Otra demostración de P3(n) ≈ n2/12

Trazamos tantos triángulos no congruentes cuyos vértices son vértices de un polígono regular de n lados como sea posible. Sabemos que hay tantos triángulos no congruentes como el número  P_3(n) de particiones de n en tres partes.

Designamos con T(n), T_i(n), T_e(n) el número de triángulos, triángulos isósceles y triángulos escalenos cuyos vértices son vértices de un polígono regular de n lados, y con P_{3,2i}(n), P_{3,3d}(n) el número de triángulos isósceles y escalenos no congruentes.

Cualquier triángulo isósceles cuyos vértices son vértices del polígono se obtiene a partir de uno de los triángulos en rojo rotándolo \frac{2 \pi k}{  n} radianes , con k = 1,\ldots n, excepto los triángulos equiláteros, en que basta que k = 1 \ldots \frac{n}{3}.
Entonces si m_a(n) es 1 si n es múltiplo de a y 0 si no lo es, T_i(n) = n \cdot P_{3,2i} - \frac{2 \cdot n \cdot m_3}{3}.

Cualquier triángulo escaleno cuyos vértices son vértices del polígono se obtiene a partir de uno de los triángulos no congruentes, o de su simétrico respecto a una recta que pase por el centro y un vértice del polígono, rotándolo \frac{2 \pi k}{  n} radianes , con k = 1,\ldots n, y por tanto T_e(n) = 2 \cdot n \cdot P_{3,3d}(n).

T_i(n) + T_e(n) = T(n) = \binom{n}{3} porque cada subconjunto de tres vértices del polígono determina un triángulo.
El número de triángulos isósceles no congruentes es P_{3,2i}(n) = \frac {n-1-m_2}{2}. Por tanto
P_{3,3d}(n) = \frac{T(n)- T_i(n)}{2n} = \frac{(n-1)(n-2)/6 - ( (n-1-m_2)/2 -2m_3/3 ) }{2} = \frac{n^2 - 6n +5 + 3m_2 + 4m_3}{12}, y
P_3(n) = P_{3,2i}(n) +P_{3,3d}(n) = \frac{n-1-m_2}{2} + \frac{n^2 - 6n +5 + 3m_2 + 4m_3}{12} = \frac{n^2}{12} + \frac{4m_3 - 3m_2 -1}{12}.

De donde concluimos, como en la demostración anterior, que P_3(n) = \lfloor \dfrac{n^2+3}{12} \rfloor.

Número de clases de semejanza

Trazamos todas las rectas que pasan por dos vértices de un polígono regular de n lados.

En el conjunto de triángulos que aparecen, el número de clases de triángulos semejantes que hay, o, lo que es lo mismo, el máximo número de triángulos no semejantes entre sí que podemos señalar, es igual al número de particiones de n en tres partes P_3(n), que según la entrada anterior es igual a \lfloor \frac{n^2 + 3}{12} \rfloor.

Demostración:
Los ángulos del mismo color verde o rojo en la figura son iguales, e iguales a la mitad del correspondiente ángulo central (Euclides III.20 y III.21) y los ángulos naranja y azul son la suma y diferencia de un ángulo verde y uno rojo (por Euclides I.32).

De donde se deduce que todos los ángulos de los triángulos en la figura inicial son múltiplos de \frac{180^{ \circ }}{n} , o, en radianes, de \frac{\pi}{n}, y por tanto no hay más triángulos no semejantes que particiones de n en tres partes.

Además todo triángulo en la figura inicial es semejante a un triángulo cuyos tres vértices son vértices del polígono regular, y entre los triángulos de este tipo hay tantos triángulos no congruentes como particiones de n en tres partes.