Criterio de Poncelet

Decimos que una expresión en que intervienen longitudes de segmentos entre puntos del espacio es un invariante proyectivo si su valor no varía cuando proyectamos los puntos extremos de los segmentos, desde un punto central fuera de esos segmentos, sobre otros puntos del espacio, proyectando rectas sobre rectas.

Jean-Victor Poncelet, en el artículo 20 de su Tratado sobre las propiedades proyectivas de las figuras (1822), enuncia la siguiente condición suficiente para que un cociente entre productos de longitudes de segmentos entre puntos del espacio sea un invariante proyectivo.

Si en la expresión w \equiv \dfrac{AB \cdot CD \cdot \ldots }{ EF \cdot GH \cdot \ldots }

  • (1) cada letra (punto extremo de un segmento) aparece el mismo número de veces en el numerador y denominador,
  • (2) y además el número de segmentos de cada recta del espacio que aparecen en el numerador es igual al número de segmentos de esa recta que aparecen en el denominador,

entonces w es un invariante proyectivo.

Demostracion: En la figura, por las fórmulas para el área del triángulo, AB \cdot h = OA \cdot OB \cdot \sin \alpha.
Entonces AB=  \dfrac{OA \cdot OB \cdot \sin \alpha }{ h}.
Si O es un punto diferente de los que aparecen en la expresión w, sustituyendo en esa expresión cada segmento por la fórmula anterior, si se cumple la primera condición los términos Op se cancelarán en el numerador y denominador de w, y si se cumple la segunda condición se cancelarán los h, que solo dependen de O y de la recta en que está el segmento.

Entonces, si se cumplen las condiciones (1) y (2) del recuadro, w no varía si sustituimos en w cada longitud de un segmento por el seno del ángulo que subtiende ese segmento desde un vértice arbitrario en el espacio, fijo para todos los segmentos, y por tanto el valor de w no varía al proyectar los puntos que intervienen.

Ejemplos de invariantes proyectivos son la expresión \frac{AD \cdot BC}{AC \cdot BD} si A,B,C,D están en la misma recta, o \frac{ DA \cdot EB \cdot FC}{DB \cdot EC \cdot FA}, si D,E,F están respectivamente en las rectas AB,BC,AC.

Euclides III.35

Por la proposición VI.13 (o II.14) de los Elementos de Euclides, el segmento CD de la figura es la media geométrica de AC y CB, es decir CD^2 = AC \cdot BC, cualquiera que sea la posición del punto C en el segmento AB.

Por otro lado la proposición I.1 de las Esféricas de Teodosio de Trípoli afirma que la sección que resulta de cortar una esfera con un plano es un círculo. Por tanto las secciones que resultan de cortar una semiesfera por planos perpendiculares a la base son semicírculos.

Por lo anterior en la siguiente figura el producto de los segmentos rojos es igual al producto de los segmentos verdes, pues los dos productos son iguales al cuadrado del segmento azul.

Y tenemos entonces la proposición III.35 de los Elementos, que afirma que en la figura adjunta, PF \cdot PG es constante, o, en palabras de Euclides, “si en un círculo se cortan dos rectas, el rectángulo comprendido por los segmentos de una es igual al rectángulo comprendido por los segmentos de la otra”.


La demostración que da Euclides de III.35 usa solo resultados de los dos primeros libros de los Elementos, es decir no usa geometría del espacio ni teoría de la proporción, pero no es inverosímil que ese resultado se descubriera por primera vez mediante la observación anterior. Al fin y al cabo parece que Arquitas y Eudoxo estaban familiarizados en la primera mitad del siglo IV a.C. con la geometría de la esfera.

La proposición III.35 se extiende inmediatamente a la esfera, pues el plano que forman dos rectas que se cortan en el interior de la esfera corta en la esfera una circunferencia.


Esta entrada participa en la Edición 4.1231 del Carnaval de Matemáticas cuyo anfitrión es el blog Matemáticas interactivas y manipulativas.

Morley trigonométrico

Introducción

Las líneas de puntos de la figura siguiente son trisectores interiores y exteriores de los ángulos del triángulo ABC. Por el teorema de Morley, esas líneas se cortan en vértices de triángulos equiláteros.

Además el lado de un triángulo equilátero de la figura es igual a ocho veces el radio de la circunferencia circunscrita a ABC multiplicado por el producto de los senos de los tres ángulos sombreados que contienen a ese triángulo equilátero, tocándolo en dos vértices.
(El seno de un ángulo sombreado en azul es igual al seno del ángulo rojo adyacente.)

Damos aquí una demostración elemental y directa de esos hechos a partir del teorema del seno, el teorema del coseno y la identidad trigonométrica:
            \sin 3\alpha = 4 \cdot \sin \alpha  \cdot \sin \alpha^{ \prime} \cdot  \sin \alpha^{ \prime \prime},
donde usamos la notación x^{\prime} = x+60^{\circ}, x^{\prime \prime} = x+120^{\circ}.

También usaremos la notación [xyz] para la expresión 8R \sin x \sin y \sin z, donde R es el radio de la circunferencia circunscrita al triángulo ABC.
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Proclo sobre el origen de la geometría

El capítulo IV de la segunda parte del prólogo al Comentario al primer libro de los Elementos de Euclides, de Proclo Diádoco, contiene una breve descripción del origen y desarrollo de la geometría, que es conocida como “sumario de Eudemo”, porque se supone comunmente que de Eudemo de Rodas proviene la mayoría de los datos que contiene. o como “catálogo de geómetras”, porque contiene una lista de nombres que contribuyeron al desarrollo inicial de la geometría.

El artículo de Conrado Eggers Lan, Eudemo y el “catálogo de geómetras” de Proclo (Emerita Vol. 53.1, 1985, pags 127-157) contiene una traducción (pags 132-136) y una discusión de las fuentes del texto.

El texto de Proclo, en la traducción de Eggers Lan, comienza así:

“Ahora debemos hablar sobre el nacimiento de la Geometría en el periodo actual. El divino Aristóteles, en efecto, ha dicho que las mismas opiniones ocurren a los hombres muchas veces conforme ciertos períodos regulares del universo. Las ciencias no han alcanzado su constitución por primera vez entre nosotros o entre hombres conocidos por nosotros, sino que también han aparecido y después desaparecido en todos aquellos ciclos, incontables, que han tenido lugar y que, a su turno, tendrán lugar.

Ahora bien, puesto que debemos examinar los comienzos de las técnicas y de las ciencias en el presente período, diremos, como ha sido narrado por la mayoría, que la geometría fue descubierta primeramente por los egipcios, y que debió su origen a la medición de las tierras. Tuvieron necesidad de ella, en efecto, a causa de las crecidas del Nilo, que borraban los límites propios de cada lote.

No es asombroso que el descubrimiento de esta ciencia y el de las demás haya surgido a partir de la necesidad, puesto que todo lo que se mueve en el devenir avanza desde lo imperfecto hacia lo perfecto. Resulta así natural el tránsito desde la percepción hasta el razonamiento, y desde éste hasta la intelección. Tal como el conocimiento exacto de los números debió su origen al comercio e intercambio entre los fenicios, así también la geometría fue descubierta por los egipcios por la causa mencionada.”

A continuación Proclo expone el desarrollo de la geometría en Grecia, comenzando por Tales.


Entradas relacionadas:
La primera geometría.
Ocio necesario.

En torno a la figura de Euclides I.47

Demostramos aquí alguna propiedad adicional de la figura de la proposición I.47 de los Elementos de Euclides.

En la figura tenemos cuadrados construidos sobre los lados de un triángulo rectángulo ABC. En las entradas anteriores hemos dado cuatro demostraciones diferentes del hecho de que las rectas AF, BD y la altura desde C se cortan en un punto.

Además se cumplen otras propiedades curiosas, por ejemplo:

  • CM es igual a CN e igual a la mitad de la media armónica de los catetos CA,CB.

  • El área de los 4 triángulos sombreados es la misma.

  • DH^2 + FK^2 = 5 \cdot GE^2 = 5 \cdot AB^2

La primera afirmación de deduce de la semejanza de \triangle DAM y \triangle BCM, y de \triangle FBN y \triangle ACN.

La segunda afirmación se obtiene del hecho de que \triangle DSA es congruente con \triangle APC y \triangle FTB con \triangle BPC.

Para la tercera afirmación, sea D' el pie de la perpendicular desde H sobre DA. Entonces \angle HAD'= \angle BAC, \triangle AHD' es semejante a \triangle BAC, y como AH=AB, esos triángulos son congruentes, AD'=AD=AC y HD'=BC.
Entonces DH^2 = BC^2 + (2\cdot AC)^2 = BC^2 + 4 \cdot AC^2.
De la misma forma FK^2 = AC^2 + 4 \cdot BC^2 y por tanto DH^2 + FK^2 = 5\cdot AB^2.


Fuente: Casey. A sequel to the first six books of the Elements of Euclid, pag. 16-17.

El punto de Herón con la razón doble

Demostramos aquí la generalización, mencionada en la entrada anterior, de la concurrencia de Herón al caso en que el ángulo \angle ACB no es recto.
En concreto se demuestra que si, en la figura, AD, BF son perpendiculares repectivamente a AC,BC y AF, BD se cortan en un punto K de la altura CC', entonces AD/AC = BF/BC.

La siguiente demostración se basa en el hecho de que las proyecciones conservan la razon doble de 4 puntos.
Dados 4 puntos A,B,C,D en una recta proyectiva su razón doble es \dfrac{AC}{AD} \cdot \dfrac{BD}{BC}.
La notación usual (ABCD) \barwedge (A'B'C'D') para rangos de puntos situados en dos rectas proyectivas indica que los puntos A,B,C,D se pueden conectar respectivamente con A',B',C',D' mediante una sucesión de proyecciones entre rectas en el plano, o, lo que es lo mismo, que la razon doble de ABCD es la misma que la de A'B'C'D'

En la figura adjunta H es el ortocentro de ABC.
Proyectando desde B tenemos que (\infty DAN) \barwedge (HKC'C).
Y proyectando estos puntos desde A,   (HKC'C) \barwedge (\infty FBM).
Por tanto (\infty DAN) \barwedge (\infty FBM), es decir \dfrac{DA}{DN} = \dfrac{FB}{FM} y entonces \dfrac{DA}{AN} = \dfrac{FB}{BM} o \dfrac{DA}{FB} = \dfrac{AN}{BM}.
Pero los triángulos rectángulos CBM,CAN son semejantes y por tanto \dfrac{AN}{BM} = \dfrac{AC}{BC}, de donde resulta que \dfrac{DA}{AC} = \dfrac{FB}{BC}, como queríamos demostrar.

El hecho de que, aunque \angle ACB no sea recto, AF, BD se cortan en la altura desde C si AD=AC y BF=BC fue comunicado por Vecten en 1817 en los Annales de Gergonne1, y, para el caso más general en que AD/AC = BF/BC, por Querret en 1825 en la misma revista2, con demostración que no usa conceptos de geometría proyectiva.


1 – Vecten. Extrait d’une lettre au rédacteur des Annales. Annales de Gergonne 7 (1816-1817) p. 321-324.
2 – Querret, Gergonne. Démonstration de deux théorèmes de géométrie… Annales de Gergonne 15 (1824-1825) p. 84-89.

El punto de Herón vía Ceva

El teorema de Ceva afirma que, con las letras de la figura, AA', BB', CC' se cortan en un punto si y solo si   \dfrac{A'B}{A'C} \cdot \dfrac{B'C}{B'A} \cdot \dfrac{C'A}{C'B} = -1.

Aplicando ese teorema Gergonne dio una demostración1 del hecho de que las líneas AF,BD, CC' de la figura se cortan en un punto, al que hemos llamado punto de Herón.

La demostración de Gergonne se adapta fácilmente para demostrar que si AD'/AD = BF'/BF entonces AF',BD',CC' se cortan en un punto, hecho que demostramos en la entrada anterior usando el teorema de Pappus.

Sea m=\dfrac{AD}{AC} = \dfrac{BF}{BC}.
Como \triangle BA'F, \triangle CA'A son semejantes, \dfrac {A'B}{A'C} = \dfrac{BF}{AC} = \dfrac {m \cdot BC}{AC}.
Y como \triangle AB'D, \triangle CB'B son semejantes, \dfrac {B'C}{B'A} = \dfrac{BC}{AD} = \dfrac {BC}{m \cdot AC}.
Por otro lado, como \angle ACB es recto, \triangle ACB \simeq \triangle AC'C \simeq \triangle CC'B y \dfrac{C'A}{AC} = \dfrac{AC}{AB}, \  \dfrac{C'B}{BC} = \dfrac{BC}{AB}, de donde \dfrac{C'A}{C'B} = \dfrac{AC^2}{BC^2}.
Entonces, como \dfrac{C'A}{C'B} es negativo, y \dfrac{A'B}{A'C}, \ \dfrac{B'C}{B'A} tienen el mismo signo, resulta que \dfrac{A'B}{A'C} \cdot \dfrac{B'C}{B'A} \cdot \dfrac{C'A}{C'B} = -1.

Esta demostración, como la basada en el teorema de Pappus y la dada por Herón no se aplica al caso en que \angle ACB no sea recto.

Pero la concurrencia de las rectas BD, AF y la altura desde C en un punto se da para cualquier ángulo \angle ACB.



1 – Gergonne. Démonstration d’un théorème énoncé dans le Philosophical Magazine, pour septembre 1823. Annales de Gergonne, 14, 1823-1824 p. 334-336