El ‘jeu du franc-carreau’

Unas citas para la historia del problema de la aguja de Buffon.

Carta de Cramer a Stirling 22 febrero 1732
He aquí un problema que me ha ocupado los últimos días, y que quizá será del gusto del Sr. De Moivre. Puede que no conozcais el que en francés llamamos el ‘jeu du franc carreau’ (juego de la baldosa franca).
En una habitación pavimentada con baldosas, se lanza al aire un escudo. Si cae sobre una sola baldosa, se dice que cae franco, y el que lo lanzó gana. Si cae sobre dos o más baldosas, es decir, si cae sobre la raya que separa las baldosas, el que lo lanzó pierde.
Un problema a resolver que no tiene ninguna dificultad es encontrar la probabilidad de ganar o perder, dadas las baldosas y la moneda.
Pero si en lugar de tirar al aire un escudo redondo, se tira una moneda cuadrada el problema me ha parecido bastante difícil, bien porque lo sea por naturaleza, bien porque la vía por la que lo he resuelto no sea la mejor.

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Polinomios de Vieta (y 3)

Después de los polinomios de primera y segunda especie, presentamos la tercera familia de polinomios de Vieta, que es una alteración de la primera.

Teorema VIII.
Este teorema enuncia el caso en que tomamos la diferencia entre las cuerdas en el teorema del ‘invariante de Vieta’, por el que , en la figura, \dfrac{H_1}{OC} = \dfrac{2H_1}{B_0} = \dfrac{B_0-B_2}{H_1} = \dfrac{H_3-H_1}{B_2} = \ldots

Teorema IX.
Si x = \dfrac{H_1}{OC},   de x=\dfrac{H_{n+1} -H_{n-1}}{B_n},   con n par, resulta H_{n+1}  =  xB_n + H_{n-1},   y de x=\dfrac{B_{n-1} -B_{n+1}}{H_n} ,   con n impar, B_{n+1}= -xH_n + B_{n-1}.
Entonces si la secuencia W_0, W_1, W_2, W_3, \ldots es la secuencia B_0, H_1, B_2, H_3, tenemos, si el radio OC = 1,   W_0=B_0=2, \  W_1=H_1=x, y W_n = (-1)^{n-1} x W_{n-1} + W_{n-2}, \ n \ge 2.   De donde resulta W_2 = 2-x^2,   W_3 = 3x-x^3, y la tabla de polinomios siguiente (1615, N=x, Q=x^2, C=x^3):

Si llamamos W_n(x) a estos polinomios, y V_n(x) a los polinomios de Vieta de primera especie, es fácil demostrar a partir de sus leyes de formación que W_n(x) = (-1)^{\lfloor n/2 \rfloor} V_n(x),   y por tanto
W_n(x) =   \displaystyle \sum_{k \ge 0} (-1)^{k+\lfloor n/2 \rfloor}\cdot \dfrac{n}{n-k} \dbinom{n-k}{k} \cdot x^{n-2k}.

Si \alpha=\angle CPC_1, y el radio de la circunferencia es 1, x = H_1= 2 \sin \alpha, B_2 = 2 \cos 2 \alpha, H_3 = 2 \sin 3 \alpha, \ldots

Entonces, si n es impar, H_n= 2\sin n\alpha = W_n(2 \sin \alpha) , y si n es par, B_n = 2 \cos n\alpha= W_n(2 \sin \alpha).
Y como W_n(x) = (-1)^{\lfloor n/2 \rfloor} V_n(x), y los polinomios T_n(x) de Chebyshev de primera especie son T_n(x) = V_n(2x)/2, tenemos si n es impar, \sin n \alpha = (-1)^{\lfloor n/2 \rfloor} T_n(\sin \alpha), y si n es par \cos n \alpha = (-1)^{n/2} T_n(\sin \alpha).

Se demostró en la entrada anterior que, para todo n, T_n(\cos \alpha) = \cos n \alpha. Las identidades anteriores nos dicen como cambia el valor de T_n(\cos \alpha) si cambiamos ‘cos’ por ‘sin’:
Si n = 4k, \ T_n(\sin \alpha) = T_n(\cos \alpha) = \cos n \alpha
Si n = 4k+2, \ T_n(\sin \alpha) = -T_n(\cos \alpha) = - \cos n \alpha
Si n = 4k+1, \ T_n(\sin \alpha) = \sin n \alpha
Si n = 4k+3, \ T_n(\sin \alpha) = -\sin n \alpha

Polinomios de Vieta (2)

En la entrada anterior presentamos los polinomios de Vieta de segunda especie.
Aquí tratamos paralelamente los polinomios de Vieta de primera especie.

Teorema V.
En la figura tenemos puntos en una circunferencia tales que arco \ CC_1 = arco \ C_1C_2 = \ldots, y PC es un diámetro.
Entonces, por el teorema del ‘invariante de Vieta’, \dfrac{2PC_1}{PC} =\dfrac{PC_2+PC}{PC_1} = \dfrac{PC_3 + PC_1}{PC_2} = \dfrac{PC_4 + PC_2}{PC_3} = \ldots

Teorema VI.
De donde, si x =\dfrac{2PC_1}{PC} = \dfrac{PC_1}{OC}, resulta que PC_{i+1} = xPC_{i} - PC_{i-1}, y por tanto si OC=1, tenemos PC=2, \ PC_1=x, \ PC_2= x^2-2, \ PC_3=x^3-3x, \ldots

O, escribiendo N=x, \  Q=x^2, \ C=x^3, tenemos la lista de polinomios impresa en 1615:

Si llamamos a estos polinomios V_n(x), de forma que V_0(x)=2, V_1(x) = x   y V_n(x) = xV_{n-1}(x) - V_{n-2}(x),   resulta que si T_n(x) son los polinomios de Chebyshev de primera especie, T_n(x) = V_n(2x)/2.
Este es un motivo para llamar ‘de primera especie’ a estos polinomios de Vieta, pero el principal es que es la primera familia que presenta Vieta.

No es difícil demostrar que V_n(x) =  \displaystyle \sum_{k \ge 0} (-1)^k\cdot v_{n,k}\cdot x^{n-2k},   donde v_{n,k} = \dbinom{n-k+1}{k}- \dbinom{n-k-1}{k-2} = \dfrac{n (n-k-1)!}{k!(n-2k)!} = \dfrac{n}{n-k} \dbinom{n-k}{k}


Si \alpha = \angle CPC_1, y el radio OC de la circunferencia es 1, PC_1 = 2 \cos \alpha, PC_2 = 2 \cos 2\alpha, PC_3= 2 \cos 3\alpha, \ldots

Como PC_n = V_{n}(\frac{PC_1}{OC}) si OC=1,   tenemos PC_n =  2 \cos n \alpha = \ V_{n}(2 \cos \alpha).

Por tanto \cos n \alpha =  V_{n}(2 \cos \alpha)/2 = T_n( \cos \alpha),   que es la fórmula 43 en la entrada de MathWorld sobre las fórmulas del ángulo múltiplo. También tenemos la fórmula 35 tomando como v_{n,k} una de sus expresiones.

La secuencia de los coeficientes de los polinomios V_n(x) es la OEIS A127672, y los V_n(x) se obtienen a partir de la ‘función primordial’ de Lucas   V_a con p=x, q=1.

Polinomios de Vieta (1)

En el libro “Ad angulares sectiones…” Vieta obtiene tres familias de polinomios. Aquí presentamos los polinomios de Vieta de segunda especie.

Teorema IV.
En la figura tenemos puntos en una circunferencia tales que arco \ PC_1 = arco \ C_1C_2 = \ldots.
Entonces, por el teorema del ‘invariante de Vieta’, \dfrac{PC_2}{PC_1} = \dfrac{PC_3 + PC_1}{PC_2} = \dfrac{PC_4 + PC_2}{PC_3} = \ldots .

Teorema VII.
De donde1, si x =\dfrac{PC_2}{PC_1}, resulta que PC_{i+1} = xPC_{i} - PC_{i-1}, y por tanto si PC_1=1, tenemos PC_2=x, \ PC_3= x^2-1, \ PC_4=x^3-2x, \ldots
O, escribiendo N=x, \  Q=x^2, \ C=x^3, tenemos la lista de polinomios impresa en 1615:
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Un invariante de Vieta

Los teoremas 4, 5 y 8 del tratado de VietaAd angularium sectionum…1 son casos particulares del hecho de que el valor de las expresiones indicadas en la figura es independiente de la posición del punto P.

En la figura los puntos azules se pueden mover, S=1 o S=-1 según P esté en el exterior o interior de la circunferencia con centro C,   AC=BC   y   Q es el punto diametralmente opuesto a P.

Entonces \dfrac{PB + S\cdot PA}{PC} y \dfrac{PB - S\cdot PA}{QC} son independientes de la posición de P.

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El hada Melusina y la trigonometría

El hada Melusina y la trigonometría se cruzan en la siguiente frase de François Viète:
(Imagen tomada de “Francisci Vietae opera mathematica, Leiden 1646″, pag. 315).

Teorema III. Cuyo descubrimiento de alegría me emocionó, oh diosa Melusina, a ti cien ovejas por una de Pitágoras inmolé“, y que alude a la leyenda, contada en Plutarco, sobre el sacrificio de un buey por Pitágoras al descubrir su teorema.

Una búsqueda adicional revela que la ‘diva Melusinis’ de la frase no es el hada Melusina, sino Catherine de Parthenay, como se ve en la dedicatoria del “In Artem Analitycen Isagoge“, donde Vieta llama a Catherine princesa melusínida, y dice que el hada fue “ataviam tuam” o su cuadrisabuela. (en francés aquí).
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Suma de los inversos de los cuadrados

  \displaystyle  \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^2} \ = \ \frac{\pi^2}{6}

La siguiente demostración, que no usa cálculo diferencial ni series infinitas, está tomada del libro de A.M.Yaglom & I.M.Yaglom, “Challenging Mathematical Problems with Elementary Solutions“.

A partir de la fórmula del seno del ángulo múltiplo obtenemos las raíces de determinado polinomio y de ahí unas identidades trigonométricas que junto con un hecho básico de trigonometría elemental nos llevan al resultado final.
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Una cita de Alberto Dou

La introducción a “Fundamentos de la matemática” (Labor,1970) de Alberto Dou (S.J.) comienza así:

Las verdades teológicas son oscuras, las filosóficas son discutibles, las históricas dependen del poder e influencia de los gobiernos contemporáneos y las políticas están basadas en principios harto dudosos. Las verdades de la biología, incluyendo la medicina, son casi meramente empíricas y las de las ciencias sociales, económicas y psicológicas están basadas en la estadística y en el mejor de los casos representan una más o menos válida probabilidad. Incluso las verdades fisicoquímicas dejan mucho que desear: carecen de rigor y no pueden dar más que una buena aproximación, aunque si no somos demasiado exigentes ofrecen a menudo una aproximación que satisface completamente nuestros deseos.
Parece, pues, que sólo las ciencias matemáticas ofrecen verdades que por un lado no son nada triviales y por otra alcanzan el ideal de verdad absoluta que el más exigente científico puede apetecer……pues en el orden de la necesidad y universalidad, las máximas cualidades de toda ciencia, al parecer nada dejan que desear.