El área de la cicloide


Si un polígono regular de n lados rueda sobre una recta base, un vértice situado en la base termina por volver a la base después de describir una serie de n-1 arcos.
Uniendo con segmentos los extremos de cada uno de esos arcos se forma una línea poligonal (roja en la figura), de n-1 segmentos, que empieza y termina en la base y a la que llamaremos cicloide poligonal generada por el polígono regular.

Sea cual sea el número de lados del polígono regular que rueda, el área entre la cicloide poligonal y la base es el triple del área del polígono regular. (Maupertuis, 1727)

En consecuencia el área de la cicloide es el triple del área del círculo que la genera, que se puede considerar como un polígono de infinitos lados.

Demostración:
Descomponemos el área bajo la cicloide poligonal en dos partes.
Una formada por el área de los triángulos (azules) que tienen por vértices los extremos y el centro de cada arco recorrido por el vértice al rodar el polígono, es decir sus lados son un segmento de la cicloide poligonal y dos diagonales iguales del polígono, y la otra formada por el área de los triángulos (naranjas) restantes.

Estos triángulos (naranjas) restantes tienen por lados un lado del polígono y dos diagonales consecutivas, de las trazadas desde un vértice, y es claro que su área total es igual a la del polígono que genera la cicloide poligonal.

Basta entonces con demostrar que el área total de los triángulos (azules) que tienen un lado en la cicloide poligonal es el doble de la del polígono rodante.

Esos triángulos son isósceles, semejantes entre sí y semejantes al triángulo formado por un lado del polígono y dos radios de la circunferencia circunscrita.
Los lados iguales de esos triángulos isósceles son iguales a las sucesivas diagonales trazadas desde un vértice del polígono regular.

Designamos con d_1,\ldots, d_{n-1} las sucesivas diagonales trazadas desde un vértice (d_1 y d_{n-1} son los lados adyacentes al vértice) de un polígono de n lados, con T_k el área del triángulo que tiene dos lados iguales a d_k y el otro en la cicloide, con T el área del triángulo cuyos vértices son el centro del polígono y los extremos de un lado, y con R el radio de la circunferencia circunscrita.

Como las áreas de figuras semejantes son entre sí como los cuadrados de segmentos correspondientes (Euclides VI.20), \dfrac {T_k}{T} = \dfrac{d_k^2}{R^2},   y la suma de las áreas de los triángulos (azules) T_k será \sum T_k = \dfrac{T}{R^2} \sum d_k^2.
Pero en la entrada anterior demostramos que \sum d_k^2 = 2nR^2, y por tanto \sum T_k = 2nT, que es el doble del área del polígono regular.

Por tanto el área entre la cicloide poligonal y la base es el triple del área del polígono regular que la genera.

Sumas de cuadrados de diagonales II

Como hemos demostrado, en la entrada anterior, que tomando las diagonales desde un vértice de un polígono regular, la suma de los cuadrados de las diagonales impares es igual a la de las pares, el hecho de que cada una de esas sumas sea igual al número de lados por el cuadrado del radio es consecuencia del siguiente teorema:

La suma de los cuadrados de todas las diagonales (incluidos los lados) con extremo en un vértice de un polígono regular de n lados es igual al doble del número de lados por el cuadrado del radio de la circunferencia circunscrita.

Demostración
En el caso de un número 2n par de lados, podemos disponer las 2n-1 diagonales como en la figura, formando n - 1 triángulos rectángulos, con hipotenusa común igual al diámetro de la circunferencia.

Entonces la suma de los cuadrados de las diagonales será (n - 1)(2R)^2 + (2R)^2 = 4nR^2, donde R es el radio de la circunferencia circunscrita.

En el caso de un número n impar de lados, si formamos un polígono regular de 2n lados a partir del polígono de n lados, inscrito en la misma circunferencia, las diagonales pares de ese polígono serán todas las diagonales del polígono de n lados.

La suma de los cuadrados de las diagonales del polígono de 2n lados es 4nR^2 y la suma de los cuadrados de las diagonales pares es igual a la de las impares. Por tanto la suma de los cuadrados de las pares, es decir, de todas las del polígono de n lados, será 2nR^2.

En un polígono regular de n lados, la diagonal d_k, que subtiende k lados, es igual a    2R \sin(\dfrac{k\pi}{n})    y por tanto el resultado anterior, \sum d_k^2 = 2nR^2, es equivalente a       \displaystyle \sum_{k=1}^n \sin^2(\dfrac{k\pi}{n}) = \dfrac{n}{2}.

Sumas de cuadrados de diagonales I

En un polígono regular trazamos todas las diagonales desde un vértice.
Considerando los lados adyacentes a ese vértice como diagonales, si numeramos consecutivamente las diagonales tenemos que:
Proposición 1.   La suma de los cuadrados de las diagonales impares es igual a la suma de los cuadrados de las diagonales pares.
Proposición 2.   Cada una de esas sumas es igual al producto del número de lados por el cuadrado del radio de la circunferencia circunscrita al polígono.

Demostración de la proposición 1
Si el número de lados del polígono es impar, las diagonales pares son iguales a las impares en orden inverso y el resultado es trivial.

Si el número 2n de lados es par, designamos con d_1,\ldots,d_{2n-1} las diagonales del polígono de forma que d_1 y d_{2n-1} son lados del polígono, y d_k subtiende k lados.
Aplicando el teorema de Ptolomeo a los cuadriláteros de diferente color en la figura, tenemos d_k^2 = d_{k-1}^2 + d_1d_{2k-1}, es decir d_k^2 - d_{k-1}^2 = d_1d_{2k-1}, para k \le n.
La diferencia entre la suma de los cuadrados de impares y pares será (d_0 = 0) \sum_1^n (d_{2i-1}^2 - d_{2i-2}^2).
Si 1 \le 2i-1 \le n:
 \sum (d_{2i-1}^2 - d_{2i-2}^2) = d_1\sum d_{4i-3}.
Y si n < 2i-1 \le 2n-1, como d_k = d_{2n-k}:
\sum (d_{2i-1}^2 - d_{2i-2}^2) = \sum (d_{2n-2i+1}^2 - d_{2n-2i+2}^2) = -d_1 \sum d_{4n-4i+3}.

La suma \sum d_{4i-3} recorre todas las diagonales de la forma d_{ 4k+1 }, y la suma \sum d_{4(n-i)+3} todas las de forma d_{4k+3}. Basta entonces con demostrar que las sumas de las diagonales de esas formas son iguales en un polígono par.

Los segmentos verdes en la figura son las diagonales de la forma d_{4k+1}, y los segmentos rojos son las de la forma d_{4k+3}.

Los cuadriláteros sombreados en la figura son paralelogramos y por tanto el segmento verde y el rojo de cada cuadrilátero son iguales y son iguales la suma de los segmentos verdes y la de los rojos, es decir son iguales la suma de las diagonales de la forma d_{ 4k+1 } y la suma de las de la forma d_{ 4k+3 }, y tenemos demostrada la proposición.

(En la figura anterior los paralelogramos sombreados son rombos y los puntos rojos están alineados.)

Demostración de la proposición 2
De la proposición primera y del teorema de Pitágoras se deduce la segunda. Por no alargar esta entrada dejamos la demostración para la siguiente.