Areas de polígonos a partir de lados y diagonales

Por la fórmula de Herón, si a,b,c son las longitudes de los lados de un triángulo y P es su área, 16 P^2 = 2a^2b^2 + 2b^2c^2 + 2c^2a^2 - a^4 - b^4 - c^4.
Von Staudt publicó en 1842 una curiosa generalización:

Sean dos polígonos planos P y Q con vértices A_1\ldots A_n y B_1\ldots B_m, y sea \phi el ángulo entre los planos en que están los polígonos.
El producto de las áreas de los dos polígonos es función de los cuadrados de las distancias entre los vértices de un polígono y los del otro, según la fórmula de Von Staudt1:

(Siendo en la fórmula A_{n+1} = A_1, B_{m+1} = B_1, y análogamente en lo que sigue).
Cada término A_iB_j^2\cdot A_{i+1}B_{j+1}^2 - A_{i}B_{j+1}^2 \cdot A_{i+1}B_{j} ^2 del sumatorio relaciona dos lados a_i = A_iA_{i+1} y b_j = B_jB_{j+1}, y en total tenemos una suma de 2mn términos.

Entonces si m=n y A_i = B_i, los dos polígonos coinciden, y 16P^2 es la suma de (considerando las relaciones entre los lados a_i = A_iA_{i+1} y a_j = A_jA_{j+1}):

  • n términos de la forma -a_i^4, resultado de la relación de un lado consigo mismo,
  • n términos de la forma 2a_i^2a_{i+1}^2, resultado de la relación de lados consecutivos y
  • n(n-3) términos de la forma \pm 2x^2y^2 resultado de la relación entre dos lados no consecutivos, donde x,y^{\ } son lados o diagonales.

Por tanto podemos expresar 16P^2 como la suma de n(n-1) términos.
Para los polígonos de 3, 4, 5 y 6 lados resultan las fórmulas siguientes.

Triángulo y cuadrilátero:

Pentágono:

Hexágono:


1“Theorèmes sur les aires des polygones et les volumes de polyèdres” d’après M.Staudt. Nouvelles annales de mathematiques (1852), P. 299-304.

Von Staudt, “Ueber die Inhalte der Polygone und Polyeder”, Journal für die reine und angewandte Mathematik (J.de Crelle) Band 24 (1842) , p.252-256.

Comments are closed.