Sumas de cuatro cuadrados II

Demostramos que para todo número natural  m el número de soluciones  (x,y,z,w), con  x,y,z,w enteros, de  x^2+y^2+z^2+w^2 = m   es ocho veces la suma de los divisores de  m que no son múltiplos de cuatro. (Jacobi, 1834)

En el siguiente recuadro se puede comprobar ese teorema, para m < 1000.
Además cuando m es 4 veces un impar aparece en rojo la verificación del resultado de la entrada anterior sobre soluciones impares positivas.

Número de soluciones de
         a2 + b2 +c2 + d2 =

Suma de los divisores impares de 204:
1 + 3 + 17 + 51 = 72.
Por tanto hay 24 x 72 = 1728 soluciones enteras de la ecuación anterior.

O bien, contando las soluciones con sus permutaciones y signos:
(  a,  b,  c,  d)   Perm. x Signos = Total
(  0,  2,  2, 14)     12         8      96
(  0,  2, 10, 10)     12         8      96
(  1,  1,  9, 11)     12        16     192
(  1,  3,  5, 13)     24        16     384
(  2,  6,  8, 10)     24        16     384
(  3,  5,  7, 11)     24        16     384
(  5,  7,  7,  9)     12        16     192

La suma de la última columna es ...   1728
Soluciones impares positivas: 72

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Sumas de cuatro cuadrados I

En esta entrada demostramos que el número de soluciones (x,y,z,w), con x,y,z,w impares positivos, de la ecuación  x^2 + y^2 + z^2 + w^2 = 4n, donde  n es un impar dado, es igual a la suma de los divisores de  n. (Jacobi, 1828)

Partimos del hecho, demostrado en una entrada anterior, de que el número de soluciones (x,y) con x,y enteros, de x^2 + y^2 = n, es cuatro veces la diferencia entre el número de divisores de n de la forma 4k+1 y el número de los de la forma 4k+3. Si n no es un cuadrado, el número de soluciones (x,y) con x,y enteros positivos es esa diferencia, porque cada solución en positivos da lugar a cuatro soluciones en enteros, colocando signos.

Considerando restos módulo 4, si x,y son impares, x^2 + y^2 es el doble de un número impar y si x^2 + y^2 es el doble de un número impar entonces x,y son impares.

Designamos con N[\alpha] el número de soluciones positivas impares de la ecuación \alpha..
En lo que sigue todas las letras representan números impares positivos.

\displaystyle N[x^2+y^2+z^2+w^2\! = \!4n]  = \sum_{\substack{2p + 2q = 4n}} N[x^2 + y^2 \! = \! 2p] \cdot N[z^2 + w^2 \! =\! 2q]=
\displaystyle = \sum_{\substack{2p + 2q = 4n}} \left(\sum_{p'|p} (-1)^{(p'-1)/2}  \cdot \sum_{q'|q} (-1)^{(q'-1)/2} \right)  = \sum_{\substack{p + q = 2n}} \sum_{\substack{p'|p \\ q'|q }} (-1)^{(p'-q')/2} ,
porque (-1)^{(p'-1)/2}  \cdot  (-1)^{(q'-1)/2} es positivo si los impares p',q' son congruentes módulo 4 y negativo en otro caso.

En la última suma hay un término por cada solución (p',p'',q',q'') de la ecuación p'p''+q'q''=2n, con signo positivo si p'-q' es múltiplo de 4 y con signo negativo si no lo es.
Los términos correspondientes a soluciones con p' > q' se cancelan, porque hemos visto en la entrada anterior sobre la involución de Dirichlet que en esas soluciones hay tantos p' - q' múltiplos de 4 como no múltiplos.
Las soluciones con p' < q' se obtienen de las anteriores intercambiando p' con q' y p'' con q'' y por tanto también dan lugar a tantos términos positivos como negativos en el sumatorio.
Queda por evaluar la suma de los términos en que p' = q'. En ese caso cada término es positivo, y su suma será el número de esos términos, es decir el número de soluciones en impares positivos de p'(p''+q'') = 2n.
Por tanto \displaystyle N[x^2+y^2+z^2+w^2=4n]  = N[x(y+z) = 2n].
Como N[ x+y = 2n] = n, porque x puede tener cualquier valor impar 1,\ldots,2n-1, N[x(y+z) = 2n] = \sum_{d|n} N[y+z = 2n/d] = \sum_{d|n} n/d = \sum_{d|n} d .

Por tanto el número de soluciones positivas impares de la ecuación x^2 + y^2 + z^2 + w^2 = 4n, con n impar, es la suma de los divisores de n.

El argumento anterior es de Dirichlet (1856). En la siguiente entrada usamos el resultado demostrado aquí para obtener el número de soluciones enteras de la ecuación x^2 + y^2 + z^2 + w^2 = m, para cualquier m natural.


Esta entrada participa en la Edición 4.12310 del Carnaval de Matemáticas cuyo anfitrión es el blog Geometría Dinámica.

Una involución de Dirichlet

“Permíteme, querido amigo, volver un instante sobre la conversación que hemos tenido últimamente sobre el bello teorema de Jacobi relativo al número de descomposiciones de un entero en cuatro cuadrados, teorema que el iluste geómetra ha deducido primero de sus series elípticas y del que ha dado después una demostración aritmética….”

Así comienza el extracto de la carta de Lejeune-Dirichlet a Liouville, que éste publicó en su Journal de Mathematiques en 1856, y donde Dirichlet presenta una involución del conjunto de soluciones de xy+zw = n, para un n par dado, con x,y,z,w impares positivos y x > z.

Representamos una solución (a,b,c,d) de la ecuación a \cdot b + c \cdot d = n, con a,b,c,d impares positivos y a > c, como en la figura adjunta. donde tenemos representada la solución 5 \cdot 3 + 3 \cdot 3 = 24.

Como a,b,c,d son impares, a\! -\! c y b\!+\!d serán pares.

Transformamos una solución reflejando primero su figura sobre una recta vertical y dividiéndola en tantas partes de anchura a\! -\! c como podamos, de forma que tendremos una parte (1) de anchura a\! -\! c, y, según la anchura del resto, ninguna o varias partes (2) y finalmente una parte (3) con un resto no vacío porque la anchura total de la figura es impar y a\! -\! c es par.
Separamos las partes, todas de anchura a\! -\! c menos la última con anchura menor, manteniendo su orden, y giramos cada parte 90^{\circ}.
Uniendo las partes una vez giradas tendremos la figura

que representa otra solución (a',b',c',d') de la ecuación a \cdot b + c \cdot d = n, en este caso 15 \cdot 1 + 9 \cdot 1 = 24.

Es claro, por el procedimiento de transformación de (a,b,c,d) en (a',b',c',d') que

  • a',b',c',d' son impares positivos y   a' > c'.
  • a'-c' = b\!+\!d   y   b'+d' = a\! -\! c.
  • Aplicando la misma transformación a la solución (a',b',c',d') volvemos a obtener la solución original (a,b,c,d).

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Superficies transversales

Sea en el espacio una superficie algebraica de grado n y un cuadrilátero ABCD, en general alabeado, cuyos lados o sus prolongaciones cortan a la superficie cada uno en n puntos.
Si designamos con (XY) el producto de las distancias desde X hasta los puntos de intersección de la recta XY con la superficie, se cumple:
\dfrac{(AB)\cdot (BC) \cdot (CD)\cdot (DA)}{(AD)\cdot (BA)\cdot (CB)\cdot (DC)} = 1.
Análogamente sucede para un polígono de cualquier número de lados.

Porque trazando desde A las diagonales al resto de los vértices, el plano de cada triángulo sucesivo \triangle ABC, \triangle ACD, \ldots corta en la superficie de grado n una curva de grado n y aplicando el teorema de Carnot sobre curvas transversales a esos triángulos y multiplicando las ecuaciones, se cancelan los términos correspondientes a las diagonales desde A.

En el caso de que la superficie sea de primer grado, es decir en el caso de que sea un plano, resulta \dfrac{AP \cdot BQ \cdot CR\cdot DS}{AS\cdot BP \cdot CQ\cdot DR} = 1 , si P,Q,R,S son la intersección respectivamente de los lados AB,BC,CD,DA del cuadrilátero con el plano.
En este caso esa condición es además suficiente para que los puntos P,Q,R,S sean coplanarios, tomando las razones \dfrac{AP}{BP} con signo, porque por 3 puntos del espacio pasa un plano y un valor \dfrac{AP}{BP} determina unívocamente un punto P en la recta AB.

Por otro lado en el caso de la superficie sea de segundo grado, es decir en el caso de que sea una cuádrica, y los dos puntos de interseccion de cada lado con la cuádrica se fundan en uno, es decir cuando los lados del cuadrilátero o sus prolongaciones sean tangentes a la superficie, resultará \dfrac{AP \cdot BQ \cdot CR\cdot DS}{AS\cdot BP \cdot CQ\cdot DR} = 1 si P,Q,R,S son los puntos de tangencia de los lados del cudrilátero con la cuádrica.

Pero esa condición es suficiente para que esos puntos sean coplanarios, y por tanto si los lados de un cuadrilátero alabeado o sus prolongaciones son tangentes a una cuádrica, los cuatro puntos de tangencia están en un mismo plano.

Esta última proposición aparece en la nota de la página 14 de la Memoire sur les lignes du second ordre… (1817) de Brianchon y las anteriores en los artículos 379-381 de la Geómetrie de position (1803) de Carnot.

Teorema de Carnot sobre curvas transversales

Sea un triángulo ABC y una curva algebraica de grado n que corta a cada lado del triángulo en n puntos.

Designamos con (XY) el producto de las distancias desde el punto  X a los puntos de intersección de la recta XY con la curva.
En la figura (AB) = AC_1 \cdot AC_2,   (BA) = BC_1 \cdot BC_2, etc.

Entonces (AB)(BC)(CA) = (AC)(BA)(CB).

La demostración siguiente aparece en el artículo 378 de la Géométrie de position de Carnot, con la notación anterior y esta figura:

Trazamos por A una recta AK paralela a BC. Por un teorema de Newton, \dfrac{(AK)}{(AB)} = \dfrac{(BC)}{(BA)}   y   \dfrac{(AK)}{(AC)} = \dfrac{(CB)}{(CA)}.     Despejando AK tenemos (AB)(BC)(CA) = (AC)(BA)(CB),   como queríamos demostrar.

Si la curva tiene grado 1, es decir si es una recta, tenemos como caso particular el teorema de Menelao.

Poncelet da otra demostración (art. 150 de su Traité…) observando que, como \dfrac{(AB)(BC)(CA) }{(AC)(BA)(CB)}, desarrollado en sus términos, por su criterio, es un invariante proyectivo, el teorema se reduce al de Newton, pues proyectando el vértice A al infinito, \dfrac{(AB)}{(AC)} = 1 y los lados BA,CA se hacen paralelos.

Un teorema de Carnot (art. 137)

La suma de las distancias desde el circuncentro de un triángulo a sus lados es igual a la suma de los radios de las circunferencias circunscrita e inscrita del triángulo, tomando con signo negativo la distancia al lado opuesto al ángulo obtuso, si lo tiene.

Este es uno de los resultados conocidos con el nombre de “teorema de Carnot“, demostrado en artículo 137 de su Géométrie de position con la figura adjunta.

El argumento de Carnot, con las letras de la figura siguiente y siendo s = a + b + c el semiperímetro de \triangle ABC, es:
El cuadrilátero AC'OB' es cíclico por los ángulos rectos en B' y C'. Entonces por el teorema que hoy llamamos de Ptolomeo:
a\cdot R = b \cdot d_C + c \cdot d_B
y permutando letras cíclicamente tenemos las ecuaciones
a\cdot R = b \cdot d_C + c \cdot d_B + a \cdot d_A - a \cdot d_A
b\cdot R = c \cdot d_A + a \cdot d_C + b \cdot d_B - b \cdot d_B
c\cdot R = a \cdot d_B + b \cdot d_A + c \cdot d_C - c \cdot d_C
que sumadas dan
s \cdot R = s \cdot (d_A+d_B+d_C) - [a\cdot d_A + b \cdot d_B + c \cdot d_C].
Pero los términos de la expresión entre corchetes son las áreas de \triangle OBC, \triangle OAC, \triangle OAB y por tanto su suma es igual al área de \triangle ABC = s \cdot r.
Entonces d_A+d_B+d_C = R + r.

Si \triangle ABC es obtusángulo,
a \cdot R = b \cdot d_C + c \cdot d_B
b \cdot R = -c \cdot d_A + a \cdot d_C
c \cdot R = a \cdot d_B - b  \cdot d_A,
y el área de \triangle ABC es la suma de las áreas de \triangle OAB, \triangle OAC menos el área de \triangle OBC, con lo que tomando d_A con signo negativo se cumple el resultado anterior.

Carnot concluye el artículo 137 con dos corolarios:

(1) – La suma de las distancias desde el ortocentro de un triángulo a sus vértices es igual a la suma de los diámetros de las circunferencias circunscrita e inscrita del triángulo, tomando con signo negativo la distancia al ángulo obtuso, si lo hay.
Porque la distancia del ortocentro a un vértice es el doble de la distancia del circumcentro al lado opuesto, resultado demostrado por Carnot en el artículo 131.

(2) – El radio de la circunferencia inscrita entre el radio de la circunferencia circunscrita es igual a la suma de los cosenos de los ángulos disminuida en 1.
Porque d_A = R \cos \angle A, \ d_B = R \cos \angle B, \ d_C = R \cos \angle C y entonces R + r = R( \cos \angle A + \cos \angle B + \cos \angle C) y r/R =   \cos \angle A + \cos \angle B + \cos \angle C - 1.

Un poema de Lazare Carnot

Lazare Nicolas Marguerite Carnot fue un militar y político francés de interesante biografía, cofundador de l’Ecole Polytechnique, gran geómetra, y padre de Sadi Carnot, el fundador de la termodinámica.

Diferentes resultados geométricos, publicados en su Géometrie de position (1803), llevan hoy el nombre de “teorema de Carnot” (por ejemplo este o este o este o este, y alguno más).

Menos conocido es que también escribió algunos poemas, parece que no muy buenos.
Así comienza, con traducción literal, su “Don Quijote, poema heroi-cómico, en seis cantos”:

A Don Quijote, al héroe de la Mancha,
mi débil Musa ha consagrado estos cantos,
cuando de Arouet haría falta el talento,
y de un Esténtor la voz sonora y franca,
para celebrar tantos hechos brillantes.
No importa, hace halta contar las aventuras
del Castellano, la flor de los caballeros.
De sus hazañas, de sus rasgos singulares,
esbozaré ingenuas pinturas.
Inspiradme, Ninfas del Toboso,
vosotras, entre las que debo cantar a Dulcinea,
quien del héroe fijó el destino.



Un teorema de Newton

Sea una curva algebraica C(x,y)=0 de grado n y dos rectas que cortan a la curva en el plano real, cada una en n puntos.

Para cada recta, formamos el producto de las distancias desde el punto A de intersección de las dos rectas hasta los puntos de intersección de esa recta con la curva.

Para unas direcciones dadas de las rectas, la razón entre esos productos no depende del punto A, es decir si por otro punto B pasan dos rectas, paralelas a las que pasan por A, que cortan a la curva en n puntos, la razón entre los productos correspondientes es la misma.

Ese resultado está demostrado por Apolonio de Perga (200 a.C) en el libro III de las Cónicas, para las curvas de segundo grado.

A Newton (1703) se atribuye el resultado general, porque lo enuncia para las curvas de tercer grado en su Enumeratio linearun tertii ordinis, II.4 (original en latín aquí y traducción inglesa aquí), aunque queda claro por el título de la sección II, “Propiedades de las secciones cónicas aplicables a curvas de grado superior”, que la propiedad se extiende a curvas de cualquier grado.

Euler (1748) da una demostración elemental en el artículo 247 de la segunda parte de su Introductio in analysin infinitorum.
La demostración utiliza la figura adjunta, a la que hemos añadido la letra “C”, olvidada por el editor en la figura original.

La siguiente demostración es la que expone Lazare Carnot (1803) en los artículos 374-376 de su Géométrie de position.
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