El hada Melusina y la trigonometría

El hada Melusina y la trigonometría se cruzan en la siguiente frase de François Viète:
(Imagen tomada de “Francisci Vietae opera mathematica, Leiden 1646″, pag. 315).

Teorema III. Cuyo descubrimiento de alegría me emocionó, oh diosa Melusina, a ti cien ovejas por una de Pitágoras inmolé“, y que alude a la leyenda, contada en Plutarco, sobre el sacrificio de un buey por Pitágoras al descubrir su teorema.

Una búsqueda adicional revela que la ‘diva Melusinis’ de la frase no es el hada Melusina, sino Catherine de Parthenay, como se ve en la dedicatoria del “In Artem Analitycen Isagoge“, donde Vieta llama a Catherine princesa melusínida, y dice que el hada fue “ataviam tuam” o su cuadrisabuela. (en francés aquí).
Leer más

Producto de lados y diagonales

Si en la figura siguiente el radio de las circunferencias circunscritas es 1, por una entrada anterior la suma de los cuadrados de las longitudes de los segmentos rojos es, respectivamente, 6, 8, 10, y 12.

En cambio, el producto de las longitudes de esos segmentos es 3, 4, 5 y 6.

Y, en general, dado un polígono regular de n lados inscrito en una circunferencia de radio igual a 1, el producto de las longitudes de las diagonales y los lados que concurren en un vértice es igual a n.

Porque situando el polígono en el plano complejo con centro en 0 y un vértice en 1, los vértices del polígono son las raíces z_i de z^n - 1 = 0 , y por tanto z^n-1 = \prod (z-z_i).
Pero es una identidad algebraica que  z^n -1 =(z-1)( z^{n-1} + \ldots + z + 1), y por tanto tenemos  z^{n-1} + \ldots + z + 1 = \prod (z-z_i)   , donde los z_i recorren las raíces distintas de 1, y tomando z=1, \prod (1-z_i)  =  n.

Los módulos de los complejos 1-z_i son las longitudes de los segmentos entre 1 y z_i, es decir las longitudes de las diagonales y los lados que concurren en 1, y el producto de los módulos es el módulo del producto, que es igual al módulo de n, igual a n.

Si el radio de la circunferencia circunscrita es R, nuestro producto será igual a nR^{n-1}.


Esta entrada participa en la Edición 7.6 del Carnaval de Matemáticas, que en esta ocasión organiza Gaussianos.

El problema IMO-2011.2 con JSXGraph

La librería gratuita JSXGraph para JavaScript es una alternativa interesante para generar figuras geométricas animadas e interactivas.
Como práctica en JSXGraph decidí ilustrar el ‘remolino’ descrito en el segundo problema planteado en la Olimpiada Internacional de Matemáticas de 2011:

El enunciado del problema es el siguiente:
Sea S un conjunto finito de dos o más puntos del plano. En S no hay tres puntos colineales. Un remolino es un proceso que empieza con una recta h que pasa por un único punto P de S. Se rota h en el sentido de las manecillas del reloj con centro en P hasta que la recta encuentre por primera vez otro punto de S al cual llamaremos Q. Con Q como nuevo centro se sigue rotando la recta en el sentido de las manecillas del reloj hasta que la recta encuentre otro punto de S. Este proceso continúa indefinidamente.
Demostrar que se puede elegir un punto P de S y una recta h que pasa por P tales que el remolino que resulta usa cada punto de S como centro de rotación un número infinito de veces.

El problema es curioso porque no hace falta saber matemáticas para entender el enunciado ni la solución.

Un poema de Lazare Carnot

Lazare Nicolas Marguerite Carnot fue un militar y político francés de interesante biografía, cofundador de l’Ecole Polytechnique, gran geómetra, y padre de Sadi Carnot, el fundador de la termodinámica.

Diferentes resultados geométricos, publicados en su Géometrie de position (1803), llevan hoy el nombre de “teorema de Carnot” (por ejemplo este o este o este o este, y alguno más).

Menos conocido es que también escribió algunos poemas, parece que no muy buenos.
Así comienza, con traducción literal, su “Don Quijote, poema heroi-cómico, en seis cantos”:

A Don Quijote, al héroe de la Mancha,
mi débil Musa ha consagrado estos cantos,
cuando de Arouet haría falta el talento,
y de un Esténtor la voz sonora y franca,
para celebrar tantos hechos brillantes.
No importa, hace halta contar las aventuras
del Castellano, la flor de los caballeros.
De sus hazañas, de sus rasgos singulares,
esbozaré ingenuas pinturas.
Inspiradme, Ninfas del Toboso,
vosotras, entre las que debo cantar a Dulcinea,
quien del héroe fijó el destino.



La escuela de Atenas

La escuela de Atenas es el nombre simbólico dado por Rafael Sanzio a su famoso fresco vaticano, alegoría de la antigua filosofía griega (y de su veneración por el humanismo renacentista), que traemos aquí porque en la parte inferior derecha aparece una lección de geometría, con compás, y al lado dos personajes sosteniendo un globo terrestre y una esfera celeste.


Imagen tomada de Wikipedia.

La notación universal de Hérigone

En la década de 1630 (en que Descartes publicó su Geometría y Desargues su Brouillon project), Pierre Hérigone publicó una obra titulada:
“Curso matemático, demostrado con un nuevo, breve, y claro método de notaciones reales y universales, que pueden ser entendidas fácilmente sin usar ninguna lengua.”

Hérigone comienza:
“Los que con Calímaco, según Ateneo, estiman, amigo lector, que un libro grande es un gran mal, y saben que Heráclito con desprecio ha sido llamado el Tenebroso, a causa de que a propósito hacía su estilo oscuro, me parece que son de la opinión de que los que emprenden el sacar libros a la luz, deben cuidar de dos cosas, a saber: que no se encuentre en sus escritos nada superfluo, que aporta disgusto, ni nada difícil u oscuro, que aleja al lector. Porque no se duda que el mejor método para enseñar las ciencias es aquél en que la brevedad se une a la facilidad, pero no es sencillo obtener una y otra, principalmente en matemáticas, las que, como atestigua Cicerón, son enormemente oscuras. Leer más

La fórmula de Herón en Fibonacci


Leonardo de Pisa (Fibonacci), en su Practica Geometriae (1220), dice:
Nam ut mensurandi doctrina perfecte in hoc libro contineatur; qualiter quodlibet trigonum sine investigatione catheti mensurari possit, indicabimus.
(Para que este libro contenga la teoría completa de las medidas mostramos como podemos medir cualquier triángulo sin conocer la altura.)
(Pag 40, linea 7, en la edición de Boncompagni)

Y Fibonacci continúa dando el procedimiento para obtener el área de un triángulo usando la fórmula de Herón, un ejemplo, y una demostración, que sigue los pasos de la de los Banu Musa, y que fue reproducida, en italiano, por Luca Pacioli en su Summa… (1494) (Parte II, Distinctio prima cap. viiifigura) y de aquí copiada por Tartaglia en su General trattato… (1556) (Parte IV, libro I, cap.II, 20-21)

Las demostraciones usan la figura adjunta. Como se ve en las imágenes anteriores, en los textos las perpendiculares th y kn no se dibujan bien, y hay una linea adicional en Fibonacci, quizá un error al dibujar en el manuscrito. Luca Pacioli y Tartaglia (libros impresos) añaden una línea ko , que usan para demostrar el lema (usado sin más en los Banu Musa y Fibonacci): Si kg^2 - kb^2 = ng^2 - nb^2, entonces kn es perpendicular a bg.

En Fibonacci no se usa el círculo inscrito que aparece en la demostración de los Banu Musa, por lo que el comienzo de la demostración es algo diferente. Aunque la demostración de Fibonacci proviene de la de los Banu Musa, no está claro si Fibonacci la tomó del Verba filiorum o de otra fuente.

Desde Tartaglia la demostración de los Banu Musa se difundió a más textos, por ejemplo aparece en Pierre de la Ramée, Scholarum Mathematicorum (1569) (Al final del libro), y, curiosamente, Montucla, en la primera edición de su Historia de las matemáticas (1758 – Vol I, pag.462), asigna a Tartaglia la fórmula de Herón: “Una invención ingeniosa que se le debe es la de medir el área de un triángulo a partir de sus tres lados sin hallar la altura“. En ediciones posteriores (1799 – Vol. I, pag.567) Montucla suprime esa atribución.