Ángulo recto focal

En los Elementos de Euclides (proposición VI.3) se demuestra que, si D está en el segmento BC, AD es bisectriz del ángulo BAC si y solo si BD/CD = BA/CA.

La recta AE, perpendicular a AD, será entonces bisectriz del ángulo externo en A y como AB,AC,AD,AE son una cuaterna armónica de rectas, su sección B,C,D,E será una cuaterna armónica de puntos y por tanto BD/CD = BE/CE, y AE es bisectriz del angulo externo en A si y solo si BE/CE= BA/CA.

Si P es un punto de una cónica (definida como el lugar geométrico de los puntos cuyas distancias a un foco F y a una directriz están en una razón dada) y R es la intersección de la tangente a la cónica en P con la directriz, entonces el ángulo PFR es recto.

Porque si PQ es una cuerda de una cónica y R su intersección con la directriz, por la definición foco-directriz PF/QF = PR/QR y por tanto FR es, por la proposición anterior, bisectriz externa del ángulo PFQ.
Como la bisectriz interna del ángulo es perpendicular a la externa, cuando Q coincide con P la cuerda PQ se convierte en la tangente, y el ángulo RFP será recto.

Como consecuencia, las tangentes a una cónica en los extremos de una cuerda que pasa por el foco se cortan en la directriz, y por tanto la directriz es la polar del foco respecto a la cónica.

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