La fórmula de Brahmagupta por Al-Shanni

Si a,b,c,d son los lados de un cuadrilátero inscrito en una circunferencia y s es el semiperímetro, el área S del cuadrilátero es: S = \sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}

A partir de las propiedades (P1) y (P2) de la entrada anterior, a las que llamaremos respectivamente “teorema de la cuerda rota” y “lema de Al-Shanni“, tenemos una bonita demostración geométrica, debida a Al-Shanni (siglo X), de la fórmula de Brahmagupta, que no usa la fórmula de Herón (como la de Euler), ni trigonometría (como la que hoy se encuentra en la wikipedia).

La demostración que sigue es una variante de la de Al-Shanni. En una nota1 final indico la diferencia con la original de Al-Shanni presentada por Al-Biruni2.
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Las propiedades de la cuerda rota

Llamamos cuerda rota a una quebrada ABC inscrita en una circunferencia.
Si M es el punto medio del arco ABC y E es el pie de la perpendicular trazada desde M sobre el segmento mayor AB de la quebrada, entonces:

(P1) E divide a la quebrada ABC en dos partes iguales: AE = EB+BC.
(P2) La diferencia entre las áreas de \triangle AMC y \triangle ABC es el área del rectángulo ME\cdot EB.
(P3) AM^2 = MB^2 + AB\cdot BC, tanto si las longitudes que intervienen en la fórmula son longitudes de arcos ( AB sería el arco AMB, etc) como si son longitudes de cuerdas.

Al-Biruni, en su libro “Cálculo de las cuerdas del círculo a partir de las propiedades de la linea quebrada”, cuyo milenario se cumple en uno de estos años, da 23 demostraciones de (P1) y 9 demostraciones de (P3).
En una de las pruebas de (P1), debida a Al-Shanni, se usa como lema (P2), demostrado independientemente, pero Al-Biruni también demuestra (P2) a partir de (P1), como se expone a continuación.
La demostración de (P1) que sigue se debe a Al-Sijzi y la de (P3) aparece en un libro de problemas traducido del griego por un Yuhanna Ibn Yusuf. Leer más