Apolonio I.34

Sea AB un diámetro de una cónica central y C un punto de la cónica. Trazamos desde C la ordenada correspondiente al diámetro AB que corta a ese diámetro en un punto D. Si E es un punto de la recta AB, distinto de D, tal que EB/EA=DB/DA (es decir, si ED;AB es una cuaterna armónica de puntos), entonces EC es tangente a la cónica en C.

Esta es la proposición 34 del libro I de las Cónicas de Apolonio. En la proposición I.36 Apolonio concluye que puesto que la tangente en C es única, se cumple la recíproca, es decir si CE es la tangente a una cónica central en C, entonces E,D;A,B es una cuaterna armónica de puntos. (Ya vimos que Apolonio obtiene los resultados correspondientes a la parábola en I.33 y I.35).

Apolonio demuestra la proposición I.34 mostrando que si EA:EB=DA:DB, y desde un punto G de AB, distinto de D, trazamos una ordenada GH, que corta a la cónica en H y a la recta EC en F, entonces GF > GH. Por tanto la recta EC es una tangente.

La demostración de Apolonio usa la proposición I.21 y el hecho de que si X es un punto de un segmento PQ, PX·XQ es máximo cuando X es el punto medio de PQ, que es un corolario de Euclides II.5 o de II.14.

Apolonio establece primero que si N y L son las proyecciones desde C de los puntos D y B sobre
la paralela a la tangente por A, entonces AN=NL. Porque EA/EB=CL/CB=NL/KB y DA/DB=AN/KB y como EA/EB=DA/DB, AN=NL.

Entonces, si O es la proyección desde C sobre AL de un punto G de AB distinto de D, O no es el punto medio de AL y por tanto AN·NL > AO·OL y NL/OL > AO/AN.
Pero NL/OL=KB/BM, y por tanto KB·AN > AO·BM.

Como KB/CE=BD/DE, AN/CE=DA/DE, AO/CE=AG/GE y BM/CE=GB/GE, por
la última desigualdad, BD·DA/DE2 > AG·GB/GE2, es decir GE2/DE2 > AG·GB / AD·DB.

Pero por Apolonio I.21, AG·GB / AD·DB = HG2/CD2, y por tanto GE/DE > HG/CD.

Por semezanza de los triángulos CED y FEG, GE/DE=FG/CD y por tanto FG/CD > HG/CD y FG>HG, y por tanto, concluye Apolonio, la recta EC es tangente en C.

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