Apolonio VII.1

De Apolonio a Átalo, salud.
Te adjunto el séptimo libro de las Cónicas con esta carta.
Hay en ese libro numerosas cosas, asombrosas y bellas, relativas a los diámetros y a las figuras construidas sobre ellos, detalladas. Todo esto es de gran utilidad en numerosos tipos de problemas, y se necesita en los problemas que son determinados en las secciones cónicas, que hemos mencionado, lo que será expuesto y demostrado en el libro VIII de este tratado, que es el último. Me aplicaré para enviártelo a la mayor brevedad. Salud.

1. Si se prolonga el eje de una parábola hacia el exterior de la sección hasta un punto de forma que lo que del eje caiga en el exterior de la sección sea igual a su lado recto, si se traza igualmente desde el vértice de la sección hasta la sección una recta cualquiera, y si se traza desde su extremo la perpendicular al eje, entonces la recta trazada puede el rectángulo limitado por la recta que está entre el pie de la perpendicular y el vértice de la sección, y la recta que está entre el pie de la perpendicular y el punto hasta el que se ha prolongado el eje.

Sea AB una parábola de eje AC. Prolongamos AC hasta D; sea AD igual al lado recto. Trazamos desde A una recta AB cualquiera y trazamos la recta BC perpendicular a AC. Digo que el cuadrado de AB es igual al rectángulo obtenido del producto de DC por CA.

Demostración. La recta AC es el eje de la sección, la recta BC es perpendicular y la recta AD es igual a su lado recto; el cuadrado de BC es entonces igual al rectángulo DA por AC, como se ha demostrado en la proposición 11 del libro I. Pongamos común el cuadrado de AC; tenemos que la suma de los cuadrados de AC y de CB es igual al rectángulo DA por AC más el cuadrado de AC. En cuanto a los cuadrados de AC y de CB, son iguales al cuadrado de AB; en cuanto al rectángulo DA por AC más el cuadrado de AC, es igual al rectángulo DC por CA. El cuadrado de AB es entonces igual al rectángulo DC por CA. Como queríamos demostrar.

(Apolonio de Perga, Cónicas, comienzo del libro VII).

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