Apolonio I.53

En la proposición I.53 de las Cónicas de Apolonio se resuelve el problema de encontrar el eje de una parábola de la que tenemos su definición mediante un diámetro, el lado recto correspondiente, y la dirección de ordenadas, y se demuestra que toda parábola tiene un eje.

Sea dada una parábola definida mediante un diámetro DL, una dirección de ordenadas DE y un lado recto R para ese diámetro.

Prolongamos el diámetro más allá del vértice hasta un punto F tal que DF=R/2.
Trazamos la tangente por D a la parábola, que es la recta que pasa por D paralela a la dirección de ordenadas dada.
Sea E el pie de la perpendicular desde F a esa tangente.
Entonces la paralela al diámetro {}DL que pasa por E es eje de la parábola, y el vértice del eje es el punto medio K de EG, donde G es el pie de la perpendicular desde D al eje.

El argumento de Apolonio es el siguiente.
Efectuamos la construcción anterior y definimos una parábola con diámetro KG, ordenadas perpendiculares al diámetro y lado recto DG^2/KG.
Por I.46 {}DL es diámetro de esa parábola, y por I.49 para ese diámetro existe un lado recto R que define a la misma parábola y tal que \dfrac{R}{2DE} = \dfrac{DM}{DI}.
Pero como, por construcción, \triangle DIM \simeq \triangle DEF,   \dfrac{DM}{DI} = \dfrac{DF}{DE}, y R=2DF.
Por tanto la parábola construida a partir del diámetro KG es la misma que la original construida a partir de DL.


En realidad en I.53 se plantea el problema de construir un cono cuya sección sea una parábola definida mediante un diámetro, un lado recto y una dirección de ordenadas.
Para ello se reduce el problema al caso en que la dirección de ordenadas es perpendicular al diámetro, es decir es un eje, que ha sido resuelto en la proposición I.52 anterior.

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