La tercera ley de Kepler

En la proposición 15 de los Principia Newton demuestra que la ley de gravedad, es decir el hecho de que la fuerza de atracción sea inversamente proporcional al cuadrado de la distancia, implica la tercera ley de Kepler. (Que implica las dos primeras leyes quedó demostrado en las proposiciones 1 y 13.1).

Proposición 14
“Si varios cuerpos giran en torno a un centro común y la fuerza centrípeta es inversamente como el cuadrado de la distancia de los lugares al centro, digo que los lados rectos de las órbitas son como los cuadrados de las áreas barridas en tiempos iguales por los radios trazados al centro”.
Esta es la proposición 14 de los Principia, que demostramos a continuación de forma distinta a como lo hace Newton.
Si F_P es la fuerza en P, y \tau es el área barrida por unidad de tiempo, por la observación de la entrada anterior F_P \propto \dfrac{\tau^2}{ PV \cdot SY^2}.
Si F_P \propto \dfrac{1}{SP^2}, las trayectorias serán secciones cónicas, pero vimos que en una cónica PV \cdot SY^2 = 2\ SL \cdot SP^2, entonces F_P \propto \dfrac{\tau^2}{ SL \cdot SP^2}, y como está dada la proporción F_P \propto \dfrac{1}{SP^2}, será necesariamente SL \propto \tau^2, ó \tau \propto \sqrt{SL}, es decir las áreas barridas por unidad de tiempo en las diferentes cónicas son proporcionales a las raíces de los lados rectos de esas cónicas.

Corolario 14.1
Si la órbita es una elipse, el punto móvil vuelve a la misma posición tras un periodo T. Entonces el área E de la elipse será E = \tau \cdot T, porque \tau es el área barrida por unidad de tiempo, y en el periodo T se barre toda la superficie de la elipse. Por tanto E \propto T \cdot \sqrt{SL}. Como esa área es proporcional al producto M \cdot m de los ejes mayor y menor de la elipse, será M \cdot m \propto T \cdot \sqrt{SL}.

Proposición 15
“Supuesto esto (la ley de gravedad), digo que los tiempos periódicos en las elipses son como los ejes mayores elevados a la potencia 3/2″.
Porque, por Apolonio I.15, m^2 = M \cdot LL', donde LL' es el lado recto, y por tanto m = M^{1/2} \sqrt{LL'}, y sustituyendo en la proporción del corolario 14.1 tenemos M^{3/2} \sqrt{2\ SL} \propto T \sqrt{SL}, es decir M^{3/2} \propto T como queríamos demostrar.

Tasa de barrido y fuerzas centrales

La proposición 6 de los Principia de Newton es válida para fuerzas ejercidas en puntos de la misma o de diferentes trayectorias, pero las proporciones obtenidas en los corolarios de esa proposición solo comparan fuerzas en puntos de una misma trayectoria, o de trayectorias diferentes siempre que el área barrida (por el radio entre el centro de fuerzas y el punto móvil) sea la misma en tiempos iguales en las diferentes trayectorias. (Porque en la demostración de esos corolarios se supone que las áreas barridas son proporcionales a los tiempos).

Como una fuerza central obliga a barrer áreas iguales en tiempos iguales en cada trayectoria, pero no a que esas áreas barridas sean iguales en distintas trayectorias, para comparar fuerzas en diferentes trayectorias introducimos un factor \tau , la tasa de barrido, que es el área barrida por unidad de tiempo, \tau = \dfrac{\text{area}}{\Delta t} \ \Longrightarrow \ \Delta t = \dfrac{\text{area}}{\tau}.

Los corolarios de la proposición 6 se obtuvieron sustituyendo \Delta t por el área en el factor \dfrac{1}{\Delta t^2}. Si sustituimos teniendo en cuenta el factor \tau, el numerador de las fórmulas obtenidas en los corolarios 6.1-3 queda multiplicado por \tau^2 y el corolario 6.3 se convierte en F_P \propto \dfrac{\tau^2}{PV \cdot SY^2}, donde SY es la distancia del centro de fuerzas a la tangente y PV es la cuerda de la circunferencia osculatriz a la trayectoria en P que pasa por el centro de fuerzas S.

De la misma forma generalizamos el corolario 1 de la proposición 1 que dice que la velocidad v_P es inversamente proporcional a la distancia SY si las áreas barridas son iguales en tiempos iguales.
Como el área barrida es claramente proporcional a la velocidad, tendremos la nueva proporción v_P \propto \dfrac{\tau}{SY}, que es válida para puntos en diferentes trayectorias producidas por una fuerza central.

Entonces el corolario 6.4: F_P \propto \dfrac{v_P^2}{PV} es válido sin modificaciones para comparar fuerzas en puntos de diferentes trayectorias producidas por una fuerza central.

El área de la elipse

En la figura, por Euclides II.14, ED^2 = AD \cdot DB y por Apolonio I.21, E'D^2 = k' \cdot AD \cdot DB, con k' constante.
Por tanto E'D = k \cdot ED y la elipse resulta de una contracción de la circunferencia sobre el diámetro AB.

Como las dilataciones desde una recta multiplican las áreas por el factor de dilatación k, el área de la elipse será el área del círculo por ese factor, es decir, en la figura el área de la elipse es \pi \cdot CF \cdot CF'= \pi \cdot CA \cdot CF'.

Por lo mismo, en una elipse las áreas de los paralelogramos formados por las tangentes en los extremos de dos diámetros conjugados son iguales para todos los pares de diámetros conjugados, porque todos esos paralelogramos resultan de la contracción de un cuadrado circunscrito a la circunferencia.

Ese teorema, incluyendo el caso de la hipérbola, es la proposición VII.31 de las Cónicas de Apolonio. Pero como todavía no hemos definido los extremos de los diámetros conjugados en la hipérbola, dejamos la demostración de ese caso para más adelante.