La fórmula de Herón en Fibonacci


Leonardo de Pisa (Fibonacci), en su Practica Geometriae (1220), dice:
Nam ut mensurandi doctrina perfecte in hoc libro contineatur; qualiter quodlibet trigonum sine investigatione catheti mensurari possit, indicabimus.
(Para que este libro contenga la teoría completa de las medidas mostramos como podemos medir cualquier triángulo sin conocer la altura.)
(Pag 40, linea 7, en la edición de Boncompagni)

Y Fibonacci continúa dando el procedimiento para obtener el área de un triángulo usando la fórmula de Herón, un ejemplo, y una demostración, que sigue los pasos de la de los Banu Musa, y que fue reproducida, en italiano, por Luca Pacioli en su Summa… (1494) (Parte II, Distinctio prima cap. viiifigura) y de aquí copiada por Tartaglia en su General trattato… (1556) (Parte IV, libro I, cap.II, 20-21)

Las demostraciones usan la figura adjunta. Como se ve en las imágenes anteriores, en los textos las perpendiculares th y kn no se dibujan bien, y hay una linea adicional en Fibonacci, quizá un error al dibujar en el manuscrito. Luca Pacioli y Tartaglia (libros impresos) añaden una línea ko , que usan para demostrar el lema (usado sin más en los Banu Musa y Fibonacci): Si kg^2 - kb^2 = ng^2 - nb^2, entonces kn es perpendicular a bg.

En Fibonacci no se usa el círculo inscrito que aparece en la demostración de los Banu Musa, por lo que el comienzo de la demostración es algo diferente. Aunque la demostración de Fibonacci proviene de la de los Banu Musa, no está claro si Fibonacci la tomó del Verba filiorum o de otra fuente.

Desde Tartaglia la demostración de los Banu Musa se difundió a más textos, por ejemplo aparece en Pierre de la Ramée, Scholarum Mathematicorum (1569) (Al final del libro), y, curiosamente, Montucla, en la primera edición de su Historia de las matemáticas (1758 – Vol I, pag.462), asigna a Tartaglia la fórmula de Herón: “Una invención ingeniosa que se le debe es la de medir el área de un triángulo a partir de sus tres lados sin hallar la altura“. En ediciones posteriores (1799 – Vol. I, pag.567) Montucla suprime esa atribución.

Geometría del infierno

Antonio Manetti, arquitecto y matemático florentino, estudió la forma y figura del Infierno, según la descripción de Dante, y dibujó su planta, alzado y perspectiva de una sección.

Dante parece haberse inspirado, en su descripción del infierno, en la escatología musulmana , como señala Asín Palacios en “La escatologia musulmana en la Divina comedia”. En particular, el místico murciano Ibn Arabi dibujó, antes de que naciese Dante, la planta del Infierno que se puede ver en la página 120 de esa obra:

La descripción cuantitativa del Infierno por Manetti es precisada por Galileo Galilei en sus “Due lezioni all’Accademia fiorentina circa la figura, sito e grandezza dell’inferno di Dante” (versión italiana en Wikisource, y traducción inglesa aquí).

Galileo comienza:
Si es cosa difícil y admirable el haber podido los hombres por largas observaciones, con vigilias continuas, por peligrosas navegaciones, medir y determinar los intervalos de los cielos, los movimientos veloces y los tardos y sus proporciones, la magnitud de las estrellas, no menos de las vecinas que de las lejanas también, los lugares de la tierra y de los mares, cosas que, en todo o en la mayor parte, caen bajo los sentidos; cuanto más maravillosa deberíamos estimar la investigación y descripción del lugar y la figura del Infierno, sepulto en las vísceras de la tierra, oculto a todos tos sentidos, y, de nadie por ninguna experiencia conocido; donde, si bien es fácil descender, es tan difícil salir, como bien enseña nuestro poeta en el dicho:

Uscite di speranza, voi ch’entrate,
y su guía en aquel otro:

la bajada al Averno es cosa fácil. La puerta del sombrío Plutón
está de par en par abierta noche y día, pero volver pie atrás
y salir a las auras de la vida, eso es lo trabajoso, ahí está el riesgo.1
.(Galileo, Lezione prima, p.31)

Poco más adelante Galileo describe la situación y forma del Infierno:
…immaginiamoci una linea retta che venga dal centro della grandezza della terra (il quale è ancora centro della gravità e dell’universo) sino a Jerusalem, ed un arco che da Jerusalem distenda sopra la superficie dell’aggregato dell’acqua e della terra per la duodecima parte della sua maggior circonferenza: terminerà dunque tal arco con una delle sue estremità in Ierusalem; dall’altra sino al centro del mondo sia tirata un’altra linea retta, ed aremo un settore di cerchio, contenuto da le due linee che vengono dal centro e da l’arco detto: immaginiamoci poi che, stando immobile la linea che congiugne Ierusalem ed il centro, sia mosso in giro l’arco e l’altra linea, e che in tal suo moto vadia tagliando la terra, e muovasi fin tanto che ritorni onde si partì; sarà tagliata della terra una parte simile ad un cono: il quale se ci immagineremo esser cavato della terra, resterà, nel luogo ov’era, una buca in forma di conica superficie; e questa è l’Inferno.(Galileo, Lezione prima, p.34)

Queda claro que el Infierno es un cono. Galileo prosigue determinando el grosor de la bóveda y los tamaños de otros componentes.


1 – Virgilio, Eneida, VI, 126-128.

Piero della Francesca y el volumen del tetraedro


Piero della Francesca, Flagelación de Cristo.

La Wikipedia, entre otros sitios, nos cuenta erróneamente que Tartaglia descubrió la siguiente fórmula que da el volumen de un tetraedro a partir de las longitudes de sus seis aristas:
288 \cdot V^2 =\begin{vmatrix}  0 & 1        & 1        & 1        & 1        \\  1 & 0        & d_{12}^2 & d_{13}^2 & d_{14}^2 \\  1 & d_{12}^2 & 0        & d_{23}^2 & d_{24}^2 \\  1 & d_{13}^2 & d_{23}^2 & 0        & d_{34}^2 \\  1 & d_{14}^2 & d_{24}^2 & d_{34}^2 & 0\end{vmatrix}, donde d_{ij} es la distancia entre los vértices i y j.
Es evidente que Tartaglia no pudo imaginar ningún determinante, pero lo que viene al caso es que Tartaglia, en lo relativo al volumen del tetraedro, se limitó, en su “General trattato di numeri et mesure“, a reproducir resultados que aparecen en los tratados “Summa…” y “Divina proportione” de Luca Pacioli, quien los copió de los tratados “Trattato dell’abaco” y “Libellus de quinque corporibus regularibus” de Piero della Francesca.

En el interesante sitio “Mathpages” se asigna a Piero della Francesca la siguiente fórmula:

(Tomada de Von Staudt, en “Nouvelles annales de mathematiques (1852), P. 299-304“.)

Pero la asignación de esa fórmula a Piero della Francesca no tiene base. Esas fórmulas fueron descubiertas por Cayley (1841) y Von Staudt (1843), y afirma Sylvester que no parecen tener antecedentes.

Es cierto que Piero della Francesca dio un procedimiento para obtener el volumen del tetraedro a partir de las longitudes de las aristas, pero ese procedimiento está alejado de una fórmula como las anteriores.

El área de un triángulo a partir de sus lados

Piero comienza el “Libellus de quinque corporibus regularibus“, obteniendo la altura de un triángulo a partir de sus lados, usando los resultados de las proposiciones II.12 y II.13 de los “Elementos” de Euclides, que hoy se formulan como el “teorema del coseno”.

Sea un triángulo ABC, \  AB la base y CD la altura. Entonces
BC^2 + 2 AB\cdot AD = AB^2 + AC^2 (Euclides II.13).
Y por tanto podemos obtener AD a partir de los lados. Conocido AD, obtenemos CD = \sqrt{AC^2 - AD^2}, y a partir de aquí tenemos el área S= AB\cdot CD/2.

Piero da instrucciones detalladas de los cálculos para el triángulo de lados 13,14,15 y obtiene AD=5 y CD=12, y para la altura desde A, 11 \frac{1}{5}.

El volumen de un tetraedro a partir de sus aristas

De la misma forma que en el apartado anterior, y utilizando las mismas herramientas, obtiene Piero, en el problema 10 del libro II del “Libellus“, la altura de un tetraedro a partir de sus aristas.
A partir de ahí podemos obtener el volumen como la tercera parte del producto de la altura por el área de la base, que obtenemos a partir de sus lados como en el apartado anterior.

Sea un tetraedro como en la figura. El plano que pasa por B y es perpendicular a AD corta en los planos ABD y AFD rectas GB y GH perpendiculares a AD.
Entonces BG es una altura de BAD, que podemos obrtener a partir de sus lados como en el apartado anterior, y GH es paralela a la altura FE.
Haciendo GH = FE, GHFE es un rectángulo y por tanto HF = GE = DG – DE es una cantidad obtenible a partir de los lados.
Además el ángulo BHF es recto, porque el plano BGH es perpendicular a HF, paralela a AD, y como hemos obtenido HF y tenemos BF, podemos obtener BH.

Hemos obtenido entonces, a partir de las aristas del tetraedro, los lados del triángulo BGH. Finalmente obtenemos la altura BK de ese triángulo, que es la altura del tetraedro, a partir de los lados BG,BH,GH, una vez más como en el apartado anterior.

Piero della Francesca expone el procedimiento con un ejemplo numérico concreto, que es el mismo que usa Tartaglia, casi un siglo después, en “General trattato, quarta parte, libro secondo, capo iiii,10“. Pero Tartaglia comete un error en el resultado intermedio: \sqrt{305\frac{3}{49}}, en lugar del correcto que da Piero: \sqrt{305\frac{31}{49}}. A partir de ahí los resultados de Tartaglia están mal. El resultado obtenido por Piero en el “Libellus” para la altura BK es \sqrt{240\frac{271216}{1382976}},   si, en la figura, DF=13, AB=20, AD=14, BF=16, AF=15, DB=18.

Piero della Francesca y Tartaglia llaman a la altura del triángulo “cateto” o “perpendicular” y a la altura del tetraedro “eje (assis)”.

La diosa cónica

Homero llama chipriota a Afrodita en la Ilíada (V.330):

Éste fue contra la Cípride con el despiadado bronce,
sabedor de que era una divinidad cobarde y que no era de las diosas
esas que ejercen su soberanía en el combate de los guerreros:
ni Atenea ni tampoco Enío, saqueadora de ciudades.
Y cuando la alcanzó, tras acosarla entre la densa multitud,
entonces el hijo del magnánimo Tideo se estiró,
saltó con la aguda lanza y la hirió en el extremo de la mano
delicada. Al punto la lanza taladró la piel, traspasando
el inmortal vestido que las propias Gracias le habían elaborado,
en lo alto de la muñeca. Fluia la inmortal sangre de la diosa,
el icor, que es lo que fluye por dentro de los felices dioses;
pues no comen pan ni beben rutilante vino,
y por eso no tienen sangre y se llaman inmortales.

Y en la Odisea (VIII.359) menciona el famoso santuario de Pafos:

Tal diciendo sus lazos soltaba la fuerza de Hefesto
y, al sentir uno y otro aflojarse su recia atadura,
de la cama saltaron y a Tracia él se fue mientras ella,
la risueña Afrodita, partió para Pafos de Chipre,
donde tiene su templo y su altar siempre lleno de ofrendas.
Al llegar la lavaron las Gracias, la ungieron de aceite
inmortal, del que brilla en la piel de los dioses eternos,
y vistiéronla ropas preciosas, hechizo a los ojos.


Podemos suponer que Apolonio de Perga, en alguna navegación entre Perga y Alejandría, visitó el templo de Afrodita en Pafos.

Pero Afrodita no está aquí por eso, sino porque su imagen en Pafos, como cuenta Tácito y está atestiguado por la numismática, era un cono truncado, como un cono de tráfico:

No resistió (Tito) la tentación de ir a visitar el templo de Venus en Pafos, famoso entre los nativos y extranjeros…
La imagen de la diosa no tiene un aspecto humano: es un círculo que se levanta sin interrupción desde una base más ancha hasta una estrecha circunferencia a modo de mojón cónico. Y el motivo de esto no está claro.
(Tácito. Historias II.3)

Otras imágenes del templo con la diosa cónica, en monedas antiguas, se pueden ver en este enlace (American Numismatic Society).

La recompensa de Tales

Tales de Mileto, uno de los siete sabios famosos, el más importante de ellos, sin duda alguna -pues fue entre los griegos el primer inventor de la Geometría, el más certero investigador de la naturaleza de las cosas y el más experto observador de los astros-, llevó a cabo, valiéndose de pequeñas líneas, los más asombrosos descubrimientos: los ciclos de las estaciones del año, los soplos de los vientos, las órbitas recorridas por los planetas, las resonantes maravillas de los truenos, los movimientos oblicuos de los astros, los retornos anuales del sol y también el nacimiento y progresivo crecimiento de la luna, su decrecer paulatino, al ir envejeciendo, y las causas que la ocultan durante sus eclipses.
Este mismo Tales, ya en el declinar de su vida, concibió acerca del sol esta divina teoría, que yo no me he limitado a aprender, sino que incluso he comprobado experimentalmente, y que establece cierta relación entre el tamaño del sol y la órbita que este astro describe. Se dice que Tales enseñó este descubrimiento, cuando aún era reciente, a Mandraito de Priene, el cual, entusiasmado en grado sumo por aquella verdad tan nueva como imprevista, invitó a Tales a pedirle el precio que quisiera por tan valiosa enseñanza.
«Yo me consideraría suficientemente pagado», respondió Tales, el sabio, «si, cuando intentes comunicar a los demás lo que de mí has aprendido, no te atribuyes el mérito de tal descubrimiento, sino que, por el contrario, proclamas que yo, únicamente yo, soy el autor del mismo».
Hermosa recompensa, desde luego, digna de tal hombre y que no muere nunca. Tales la ha conservado, en efecto, hasta hoy y se la seguiremos pagando en el futuro todos aquellos que hemos comprobado la veracidad de sus observaciones celestes.

(Apuleyo, Flórida XVIII,30-35)

Tomado de:
Apuleyo. Apología – Flórida. Traducción de S. Segura Munguía. Biblioteca Clásica Gredos 32.

Tales y las aceitunas

Por ejemplo, lo que se le ocurrió a Tales de Mileto…Como se le reprochaba por su pobreza lo inútil que era su amor a la sabiduría, cuentan que previendo, gracias a sus conocimientos de astronomía, que habría una buena cosecha de aceitunas cuando todavía era invierno, entregó fianzas con el poco dinero que tenía para arrendar todos los molinos de aceite de Mileto y Quíos, alquilándolos por muy poco porque no tenía ningún competidor.
Cuando llegó el momento oportuno, muchos los buscaban a la vez y con urgencia, y él los realquiló en las condiciones que quiso, y, habiendo reunido mucho dinero, demostró que es fácil para los filósofos enriquecerse, si quieren, pero no es eso por lo que se afanan. 

(Aristóteles, Política, 1259a)

El accidente de Tales

Teodoro.- ¿Por qué dices todo esto, Sócrates?
Sócrates.- Es lo mismo que se cuenta de Tales, Teodoro. Este, cuando estudiaba los astros, se cayó en un pozo, al mirar hacia arriba, y se dice que una sirvienta tracia, ingeniosa y simpática, se burlaba de él porque quería saber las cosas del cielo pero se olvidaba de las que tenía delante y a sus pies.
(Platón, Teeteto, 174a)

En el apartado 8f de esta entrada sobre Tales se sugiere que la anécdota pudo tener su origen en que quizá probó un pozo como primitivo observatorio astronómico.