Apolonio III.16-21 via Poncelet-Carnot

Si dos cuerdas AJ, BK de una cónica se cortan en un punto C y otras dos cuerdas GH, DF, paralelas a las anteriores, se cortan en un punto E, se cumple la relación entre segmentos indicada en la figura.
Si desplazamos una cuerda hasta convertirla en una tangente el producto de segmentos correspondiente se convierte en el cuadrado de un segmento.

Esa proposición es un corolario inmediato de la proposición 17 (y 19) del libro III de las “Cónicas” de Apolonio de Perga, aunque ahí no se enuncia explicítamente. En esas proposiciones Apolonio demuestra que en la figura anterior cada uno de los cocientes es igual al cociente entre los cuadrados de los segmentos de las tangentes paralelas a las cuerdas.


Las proposiciones III.16 y III.17 de las “Cónicas” establecen las relaciones indicadas para cualquier “sección”, en la terminología de Apolonio. Eso incluye a la parábola, a la elipse y a la curva formada por una rama de la hipérbola. Para Apolonio la hipérbola completa, formada por las dos ramas de la curva, no es una sección, sino “secciones opuestas”. Apolonio dedica las proposiciones III.18-21 a demostrar las relaciones siguientes para las “secciones opuestas”.



Las proposiciones anteriores (III.16-21) de Apolonio son casos particulares de la primera proposición de esta entrada, que Poncelet obtiene como corolario del teorema de Carnot en el artículo 35 de su “Traité des propriétés projectives des figures”:

Por el teorema de Carnot, si los lados de un triángulo ABC cortan a una cónica en 6 puntos, tenemos, con las letras de la figura, \dfrac{AP \cdot AP' \cdot BQ \cdot BQ' \cdot CR \cdot CR'}{BP \cdot BP' \cdot CQ \cdot CQ' \cdot AR \cdot AR'} = 1.
Si A se mueve hacia un punto del infinito, en el límite \dfrac{AP \cdot AP' }{ AR \cdot AR'} = 1, y por tanto en la figura, si las cuerdas PP', RR' son paralelas tendremos \dfrac{ BQ \cdot BQ' \cdot CR \cdot CR'}{BP \cdot BP' \cdot CQ \cdot CQ' } = 1, es decir \dfrac{ BQ \cdot BQ' }{BP \cdot BP'} = \dfrac{CQ \cdot CQ' }{ CR \cdot CR'}.

Aplicando ese resultado a las paralelas SS',QQ' cortadas por RR', tenemos \dfrac{ CQ \cdot CQ' }{CR \cdot CR'} = \dfrac{FS \cdot FS' }{ FR \cdot FR'}.
Por tanto \dfrac{ BQ \cdot BQ' }{BP \cdot BP'} = \dfrac{FS \cdot FS' }{ FR \cdot FR'}, y queda demostrada la proposición inicial de esta entrada, y en consecuencia las proposiciones III.16-21 de las “Cónicas” de Apolonio.

El teorema de Carnot en Poncelet

En el artículo 34 del “Traité des propriétés projectives des figures” (1822), Poncelet da una demostración simple del teorema de Carnot para el caso de una curva de segundo grado, es decir, de una sección cónica cortada por 3 rectas:

Es decir, si los lados de un triángulo o sus prolongaciones cortan a una cónica en 6 puntos, se cumple que, en la figura, \dfrac{AP \cdot AP' \cdot BQ \cdot BQ' \cdot CR \cdot CR'}{BP \cdot BP' \cdot CQ \cdot CQ' \cdot AR \cdot AR'} = 1.

Porque en el caso de que la curva sea una circunferencia, por Euclides III.35 y III.36,  AP \cdot AP'= AR \cdot AR', etc, y se cumple evidentemente la relación.

Como cada punto en el producto de razones aparece el mismo número de veces en el numerador y denominador, y cada recta da lugar al mismo número de segmentos en el numerador y denominador, por el criterio de Poncelet el cociente anterior es proyectivo, es decir su valor no varía si se proyecta la figura sobre otro plano.
Y como una cónica es la proyección de una circunferencia, la relación anterior se cumple para cualquier cónica cortada por 3 rectas.