Polinomios de Vieta (1)

En el libro “Ad angulares sectiones…” Vieta obtiene tres familias de polinomios. Aquí presentamos los polinomios de Vieta de segunda especie.

Teorema IV.
En la figura tenemos puntos en una circunferencia tales que arco \ PC_1 = arco \ C_1C_2 = \ldots.
Entonces, por el teorema del ‘invariante de Vieta’, \dfrac{PC_2}{PC_1} = \dfrac{PC_3 + PC_1}{PC_2} = \dfrac{PC_4 + PC_2}{PC_3} = \ldots .

Teorema VII.
De donde1, si x =\dfrac{PC_2}{PC_1}, resulta que PC_{i+1} = xPC_{i} - PC_{i-1}, y por tanto si PC_1=1, tenemos PC_2=x, \ PC_3= x^2-1, \ PC_4=x^3-2x, \ldots
O, escribiendo N=x, \  Q=x^2, \ C=x^3, tenemos la lista de polinomios impresa en 1615:
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Un invariante de Vieta

Los teoremas 4, 5 y 8 del tratado de VietaAd angularium sectionum…1 son casos particulares del hecho de que el valor de las expresiones indicadas en la figura es independiente de la posición del punto P.

En la figura los puntos azules se pueden mover, S=1 o S=-1 según P esté en el exterior o interior de la circunferencia con centro C,   AC=BC   y   Q es el punto diametralmente opuesto a P.

Entonces \dfrac{PB + S\cdot PA}{PC} y \dfrac{PB - S\cdot PA}{QC} son independientes de la posición de P.

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El hada Melusina y la trigonometría

El hada Melusina y la trigonometría se cruzan en la siguiente frase de François Viète:
(Imagen tomada de “Francisci Vietae opera mathematica, Leiden 1646″, pag. 315).

Teorema III. Cuyo descubrimiento de alegría me emocionó, oh diosa Melusina, a ti cien ovejas por una de Pitágoras inmolé“, y que alude a la leyenda, contada en Plutarco, sobre el sacrificio de un buey por Pitágoras al descubrir su teorema.

Una búsqueda adicional revela que la ‘diva Melusinis’ de la frase no es el hada Melusina, sino Catherine de Parthenay, como se ve en la dedicatoria del “In Artem Analitycen Isagoge“, donde Vieta llama a Catherine princesa melusínida, y dice que el hada fue “ataviam tuam” o su cuadrisabuela. (en francés aquí).
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Suma de los inversos de los cuadrados

  \displaystyle  \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^2} \ = \ \frac{\pi^2}{6}

La siguiente demostración, que no usa cálculo diferencial ni series infinitas, está tomada del libro de A.M.Yaglom & I.M.Yaglom, “Challenging Mathematical Problems with Elementary Solutions“.

A partir de la fórmula del seno del ángulo múltiplo obtenemos las raíces de determinado polinomio y de ahí unas identidades trigonométricas que junto con un hecho básico de trigonometría elemental nos llevan al resultado final.
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Una cita de Alberto Dou

La introducción a “Fundamentos de la matemática” (Labor,1970) de Alberto Dou (S.J.) comienza así:

Las verdades teológicas son oscuras, las filosóficas son discutibles, las históricas dependen del poder e influencia de los gobiernos contemporáneos y las políticas están basadas en principios harto dudosos. Las verdades de la biología, incluyendo la medicina, son casi meramente empíricas y las de las ciencias sociales, económicas y psicológicas están basadas en la estadística y en el mejor de los casos representan una más o menos válida probabilidad. Incluso las verdades fisicoquímicas dejan mucho que desear: carecen de rigor y no pueden dar más que una buena aproximación, aunque si no somos demasiado exigentes ofrecen a menudo una aproximación que satisface completamente nuestros deseos.
Parece, pues, que sólo las ciencias matemáticas ofrecen verdades que por un lado no son nada triviales y por otra alcanzan el ideal de verdad absoluta que el más exigente científico puede apetecer……pues en el orden de la necesidad y universalidad, las máximas cualidades de toda ciencia, al parecer nada dejan que desear.

Otra demostración de P3(n) ≈ n2/12

Trazamos tantos triángulos no congruentes cuyos vértices son vértices de un polígono regular de n lados como sea posible. Sabemos que hay tantos triángulos no congruentes como el número  P_3(n) de particiones de n en tres partes.

Designamos con T(n), T_i(n), T_e(n) el número de triángulos, triángulos isósceles y triángulos escalenos cuyos vértices son vértices de un polígono regular de n lados, y con P_{3,2i}(n), P_{3,3d}(n) el número de triángulos isósceles y escalenos no congruentes.

Cualquier triángulo isósceles cuyos vértices son vértices del polígono se obtiene a partir de uno de los triángulos en rojo rotándolo \frac{2 \pi k}{  n} radianes , con k = 1,\ldots n, excepto los triángulos equiláteros, en que basta que k = 1 \ldots \frac{n}{3}.
Entonces si m_a(n) es 1 si n es múltiplo de a y 0 si no lo es, T_i(n) = n \cdot P_{3,2i} - \frac{2 \cdot n \cdot m_3}{3}.

Cualquier triángulo escaleno cuyos vértices son vértices del polígono se obtiene a partir de uno de los triángulos no congruentes, o de su simétrico respecto a una recta que pase por el centro y un vértice del polígono, rotándolo \frac{2 \pi k}{  n} radianes , con k = 1,\ldots n, y por tanto T_e(n) = 2 \cdot n \cdot P_{3,3d}(n).

T_i(n) + T_e(n) = T(n) = \binom{n}{3} porque cada subconjunto de tres vértices del polígono determina un triángulo.
El número de triángulos isósceles no congruentes es P_{3,2i}(n) = \frac {n-1-m_2}{2}. Por tanto
P_{3,3d}(n) = \frac{T(n)- T_i(n)}{2n} = \frac{(n-1)(n-2)/6 - ( (n-1-m_2)/2 -2m_3/3 ) }{2} = \frac{n^2 - 6n +5 + 3m_2 + 4m_3}{12}, y
P_3(n) = P_{3,2i}(n) +P_{3,3d}(n) = \frac{n-1-m_2}{2} + \frac{n^2 - 6n +5 + 3m_2 + 4m_3}{12} = \frac{n^2}{12} + \frac{4m_3 - 3m_2 -1}{12}.

De donde concluimos, como en la demostración anterior, que P_3(n) = \lfloor \dfrac{n^2+3}{12} \rfloor.

Número de clases de semejanza

Trazamos todas las rectas que pasan por dos vértices de un polígono regular de n lados.

En el conjunto de triángulos que aparecen, el número de clases de triángulos semejantes que hay, o, lo que es lo mismo, el máximo número de triángulos no semejantes entre sí que podemos señalar, es igual al número de particiones de n en tres partes P_3(n), que según la entrada anterior es igual a \lfloor \frac{n^2 + 3}{12} \rfloor.

Demostración:
Los ángulos del mismo color verde o rojo en la figura son iguales, e iguales a la mitad del correspondiente ángulo central (Euclides III.20 y III.21) y los ángulos naranja y azul son la suma y diferencia de un ángulo verde y uno rojo (por Euclides I.32).

De donde se deduce que todos los ángulos de los triángulos en la figura inicial son múltiplos de \frac{180^{ \circ }}{n} , o, en radianes, de \frac{\pi}{n}, y por tanto no hay más triángulos no semejantes que particiones de n en tres partes.

Además todo triángulo en la figura inicial es semejante a un triángulo cuyos tres vértices son vértices del polígono regular, y entre los triángulos de este tipo hay tantos triángulos no congruentes como particiones de n en tres partes.