Apolonio I.21

Dados un diámetro AB, un lado recto AC y una dirección de ordenadas ST, en las proposiciones 13 y 12 del primer libro de las Cónicas, Apolonio caracteriza en el plano a la elipse y a la hipérbola como el lugar geométrico de los puntos S,T tales que los cuadrados sobre XS y XT son iguales al rectángulo AH, en las figuras anteriores.

A partir de ahí   \dfrac{CA}{AB} = \dfrac{XH}{XB} = \dfrac{XH \cdot XA }{XB \cdot XA} = \dfrac{XS^2}{XA \cdot XB}
Y, por tanto si YU es otra ordenada de la cónica central \dfrac{XS^2}{YU^2} = \dfrac{XA \cdot XB}{YA \cdot YB}, que es la proposición I.21 de Apolonio.

La misma propiedad (para el eje de la cónica) se demuestra a partir de la definición moderna de las cónicas como el lugar geométrico de los puntos cuyas distancias a un foco y a una directriz están en una razón dada.
Por semejanza de triángulos, en la figura \dfrac{XS}{XB} = \dfrac{DC}{DB}   y   \dfrac{XS}{XA} = \dfrac{DE}{DA} y por tanto \dfrac{XS^2}{XA \cdot XB} = \dfrac{DC \cdot DE}{DA \cdot DB }.
Pero DC \cdot DE = DF^2, porque vimos que \angle CFE es recto.
Entonces \dfrac{XS^2}{XA \cdot XB} es constante, y la curvas definidas mediante la propiedad foco-directriz son las mismas que las definidas por Apolonio.

Poncelet obtiene el resultado de esta entrada en el artículo 39 de su Traité des propriétés projectives como caso particular de Apolonio III.16-21, que Poncelet demuestra como vimos sin usar la proposición I.21 de Apolonio.