Apolonio I.49 | Guirnalda matemática

En I.46 Apolonio demuestra que si tenemos una parábola definida a partir de un diámetro $DS$ , y tomamos un punto cualquiera $E$ en la parábola, la paralela por $E$ al diámetro corta por la mitad los segmentos entre dos puntos de la parábola
paralelos a la tangente a la parábola en $E$ .

En I.49 demuestra además que para ese punto $E$ , existe un segmento tal que el cuadrado de las ordenadas $PF^2$ es igual al rectángulo cuyos lados son $EP$ y ese segmento, es decir la misma parábola queda definida a partir del diámetro $EP$
con ese segmento como lado recto.

Demostración.
Por I.42 el paralelogramo $GHSD$ es igual al triángulo $JFS.$ Pero por I.35 los triángulos $QGE$ y $QDK$ son congruentes, y entonces el triángulo $JFS$ es igual al cuadrilátero $KEHS,$ y, quitando la parte común, el triángulo $PFH$ es igual al paralelogramo $PJKE.$
Entonces $PH\cdot PF = 2 PE\cdot PJ$ , y por tanto $PF^2 = PE\cdot \dfrac{2PJ\cdot PF}{PH}$ .
Pero $\dfrac{PF}{PH} = \dfrac{EQ}{EG}$ , no depende del punto $F$ , y tampoco $PJ=EK$ , y haciendo $R=\dfrac{2EK\cdot EQ}{EG}$ , tenemos que $PF^2 = R\cdot PE$ .