Media armónica focal

Demostramos aquí que, en cualquier cónica, la media armónica de los dos segmentos que separa el foco F en las cuerdas que pasan por él, o cuerdas focales, es la misma para todas esas cuerdas.

Esa media armónica constante será por tanto igual a la mitad FL de la cuerda focal perpendicular al eje.
En la figura   \dfrac{2}{FL} = \dfrac{1}{FM} + \dfrac{1}{FM'} = \dfrac{1}{FN} + \dfrac{1}{FN'}

En la siguiente figura CG es la directriz, F es el foco, AB es una cuerda focal que corta a la cónica en A,B y a la directriz en C y LE es la cuerda focal perpendicular al eje.
Por la propiedad foco-directriz \frac{AF}{AG} = \frac{BF}{BH}, y por tanto \frac{AF}{AC} = \frac{BF}{BC}. Entonces C,F;B,A es una cuaterna armónica de puntos y por tanto CF es la media armónica de CB y CA.
Como por semejanza de triángulos, los segmentos CF,CB,CA son respectivamente proporcionales a FD,BH,AG,   FD = LK es media armónica de BH y AG, y como por la propiedad foco-directriz LK,BH,AG son respectivamente proporcionales a LF,BF,AF,   LF es la media armónica de BF y AF.

Como eso sucede para cualquier cuerda focal, la media armónica de los segmentos en que el foco divide a cualquier cuerda focal es la misma para todas las cuerdas focales.

Como corolario tenemos que la razón entre el producto de los segmentos de 2 cuerdas focales es igual a la razón entre las cuerdas focales.
Porque como \dfrac{1}{FA} + \dfrac{1}{FB} =  \dfrac{1}{FS} + \dfrac{1}{FT}, \dfrac{FA + FB}{FA \cdot FB} = \dfrac{FS + FT}{FS \cdot FT}     y por tanto \dfrac{AB}{ST} =  \dfrac{FA \cdot FB}{FS \cdot FT}.

Además, como demostramos en una entrada anterior, esa razón es igual a la razón entre los productos de los segmentos que forman dos cuerdas cualesquiera paralelas a las cuerdas focales, entre su punto de intersección y la cónica.


Fuente: Charles Taylor, “An introduction to the ancient and modern geometry of conics” (1881), Proposition IX, pag.26.


Esta entrada participa en la Edición 5.2 del Carnaval de Matemáticas cuyo anfitrión es el blog Matesdedavid.

Apolonio I.21

Dados un diámetro AB, un lado recto AC y una dirección de ordenadas ST, en las proposiciones 13 y 12 del primer libro de las Cónicas, Apolonio caracteriza en el plano a la elipse y a la hipérbola como el lugar geométrico de los puntos S,T tales que los cuadrados sobre XS y XT son iguales al rectángulo AH, en las figuras anteriores.

A partir de ahí   \dfrac{CA}{AB} = \dfrac{XH}{XB} = \dfrac{XH \cdot XA }{XB \cdot XA} = \dfrac{XS^2}{XA \cdot XB}
Y, por tanto si YU es otra ordenada de la cónica central \dfrac{XS^2}{YU^2} = \dfrac{XA \cdot XB}{YA \cdot YB}, que es la proposición I.21 de Apolonio.

La misma propiedad (para el eje de la cónica) se demuestra a partir de la definición moderna de las cónicas como el lugar geométrico de los puntos cuyas distancias a un foco y a una directriz están en una razón dada.
Por semejanza de triángulos, en la figura \dfrac{XS}{XB} = \dfrac{DC}{DB}   y   \dfrac{XS}{XA} = \dfrac{DE}{DA} y por tanto \dfrac{XS^2}{XA \cdot XB} = \dfrac{DC \cdot DE}{DA \cdot DB }.
Pero DC \cdot DE = DF^2, porque vimos que \angle CFE es recto.
Entonces \dfrac{XS^2}{XA \cdot XB} es constante, y la curvas definidas mediante la propiedad foco-directriz son las mismas que las definidas por Apolonio.

Poncelet obtiene el resultado de esta entrada en el artículo 39 de su Traité des propriétés projectives como caso particular de Apolonio III.16-21, que Poncelet demuestra como vimos sin usar la proposición I.21 de Apolonio.

El Istikmal de Al Mutamán

La entrada 82 del segundo volumen (1851) del catálogo Codices Orientales Bibliothecae Regiae Hafniensis [Hafnia en latín es Copenhague], pags.64-67, describe un manuscrito árabe y comienza así:

Códice in folio, 128 hojas de papel oriental fuerte y antiguo, en caracteres africanos bien escritos, pero muy deteriorado por polillas. Contiene en buena parte libros matemáticos, sobre aritmética, geometría y estereometría. El nombre del autor se ignora. Aunque está escrito en una hoja sin numerar al principio del libro: “Euclides”, ello no es verdad. Este libro estaba dividido en dos géneros de disciplinas matemáticas, ambos géneros incluyen varias especies, divididas a su vez en varias especies, cuyas partes son llamadas secciones…

Jan Hogendijk descubrió que ese manuscrito pertenece a la misma obra que dos fragmentos conservados en Leiden y El Cairo, y, sobre 1984, con Ahmed Djebbar, que esa obra es el Kitab al Istikmal, o Libro de la Perfección, del príncipe matemático, y luego rey de Zaragoza, Yusuf Al Mutamán Ibn Hud también conocido en la historia de España como Al Mutamín.
El descubrimiento fue importante porque hasta entonces no se conocía ninguna copia del Istikmal.

Hogendijk afirma que “el Istikmal es una de las obras más largas, si no la más larga, sobre matemáticas puras en toda la tradición antigua y medieval”.

El siguiente diagrama de Hogendijk muestra la estructura de secciones del Istikmal. Cada bloque de la fila “sections” es una sección y las barras de las filas K,L y C,D indican las porciones de la obra que se conservan en los manuscritos de Copenhague (K), Leiden (L) y Cairo (C,D).

He añadido la situación del hoy mal llamado teorema de Ceva, situado al final del bloque blanco apuntado por la flecha roja (es el último teorema de la segunda sección de la subespecie ‘N31′). Al Mutamán demuestra este teorema combinando dos aplicaciones del teorema de Menelao.

Pocos años después del descubrimiento del Istikmal, Ahmed Djebbar observó que una obra de Ibn Sartaq (siglo XIV), que se conserva en dos manuscritos en El Cairo y Damasco, es una versión del Istikmal de Al Mutamán, que permite completar las partes que faltan en el manuscrito oriental 82 de Copenhague.


Fuentes.
Comunicación del descubrimiento del Istikmal de Al Mutamán:
J.Hogendijk. Discovery of an 11th-Century Geometrical Compilation: The Istikmal of Yusuf al-Mutaman ibn Hud, King of Saragossa. Historia Mathematica, 13.1 (1986) pp.43-52
Evaluación histórica de Al Mutamán y el Istikmal:
J.Hogendijk. Al-Mutaman ibn Hud, 11th century king of Saragossa and brilliant mathematician. Historia Mathematica, 22.1 (1995) pp.1-18
Detalle del contenido del Istikmal:
J.Hogendijk. The geometrical parts of the Istikmal of Yusuf al-Mu’taman ibn Hud (11th century). An analytical table of contents. [E 26] Archives Internationales d’Histoire des Sciences 41 (1991), pp.207-281.
La obra de Ibn Sartaq, versión del Istikmal:
A.Djebbar. La rédaction de L’istikmal d’al-Mutaman (XI s.) par Ibn Sartaq, un mathématicien des XIIIe–XIVe siècles. Historia Mathematica, 24.2 (1997) pp.185-192
En apéndice 1, demostración del ‘teorema de Ceva’ en Al Mutamán e Ibn Sartaq:
J.Hogendijk. The lost geometrical parts of the Istikmal of Yusuf al-Mu’taman ibn Hud (11th century) in the redaction of Ibn Sartaq (14th century): An Analytical Table of Contents, [E 61] Archives Internationales d’Histoire des Sciences 53 (2004) pp.19-34.


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Ángulo recto focal (II)

Del argumento de la entrada anterior podemos concluir que el segmento HK que resulta de proyectar sobre la directriz una cuerda focal CD desde un punto P de la cónica subtiende un ángulo recto desde el foco:

Vimos en la entrada anterior que de la propiedad foco-directriz y de Euclides VI.3 se obtiene que FH es bisectriz externa del ángulo DFP. De la misma forma FK es bisectriz externa del ángulo CFP.

Como CFP y DFP son complementarios, esas bisectrices son perpendiculares.

Ángulo recto focal

En los Elementos de Euclides (proposición VI.3) se demuestra que, si D está en el segmento BC, AD es bisectriz del ángulo BAC si y solo si BD/CD = BA/CA.

La recta AE, perpendicular a AD, será entonces bisectriz del ángulo externo en A y como AB,AC,AD,AE son una cuaterna armónica de rectas, su sección B,C,D,E será una cuaterna armónica de puntos y por tanto BD/CD = BE/CE, y AE es bisectriz del angulo externo en A si y solo si BE/CE= BA/CA.

Si P es un punto de una cónica (definida como el lugar geométrico de los puntos cuyas distancias a un foco F y a una directriz están en una razón dada) y R es la intersección de la tangente a la cónica en P con la directriz, entonces el ángulo PFR es recto.

Porque si PQ es una cuerda de una cónica y R su intersección con la directriz, por la definición foco-directriz PF/QF = PR/QR y por tanto FR es, por la proposición anterior, bisectriz externa del ángulo PFQ.
Como la bisectriz interna del ángulo es perpendicular a la externa, cuando Q coincide con P la cuerda PQ se convierte en la tangente, y el ángulo RFP será recto.

Como consecuencia, las tangentes a una cónica en los extremos de una cuerda que pasa por el foco se cortan en la directriz, y por tanto la directriz es la polar del foco respecto a la cónica.