El área de la trocoide en Roberval

En De trochoide ejusque spatio (Investigación sobre el área de la trocoide) Roberval dio, hacia 1635, la que parece que es la demostración más simple de que el área de la cicloide es el triple de la del círculo que la genera.

Roberval define “trocoide” como la curva que describe un punto que da una vuelta completa a una circunferencia generadora mientras la circunferencia se traslada, a velocidad proporcional a la de rotación, en dirección opuesta al vector de velocidad del punto en la posición inicial.
Si la longitud del desplazamiento de la circunferencia, hasta que el punto completa una vuelta, es igual a la longitud de la circunferencia, tenemos una cicloide o trocoide simple; si es menor, como en la figura de la derecha, tenemos una trocoide contracta y si es mayor, como en la figura siguiente, una trocoide prolata, en la terminología de Roberval.

La base de la trocoide es el segmento entre la posición inicial y final del punto que describe la curva, el área de la trocoide es el area encerrada entre la curva y la base, Leer más

La tangente a la cicloide

Fermat dio la siguiente regla para trazar la tangente a la cicloide en un punto P de la curva.
Trazamos la circunferencia que tiene por diámetro el eje BC de la cicloide. La paralela a la base por P corta a esa circunferencia en G. Trazamos un segmento desde el vértice B de la cicloide hasta G. Entonces la paralela a BG por P es la tangente en P a la cicloide.

La demostración es fácil usando el método de Roberval, que consiste en aplicar que:

  • cuando un punto describe una curva, el vector velocidad es tangente a la curva en cada punto y
  • en un movimiento compuesto, la velocidad resultante es la suma de las componentes según la regla del paralelogramo.

El movimiento de P al generar la cicloide está compuesto de un movimiento de rotación alrededor del centro O del círculo que genera la cicloide y de un movimiento de traslación de todo ese círculo paralelamente a la base.
Como el desplazamiento paralelo a la base provoca que un punto en la circunferencia se desplaze un arco de la misma longitud, la velocidad tangencial de rotación en P es igual a la velocidad de traslación y el paralelogramo de velocidades es un rombo. Entonces el vector velocidad resultante, tangente a la curva en ese punto, está en la bisectriz de las dos componentes, y la tangente en P es bisectriz del ángulo que forman la paralela a la base por P y la tangente al círculo generador en P.

En la figura, la tangente GK a la circunferencia de diámetro BC en G es paralela a la tangente al círculo generador en P.
Como el arco GBL es el doble del arco BL, el ángulo \angle KGL es el doble del ángulo \angle BGL (por Euclides III.21 y III.32).
Entonces GB es bisectriz de KGL, y por tanto paralela a la tangente a la cicloide en P.


Otras entradas sobre la cicloide:
El área de la cicloide (en Maupertuis)
El área de la cicloide en Wallis
Longitud de la cicloide y de la cardioide

Un asunto de jóvenes

G.H. Hardy, en Apología de un matemático1, escribe:

“Ningún matemático debe permitirse olvidar que las matemáticas, más que cualquier arte o ciencia, son un asunto de jóvenes. Como sencillo ejemplo ilustrativo, se puede decir que la edad media a la que son elegidos los matemáticos que forman parte de la Royal Society es la más baja de todos los miembros.”

Y continúa citando a Newton, quien afirmó sobre sus 23-24 años (1665-1666)2:

“En aquellos días me encontraba en el mejor momento para crear, y estaba más dispuesto para las matemáticas y la filosofía (natural) que en cualquier otro momento desde entonces.”

Algo antes de nacer Newton, Pascal descubrió su “teorema del hexagrama místico” a los 16 años (1639) y mucho antes de nacer Pascal, Platón3 nos presenta a Teeteto, a los 17 (400 a.C.), investigando, o quizá demostrando, la irracionalidad de las raíces de los números que no son cuadrados perfectos.

A mediados del siglo IV a.C. se conocían más casos de jóvenes matemáticos, o eso podemos concluir del hecho de que Aristóteles, en la Ética a Nicómaco4, dedique un párrafo a intentar explicar el fenómeno:

“Pero añado, que saber dirigir convenientemente sus propios negocios, es una cosa muy oscura y que reclama mucha atención. La prueba de esto es, que los jóvenes pueden muy bien hacerse geómetras, matemáticos, y hasta muy hábiles en este género de ciencias; pero no hay uno al parecer que sea prudente. La razón es muy sencilla: es que la prudencia sólo se aplica a los hechos particulares, y sólo la experiencia nos los da a conocer; y el joven carece de esta experiencia, porque esta sólo la da el tiempo. Con este motivo también podría preguntarse en qué consiste, que un joven puede hacerse matemático, mientras que no puede ser sabio, ni estar versado en el conocimiento de las leyes de la naturaleza. ¿No podría decirse que esto nace de que las matemáticas son una ciencia abstracta, mientras que la ciencia de la sabiduría y la de la naturaleza toman sus principios de la observación y de la experiencia? ¿No podría añadirse, que en estas últimas los jóvenes no pueden tener opiniones personales, y que no hacen más que repetir lo que se les enseña, mientras que en las matemáticas la realidad no se les presenta con oscuridad alguna?”

En esa época (siglo IV a.C) se inició el estudio de las secciones cónicas, quizá por Menecmo, y se conformaron los libros que presumiblemente Euclides reunió en los Elementos a principios del siglo siguiente.


1 – G.H.Hardy. Apología de un matemático. Nivola, Madrid 1999. Pag.74.
2 – Newton. Carta a Des Maizeaux. Fragmento en Mathpages.
3 – En el diálogo ‘Teeteto’, 147e-148b.
4 – Aristóteles. Ética a Nicómaco. VI.8. (VI.6 en la traducción de Patricio de Azcárete, de donde está tomada la cita.)


Esta entrada participa en la Edición 4.12 del Carnaval de Matemáticas cuyo anfitrión es el blog High Ability Dimension.

Longitud de la cicloide y de la cardioide

Longitud de la cicloide

 
En la entrada sobre el área de la cicloide (en Maupertuis) definimos la cicloide poligonal como la línea poligonal que se obtiene uniendo los extremos de los arcos que componen la trayectoria de un vértice de un polígono regular que rueda sobre una recta.

Designando con s_k el segmento k-ésimo de la cicloide poligonal y con d_k la diagonal del polígono regular que subtiende k lados, por la definición de la cicloide poligonal los triángulos sombreados de la figura, con un lado s_k en la cicloide poligonal y los otros dos diagonales d_k iguales del polígono, son isósceles, semejantes entre sí y semejantes al triángulo con un lado L igual al del polígono regular y los otros dos iguales al radio R de la circunferencia circunscrita.

Entonces   \dfrac{s_k}{L} = \dfrac{d_k}{R},   y   \sum s_k = \dfrac{L}{R} \sum d_k.
Pero, por la entrada anterior,   \sum d_k = \dfrac{4R(R+r)}{L},   donde r es el radio de la circunferencia inscrita, y por tanto   \sum s_k = 4(R+r),   y queda demostrado:
Sea cual sea el número de lados del polígono regular la genera, la longitud de la cicloide polígonal es cuatro veces la suma de los radios de las circunferencias inscrita y circunscrita al polígono.

En el caso de un número impar de lados, R+r es la altura del polígono y en el caso de un número par de lados es la media de las dos mayores diagonales.


Considerando al círculo como un polígono de infinitos lados, en ese caso R=r, y por tanto la longitud de la cicloide es cuatro veces el diámetro del circulo que la genera.
 

Longitud de la cardioide

 
Por la definición de cardioide poligonal en la entrada sobre el área de la cardioide, para un polígono regular dado los segmentos que componen su cardioide poligonal son los mismos que los de su cicloide poligonal, pero duplicados, y por tanto la longitud de la cardioide será el doble, es decir:

Sea cual sea el número de lados del polígono regular la genera, la longitud de la cardioide polígonal es ocho veces la suma de los radios de las circunferencias inscrita y circunscrita al polígono.

Considerando al círculo como un polígono de infinitos lados, en ese caso R=r, y por tanto la longitud de la cardioide es 8 veces el diámetro del circulo que la genera.


Adaptado de: Maupertuis. Quadrature et rectification des figures formées par le roulement des polygones reguliers. Mem. Acad. Royale des Sciences, 1727, pag.209-213.


Esta entrada participa en la Edición 4.12 del Carnaval de Matemáticas cuyo anfitrión es el blog High Ability Dimension.

Sumas de diagonales

Por la proposición I.21 de Sobre la esfera y el cilindro, de Arquímedes, la suma de las diagonales trazadas desde un vértice que subtienden un número par de lados de un polígono regular par es a la diagonal mayor como la siguiente diagonal es a un lado.

Como las diagonales pares de un polígono de 2n lados inscrito en una circunferencia son todas las diagonales (lados incluidos) de un polígono de n lados inscrito en la misma circunferencia, obtenemos una fórmula para la suma de todas las diagonales de un polígono de n lados a partir del polígono de 2n lados inscrito en la misma circunferencia con vértices compartidos:

En las figuras, por semejanza de los triángulos rectángulos \triangle ABC y \triangle CBE, tenemos que CB/CA = EB/EC = 2EB/CD.
Como EB es la suma de los radios de las circunferencias inscrita y circunscrita al polígono de n lados, podemos reformular el resultado de Arquímedes en la forma:

En un polígono regular, la suma de las diágonales desde un vértice (incluidos los lados adyacentes) es al diámetro de la circunferencia circunscrita como la suma de los diámetros de las circunferencias inscrita y circunscrita es a un lado.

Es decir, si d_k es la diagonal de un polígono regular que subtiende k lados, r y R son los radios de las circunferencias inscrita y circunscrita, y L = d_1 = d_{n-1} es un lado del polígono tenemos que
            \dfrac{\sum_1^{n-1} d_{i}}{2R} = \dfrac{2(R+r)}{L}       ó       \sum_1^{n-1} d_{i} =  \dfrac{4R(R+r)}{L}.

Podemos obtener un segmento igual a la mitad de la suma de las diagonales de un polígono regular con número impar de lados trazando solo dos rectas:

Si en un polígono impar, como en la figura, dos lados opuestos AB y CD se cortan en un punto H, AH = CH = \sum d_k/2, es decir AH=CD+CE+CB.

Porque \angle OAM = \angle OCD, los triángulos rectángulos \triangle OAM y \triangle HCM son semejantes y CH/CM = OA/AM, y como la altura CM=R+r   y   AM=L/2,         CH = \dfrac{2R(R+r)}{L} = \dfrac{\sum_1^{n-1} d_i}{2}.

El área de la cicloide en Wallis

En una entrada anterior dimos la demostración de Maupertuis (1727) de que el área de la cicloide es el triple de la del círculo que la genera.

Aquí damos otra demostración, que aparece en Wallis (1695)1, de ese hecho y que también es elemental pero más simple, pues no requiere ningún lema previo, sólo la fórmula del área de la superficie lateral del cilindro.

Consideremos media cicloide como AFB en la figura siguiente.
Trazamos la semicircunferencia BEC, con diámetro BC, eje de simetría de la cicloide.
Por un punto D en el diámetro BC trazamos una paralela a la base, que corta a la semicircunferencia BEC en E y a la cicloide en F.

Sea G el punto de tangencia del círculo generador con la base cuando genera el punto F.
Entonces el segmento AG es igual al arco FG que es igual al arco EC. Pero todo el segmento AC es igual a la semicircunferencia BEC, y por tanto el arco BE es igual al segmento GC, que es igual al FE, porque FECG es un paralelogramo.

Trazamos un cuadrado BCKJ, y sobre ese cuadrado construimos, como en la figura siguiente, un semicilindro cuyas bases semicirculares están en planos perpendiculares al de la cicloide.

Un plano perpendicular al plano BKC de la cicloide y que pase por la diagonal BK del cuadrado cortará a la superficie del semicilindro en dos partes iguales, separadas por una semielipse BTK.
El arco DT en el semicilindro es igual al arco BE en la semicircunferencia BEC, porque BD = DS (porque S está en la diagonal BK del cuadrado BJKC) y la semicircunferencia BEC es igual a la DTL.
Pero hemos visto que el arco BE es igual al segmento FE, entonces el arco DT es igual al segmento FE.

Como esto sucede para cualquier posición de D en BC, cuando D se desplaza por el segmento BC el área barrida por el segmento FE será igual al área barrida por el arco DT en la superficie del semicilindro.

Ese área, cuando D recorre todo el diámetro BC = 2R, es la mitad de la superficie (lateral) del semicilindro de altura 2R, y por tanto es igual a \pi R^2, es decir igual a la del círculo generador de la cicloide.

Por tanto el área bajo la cicloide es el triple del área del círculo que la genera.
En términos del semicilindro anterior, el área de la cicloide es igual a la del semicilindro, incluyendo sus bases semicirculares.


1 – John Wallis. De cycloide et corporibus inde genitis, problematum solutio. En: Opera Mathematica vol. I (1695), pag 499. (Wallis coloca el semicilindro de forma diferente.)


Sobre la esfera y el cilindro I.21

La proposición 21 del libro I de Sobre la esfera y el cilindro, de Arquímedes, dice así:
Si en un círculo se inscribe un polígono equilátero de un número par de lados y se trazan segmentos que unan los ángulos del polígono de manera que estos sean paralelos a uno cualquiera de los segmentos que subtienden dos lados del polígono, la suma de todos esos segmentos es al diámetro del círculo como el segmento que subtiende la mitad de los lados menos uno es al lado del polígono.

Es decir, en la figura siguiente, la suma de los segmentos rojos es al segmento verde como BC es a AC.
Si usamos esa figura, la demostración de Arquímedes es:
Los triángulos rectángulos sombreados son semejantes entre sí y semejantes al triángulo rectángulo \triangle ABC.
Entonces la razón entre BC y AC es igual a la razón entre los lados rojo y verde de cada triángulo, que es igual (por Euclides V.12) a la razón entre la suma de los lados rojos y la suma de los lados verdes de todos los triángulos, que es el diámetro AB.

Si el polígono tiene 2n lados, el ángulo central que subtiende un lado es \pi/n, \angle ABC = \pi/2n y BC/AC = \cot(\pi/2n).
Por otro lado la cuerda que subtiende 2k lados es igual a 2R \sin(k\pi/n).
Entonces el resultado de Arquímedes es equivalente a la identidad trigonométrica:
            \sin \dfrac{\pi}{n} + \sin \dfrac{2 \pi}{n} + \ldots + \sin \dfrac{(n-1)\pi}{n} = \cot \dfrac{\pi}{2n}

El área de la cardioide

De forma análoga a como definimos la cicloide poligonal en la entrada anterior, definimos aquí la cardioide poligonal.

Si en lugar de rodar el polígono regular sobre una recta lo hacemos rodar, como en la figura, sobre un polígono fijo igual, un vértice del polígono que rueda volverá al punto de partida después de describir una serie de n-1 arcos, si el polígono tiene n lados.

Si unimos con segmentos el punto medio de cada uno de esos arcos con sus extremos se forma una línea poligonal cerrada (roja en la figura), de 2(n-1) segmentos, a la que llamamos cardioide poligonal generada por el polígono regular.

Como en el caso de la cicloide, dividimos el área entre el polígono fijo y la cardioide poligonal en dos partes, naranja y azul en la figura.
Es claro que el área total de la parte naranja es igual a la del polígono que rueda, y la parte azul consta de los mismos triángulos que en el caso de la cicloide, pero duplicados, porque los ángulos de los arcos son el doble de los que se producen cuando el polígono rueda sobre una línea, y cada segmento de la cardioide poligonal subtiende medio arco.

Vimos que en el caso de la cicloide poligonal el área total de esos triángulos es el doble de la del polígono, entonces el área de la parte azul de la figura será cuatro veces el área del polígono, y añadiendo la parte naranja y el polígono fijo, queda demostrado que:
El área encerrada en la cardioide poligonal es seis veces el área del polígono regular que la genera. (Maupertuis, 1727)

Por tanto el área de la cardioide, que se puede considerar generada por un polígono de infinitos lados, es seis veces el área del círculo que la genera.