Apolonio VII.5

Sea, en la figura, una parábola y VL igual al lado recto correspondiente al eje VF, es decir para todo punto D de la parábola, DK2 = VK·VL.

En la proposición VII.5 Apolonio demuestra que el lado recto correspondiente a otro diámetro DH es igual al doble de EF, donde E y F son los puntos de intersección de la tangente y la normal en D con el eje, es decir en la figura HT2 = HS2 = 2EF·DH

De aquí deduce que KF es constante e igual a la mitad del lado recto VL correspondiente al eje y que el lado recto 2EF correspondiente a DH también es igual a VL más 4 veces la distancia VK.

Demostración:
Los triángulos rectángulos DIJ y EDF son semejantes.
Por tanto DJ/DI = EF/DE, y entonces, por I.49, EF es la mitad del lado recto correspondiente al diámetro con vértice D.
DK2 = EK·KF = VL·VK por ser EDF recto y la definición de la parábola.
Y como, por I.35, EK = 2VK tenemos que 2KF = VL.
Entonces 2EF = 2EK+2KF = 4VK+VL.

La proposición VII.32 es un corolario que dice que si el punto D se mueve en la parábola, el lado recto es mínimo cuando D es el vértice del eje, y crece al alejarse D de ese punto.
VII.1, VII.5 y VII.32 son las únicas proposiciones del libro VII de las Cónicas dedicadas a la parábola.

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