Apolonio I.42 | Guirnalda matemática

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El punto azul es el vértice del diámetro que define a la parábola y las ordenadas son paralelas a la tangente en ese punto.(I.32) El punto rojo es un punto cualquiera de la parábola. Trazamos la paralela al diámetro por ese punto. Desde otro punto cualquiera, naranja, trazamos la ordenada y la paralela, naranja, a la tangente por el punto rojo, para formar con el diámetro un triángulo.

Entonces son iguales en la figura las áreas del paralelogramo rojo y del triángulo azul.

Demostración
$\dfrac{\Diamond GL}{\Diamond GS} = \dfrac{DL}{DS}$ , por Euc.VI.1.
$\dfrac{DL}{DS} = \dfrac{\square EL}{\square FS}$ , por I.20.
$\dfrac{\square EL}{\square FS} = \dfrac{\triangle KEL}{\triangle JFS}$ , por Euc.VI.19.
Pero $\triangle KEL = \Diamond GL$ , porque, por I.33, $D$ es el punto medio de $KL.$ Entonces $\Diamond GS = \triangle JFS$ , es decir, el paralelogramo rojo es igual al triángulo azul.

Esta proposición es un lema usado para demostrar, en I.46, que las paralelas al diámetro de una parábola son también diámetros de esa parábola.