El radio de curvatura en las cónicas

Sea O la intersección de las normales a una curva en dos puntos P y P’. Cuando P’ se mueve en la curva hasta coincidir con P el punto O se moverá hasta un punto límite que será el centro de la circunferencia osculatriz en P, y el radio de curvatura de la curva en el punto P será el límite, cuando P’ tiende a P, de la distancia OP.

Demostramos a continuación que en una cónica, ese límite de OP, o radio de curvatura en P, es OP = PG3/SL2, donde PG es el segmento de la normal entre la curva y el eje, y SL el segmento perpendicular al eje entre el foco y la curva, que es la mitad del lado recto.
Si P es un extremo del eje, no existe el punto G, pero entonces OP=SL.


Sea S el foco de una cónica y MR la directriz. Si P y P’ son dos puntos de la cónica, SP/PM=SP’/P’M'=ε es la excentricidad.
Por el lema 1 de la entrada anterior, SG/SP=SP/PM=ε. Entonces SG/PM=(SG/SP)22.
De la misma forma SG’/P’M'=ε2.
Y por tanto (SG’-SG)/(P’M'-PM) = GG’/PN = ε2.
Como los triángulos OGG’ y OPT son semejantes, OG/OP=GG’/PT=(GG’/PN)·(PN/PT) = ε2·PN/PT.

Para obtener el límite de PN/PT cuando P’ tiende a P, observamos que el límite del ángulo PP’T es un ángulo recto, y si PP’T es un triángulo rectángulo PN/PT = (PN/PP’)2.
Cuando P’ tiende a P, la recta P’P tiende a la tangente en P y por tanto en el límite los triángulos PNP’ y PMR son semejantes y, en el límite, PN/PP’=PM/PR.
Por tanto OG/OP = ε2·(PM/PR)2 = SP2/PR2, porque ε·PM=SP.
Entonces (OP-OG)/OP = PG/OP = (PR2-SP2)/PR2 = SR2/PR2, porque el ángulo PSR es recto.
Pero por el lema 2 de la entrada anterior, SR/PR=SL/PG y entonces PG/OP=SL2/PG2, o OP=PG3/SL2, como queriamos demostrar.

Como PG es la media geométrica de los segmentos de la cuerda focal paralela a la tangente (SL es la media armónica), el límite de PG cuando P tiende a la intersección de la cónica con el eje será SL, porque S es el punto medio de la cuerda focal paralela a la tangente.
Entonces el radio de curvatura en la intersección con el eje es OP=SL3/SL2=SL.



Adaptado de:
The Oxford, Cambridge and Dublin Messenger of Mathematics, vol.III, 1866, pag.97

Dos lemas sobre el radio focal

Para referencia posterior, se demuestran aquí dos lemitas sobre el radio focal de una cónica, consecuencias de la demostración presentada en la entrada sobre la normal y los radios focales.
Como en esa entrada, en las siguientes figuras P es un punto de una cónica con foco S y directriz MX.

Lema 1.
El radio focal SP es la media geométrica de MP, distancia de P a la directriz, y de SG, distancia del foco S a la intersección de la normal con el eje. Es decir SG/SP=SP/MP, que es la excentricidad de la cónica.
Porque, por ser PSR recto, la circunferencia de diámetro PR pasa por M y S, y PG es tangente a esa circunferencia. Entonces los ángulos SPG y PMS son iguales. Los ángulos MPS y PSG también son iguales y por tanto los triángulos PSG y MPS son semejantes y MP/SP=SP/SG.


Lema 2.
En la figura PR/SR=PG/SL.
Si SY es perpendicular a la tangente desde el foco, PS/SY = PG/SL.

Los ángulos SPR y SPG son complementarios, porque el ángulo RPG es recto.
Como PSR es recto y PKG también lo es, los triángulos RSP y PKG son semejantes y por tanto PR/SR=PG/PK. Pero vimos que PK=SL, la mitad del lado recto, y por tanto PR/SR=PG/SL.
Los triángulos SYP y PKG también son semejantes, y entonces PS/SY=PG/PK=PG/SL.

Apolonio I.34

Sea AB un diámetro de una cónica central y C un punto de la cónica. Trazamos desde C la ordenada correspondiente al diámetro AB que corta a ese diámetro en un punto D. Si E es un punto de la recta AB, distinto de D, tal que EB/EA=DB/DA (es decir, si ED;AB es una cuaterna armónica de puntos), entonces EC es tangente a la cónica en C.

Esta es la proposición 34 del libro I de las Cónicas de Apolonio. En la proposición I.36 Apolonio concluye que puesto que la tangente en C es única, se cumple la recíproca, es decir si CE es la tangente a una cónica central en C, entonces E,D;A,B es una cuaterna armónica de puntos. (Ya vimos que Apolonio obtiene los resultados correspondientes a la parábola en I.33 y I.35).

Apolonio demuestra la proposición I.34 mostrando que si EA:EB=DA:DB, y desde un punto G de AB, distinto de D, trazamos una ordenada GH, que corta a la cónica en H y a la recta EC en F, entonces GF > GH. Por tanto la recta EC es una tangente.

La demostración de Apolonio usa la proposición I.21 y el hecho de que si X es un punto de un segmento PQ, PX·XQ es máximo cuando X es el punto medio de PQ, que es un corolario de Euclides II.5 o de II.14.

Apolonio establece primero que si N y L son las proyecciones desde C de los puntos D y B sobre
la paralela a la tangente por A, entonces AN=NL. Porque EA/EB=CL/CB=NL/KB y DA/DB=AN/KB y como EA/EB=DA/DB, AN=NL.

Entonces, si O es la proyección desde C sobre AL de un punto G de AB distinto de D, O no es el punto medio de AL y por tanto AN·NL > AO·OL y NL/OL > AO/AN.
Pero NL/OL=KB/BM, y por tanto KB·AN > AO·BM.

Como KB/CE=BD/DE, AN/CE=DA/DE, AO/CE=AG/GE y BM/CE=GB/GE, por
la última desigualdad, BD·DA/DE2 > AG·GB/GE2, es decir GE2/DE2 > AG·GB / AD·DB.

Pero por Apolonio I.21, AG·GB / AD·DB = HG2/CD2, y por tanto GE/DE > HG/CD.

Por semezanza de los triángulos CED y FEG, GE/DE=FG/CD y por tanto FG/CD > HG/CD y FG>HG, y por tanto, concluye Apolonio, la recta EC es tangente en C.

La normal y los radios focales

Demostramos aquí que, en las cónicas, la proyección ortogonal sobre los radios focales del segmento de la normal entre la curva y el eje es constante e igual a la mitad del lado recto.

En la figura, P es un punto de una cónica con focos S’,S ; G es la intersección de la normal en P con el eje, y H,K son los pies de las perpendiculares trazadas desde G sobre las rectas S’P, SP.
Entonces el segmento PK es igual al PH, y esa longitud PK es independiente del punto P y es igual al segmento SL, que es igual a la mitad del lado recto.

Si convertimos la cónica en una parábola cambiando la excentricidad, uno de los focos se mueve al infinito, el correspondiente radio focal se convierte en una paralela al eje, y resulta como corolario que en la parábola el segmento subnormal NG es constante y igual a la mitad del lado recto, resultado que aparece en Apolonio VII.5.

 
Para la demostración usamos la definición de la cónica como el lugar geométrico de los puntos cuyas distancias a un foco S y a una recta directriz MX es constante.

El ángulo PSR es recto, y por tanto la circunferencia de diámetro PR pasa por M y S, y PG es tangente a esa circunferencia.
La circunferencia de diámetro PG pasa por K y por N.
El ángulo KNS es igual al SPG porque los dos son suplementarios del KNG, y el ángulo SPG es igual al PMS porque PG es tangente a la circunferencia PMS. Y como los ángulos PMS y MSX son iguales, el KNS es igual al MSX y las rectas NZ, SM son paralelas y MZ=SN.
Por triángulos semejantes, PK/PZ=SP/PM, y como PZ=SX, PK/SX=SP/PM. Pero por la definición foco-directriz, SL/SX=SP/PM, y por tanto PK=SL, que es la mitad del lado recto.

Usando el otro foco y su directriz correspondiente, simétrica de MX respecto al centro de la cónica, la proyección PH sobre el otro radio focal del segmento PG será también igual a la mitad del lado recto.