Teorema de la cuerda universal

Si una curva (azul) tiene una cuerda CD, la curva (roja) que resulta de aplicar a la curva original (azul) la traslación definida por el vector CD corta a la curva original en el punto D.

Por tanto no existen cuerdas en la curva original iguales al vector que define una traslación si y solo si la curva trasladada y la curva original no tienen ningún punto en común.

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Teoremas de Barbier

Demostramos aquí el teorema del hilo de Barbier, usado en la entrada anterior, y obtenemos como corolario el teorema de Barbier sobre curvas de ancho constante.

Preparamos el escenario dibujando en un plano base una figura cualquiera (en la ilustración una circunferencia) y obteniendo las imágenes que resultan de trasladarla repetidamente en dos direcciones perpendiculares la misma distancia.

Tomamos como unidad de longitud esa distancia de traslación, que en la ilustración es el lado de un cuadrado trazado con lineas de puntos. Las figuras contenidas en cada uno de esos cuadrados 1×1 son iguales.
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La aguja de Buffon y el hilo de Barbier

Aquí tenemos un simulador en Javascript, ilustrado con Jsxgraph, para el juego de Cramer-Buffon, que consiste en tirar al azar figuras geométricas sobre un suelo pavimentado regularmente y contar las intersecciones con la figura del suelo.

Tirar veces o

Longitud figura

  (o deslizador)
Parámetros:
B =
F =

Resultados:
T =
I =
2·B·F·T / I =
≈ π
El programa coloca una figura con centro en un punto tomado al azar (en un cuadrado 1×1) y situada con una dirección al azar, y calcula el número de intersecciones de esa figura con la pauta dibujada en el plano base, que en el caso del recuadro de arriba son lineas paralelas o cuadrados (de tamaño 1×1).

La clave del asunto está en que el número medio de intersecciones por tirada, cuando el número de tiradas tiende a infinito, no depende de la forma de la figura que se tira sino solo de su longitud, es decir de la suma de las longitudes de las rectas y curvas que la componen.

Con lo que podemos tirar un hilo flexible de longitud determinada, que al caer tomará cada vez una figura diferente, y el número medio de intersecciones a largo plazo será el mismo que al lanzar un segmento de recta o una circunferencia de la misma longitud.

También la pauta dibujada en el plano base puede variar arbitrariamente en cada tirada, siempre que en cada ‘cuadrado 1×1′, repetido en el plano base, la longitud de las rectas y curvas que contiene sea la misma en diferentes tiradas.

Estos hechos fueron publicados por Joseph Emile Barbier, alumno de l’Ecole Normale, en 1860 en el ‘Journal de Liouville’:

(Barbier, E. Note sur le problème de l’aiguille et le jeu du joint couvert.
Journal de Mathématiques Pures et Appliquées, 2.5 , (1860), p.279)

La fórmula de Barbier se aplica en el simulador de arriba para estimar pi, y su demostración merecerá otra entrada.


Esta entrada participa en la Edición 7.7 del Carnaval de Matemáticas, que en esta ocasión organiza Los Matemáticos no son gente seria.