Apolonio I.49

En I.46 Apolonio demuestra que si tenemos una parábola definida a partir de un diámetro DS, y tomamos un punto cualquiera E en la parábola, la paralela por E al diámetro corta por la mitad los segmentos entre dos puntos de la parábola
paralelos a la tangente a la parábola en E.

En I.49 demuestra además que para ese punto E, existe un segmento tal que el cuadrado de las ordenadas PF^2 es igual al rectángulo cuyos lados son EP y ese segmento, es decir la misma parábola queda definida a partir del diámetro EP
con ese segmento como lado recto.

Demostración.
Por I.42 el paralelogramo GHSD es igual al triángulo JFS. Pero por I.35 los triángulos QGE y QDK son congruentes, y entonces el triángulo JFS es igual al cuadrilátero KEHS, y, quitando la parte común, el triángulo PFH es igual al paralelogramo PJKE.
Entonces PH\cdot PF = 2 PE\cdot PJ, y por tanto PF^2 = PE\cdot \dfrac{2PJ\cdot PF}{PH}.
Pero \dfrac{PF}{PH} = \dfrac{EQ}{EG}, no depende del punto F, y tampoco PJ=EK, y haciendo R=\dfrac{2EK\cdot EQ}{EG}, tenemos que PF^2 = R\cdot PE.

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