} + \overrightarrow{CA'} )(\overrightarrow{BA'} + \overrightarrow{A'C})  = = 2 \overrightarrow{A_mA'}\cdot \overrightarrow{BC}, si A_m es el punto medio de BC.
Entonces, si B_m, C_m son los puntos medios de AC,AB, la condicion necesaria y suficiente para la concurrencia de las perpendiculares se puede expresar como:
\overrightarrow{A_mA'}\cdot \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{B_mB'}\cdot \overrightarrow{CA} + \overrightarrow{C_mC'}\cdot \overrightarrow{AB} =0.


Esta entrada participa en la Edición 4.1 del Carnaval de Matemáticas cuyo anfitrión es el blog Tito Eliatron Dixit.

Una crítica de Platón a Eudoxo, Arquitas y Menecmo

La cuestión segunda del libro VIII de las Quaestiones Conviviales (Charlas de sobremesa) de Plutarco de Queronea, se titula:

De en qué sentido decía Platón que el dios es siempre geómetra.

Y comienza así:

(Conversan Diogeniano, Plutarco, Tíndares, Floro y Autobulo.)
Hecho tras esto un silencio, tomando de nuevo Diogeniano la iniciativa, dijo “¿Queréis, puesto que ha habido conversaciones sobre los dioses, que tomemos en el natalicio de Platón, a Platón mismo como compañero, examinando con qué intención manifestó que
el dios es siempre geómetra?; si es que hay que admitir que esta declaración es ciertamente de Platón.”
Y como yo dijera que en ninguno de sus libros está escrita claramente, pero que tiene credibilidad suficiente y es propia del carácter de Platón, tomando al punto Tíndares la palabra, dijo: “¿Crees tú, pues, Diogeniano, que estas palabras expresan en forma de enigma algo singular y de difícil examen, y no lo que precisamente él ha dicho y escrito muchas veces, cuando canta el elogio de la geometría por arrancarnos de la sensación a nosotros que estamos anclados en ella y hacernos volver hacia la naturaleza inteligible e imperecedera, cuya contemplación es el fin de la filosofía, como la contemplación de los misterios lo es de la iniciación?
Pues el clavo de placer y dolor con el que clava el alma al cuerpo, parece tener como mayor mal el hacer las cosas sensibles más claras que las inteligibles y forzar a la mente a juzgar por el sentimiento más que por la razón, pues acostumbrada por el intenso penar y gozar a atender a lo errante y cambiante de los cuerpos como si se tratase del verdadero ser, es ciega para lo que de verdad es, y destruye el órgano equivalente a ‘innumerables ojos’ del alma y su luz, con la que sólo es contemplable lo divino. Pues bien, en todas las ciencias llamadas matemáticas, como en pulidos y lisos espejos, aparecen huellas e imágenes de la verdad de las cosas inteligibles, pero sobre todo la geometría, que es, según Filolao, principio y metrópolis de las demás, eleva y dirige la mente, como purificada y liberada poco a poco de la sensación.
Por ello, también el propio Platón reprochó a Eudoxo, Arquitas y Menecmo, que se empeñaban en trasladar la duplicación del cubo a medios instrumentales y mecánicos, como si intentaran tomar dos medias proporcionales del modo que se pudiera, al margen de la razón; pues así se perdía y destruía el bien de la geometría, que regresaba de nuevo a las cosas sensibles y no se dirigía hacia arriba, ni se apoderaba de las imágenes eternas e incorpóreas, en cuya presencia el dios es siempre dios”.


Por lo que sabemos de las soluciones de Eudoxo, Arquitas y Menecmo al problema délico, la crítica que Plutarco atribuye a Platón no tiene fundamento porque, en lo que nos ha llegado, esas soluciones no son instrumentales y mecánicas, sino puramente teóricas. Solo se puede especular sobre lo que Platón, o Plutarco, criticó. Una posibilidad es que considerasen que esos matemáticos no eran suficientemente platónicos.

Fuente: Plutarco. Charlas de sobremesa. Trad.de Francisco Martín Garcia. Biblioteca Clásica Gredos 109. Madrid 1987.


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Un teorema de A.Girard

Albert Girard publica en 1626 el siguiente resultado:

Si un cuadrángulo está inscrito en un círculo, se puede cambiar el orden de los lados para obtener 3 diagonales diferentes. El producto de las 3 diagonales así obtenidas, dividido por el doble del diámetro del círculo será igual al área de los cuadrángulos.

La demostración es inmediata, usando el teorema de Ptolomeo y la fórmula S=\dfrac{abc}{4R} para el área del triángulo.

Una división del círculo



“Dividir un círculo en 4 partes de igual área mediante circunferencias.”

Esta es la proposición 18 del capítulo VI del De arte mensurandi de Johannes de Muris.

Johannes de Muris demuestra que el resultado se consigue con la figura de la izquierda, donde los diámetros de las circunferencias que dan la solución son iguales a los lados del hexágono, cuadrángulo y triángulo equiláteros inscritos en el círculo.

Es obvio que la división en 4 zonas iguales persiste si desplazamos arbitrariamente las circunferencias sin que se corten.

La notación universal de Hérigone

En la década de 1630 (en que Descartes publicó su Geometría y Desargues su Brouillon project), Pierre Hérigone publicó una obra titulada:
“Curso matemático, demostrado con un nuevo, breve, y claro método de notaciones reales y universales, que pueden ser entendidas fácilmente sin usar ninguna lengua.”

Hérigone comienza:
“Los que con Calímaco, según Ateneo, estiman, amigo lector, que un libro grande es un gran mal, y saben que Heráclito con desprecio ha sido llamado el Tenebroso, a causa de que a propósito hacía su estilo oscuro, me parece que son de la opinión de que los que emprenden el sacar libros a la luz, deben cuidar de dos cosas, a saber: que no se encuentre en sus escritos nada superfluo, que aporta disgusto, ni nada difícil u oscuro, que aleja al lector. Porque no se duda que el mejor método para enseñar las ciencias es aquél en que la brevedad se une a la facilidad, pero no es sencillo obtener una y otra, principalmente en matemáticas, las que, como atestigua Cicerón, son enormemente oscuras. Leer más