En I.46 Apolonio demuestra que si tenemos una parábola definida a partir de un diámetro , y tomamos un punto cualquiera
en la parábola, la paralela por
al diámetro corta por la mitad los segmentos entre dos puntos de la parábola
paralelos a la tangente a la parábola en .
En I.49 demuestra además que para ese punto , existe un segmento tal que el cuadrado de las ordenadas
es igual al rectángulo cuyos lados son
y ese segmento, es decir la misma parábola queda definida a partir del diámetro
con ese segmento como lado recto.
Demostración.
Por I.42 el paralelogramo es igual al triángulo
Pero por I.35 los triángulos
y
son congruentes, y entonces el triángulo
es igual al cuadrilátero
y, quitando la parte común, el triángulo
es igual al paralelogramo
Entonces , y por tanto
.
Pero , no depende del punto
, y tampoco
, y haciendo
, tenemos que
.