Otra demostración de P3(n) ≈ n2/12

Trazamos tantos triángulos no congruentes cuyos vértices son vértices de un polígono regular de n lados como sea posible. Sabemos que hay tantos triángulos no congruentes como el número  P_3(n) de particiones de n en tres partes.

Designamos con T(n), T_i(n), T_e(n) el número de triángulos, triángulos isósceles y triángulos escalenos cuyos vértices son vértices de un polígono regular de n lados, y con P_{3,2i}(n), P_{3,3d}(n) el número de triángulos isósceles y escalenos no congruentes.

Cualquier triángulo isósceles cuyos vértices son vértices del polígono se obtiene a partir de uno de los triángulos en rojo rotándolo \frac{2 \pi k}{  n} radianes , con k = 1,\ldots n, excepto los triángulos equiláteros, en que basta que k = 1 \ldots \frac{n}{3}.
Entonces si m_a(n) es 1 si n es múltiplo de a y 0 si no lo es, T_i(n) = n \cdot P_{3,2i} - \frac{2 \cdot n \cdot m_3}{3}.

Cualquier triángulo escaleno cuyos vértices son vértices del polígono se obtiene a partir de uno de los triángulos no congruentes, o de su simétrico respecto a una recta que pase por el centro y un vértice del polígono, rotándolo \frac{2 \pi k}{  n} radianes , con k = 1,\ldots n, y por tanto T_e(n) = 2 \cdot n \cdot P_{3,3d}(n).

T_i(n) + T_e(n) = T(n) = \binom{n}{3} porque cada subconjunto de tres vértices del polígono determina un triángulo.
El número de triángulos isósceles no congruentes es P_{3,2i}(n) = \frac {n-1-m_2}{2}. Por tanto
P_{3,3d}(n) = \frac{T(n)- T_i(n)}{2n} = \frac{(n-1)(n-2)/6 - ( (n-1-m_2)/2 -2m_3/3 ) }{2} = \frac{n^2 - 6n +5 + 3m_2 + 4m_3}{12}, y
P_3(n) = P_{3,2i}(n) +P_{3,3d}(n) = \frac{n-1-m_2}{2} + \frac{n^2 - 6n +5 + 3m_2 + 4m_3}{12} = \frac{n^2}{12} + \frac{4m_3 - 3m_2 -1}{12}.

De donde concluimos, como en la demostración anterior, que P_3(n) = \lfloor \dfrac{n^2+3}{12} \rfloor.

Sumas de cuatro cuadrados II

Demostramos que para todo número natural  m el número de soluciones  (x,y,z,w), con  x,y,z,w enteros, de  x^2+y^2+z^2+w^2 = m   es ocho veces la suma de los divisores de  m que no son múltiplos de cuatro. (Jacobi, 1834)

En el siguiente recuadro se puede comprobar ese teorema, para m < 1000.
Además cuando m es 4 veces un impar aparece en rojo la verificación del resultado de la entrada anterior sobre soluciones impares positivas.

Número de soluciones de
         a2 + b2 +c2 + d2 =

Suma de los divisores impares de 204:
1 + 3 + 17 + 51 = 72.
Por tanto hay 24 x 72 = 1728 soluciones enteras de la ecuación anterior.

O bien, contando las soluciones con sus permutaciones y signos:
(  a,  b,  c,  d)   Perm. x Signos = Total
(  0,  2,  2, 14)     12         8      96
(  0,  2, 10, 10)     12         8      96
(  1,  1,  9, 11)     12        16     192
(  1,  3,  5, 13)     24        16     384
(  2,  6,  8, 10)     24        16     384
(  3,  5,  7, 11)     24        16     384
(  5,  7,  7,  9)     12        16     192

La suma de la última columna es ...   1728
Soluciones impares positivas: 72

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Sumas de cuatro cuadrados I

En esta entrada demostramos que el número de soluciones (x,y,z,w), con x,y,z,w impares positivos, de la ecuación  x^2 + y^2 + z^2 + w^2 = 4n, donde  n es un impar dado, es igual a la suma de los divisores de  n. (Jacobi, 1828)

Partimos del hecho, demostrado en una entrada anterior, de que el número de soluciones (x,y) con x,y enteros, de x^2 + y^2 = n, es cuatro veces la diferencia entre el número de divisores de n de la forma 4k+1 y el número de los de la forma 4k+3. Si n no es un cuadrado, el número de soluciones (x,y) con x,y enteros positivos es esa diferencia, porque cada solución en positivos da lugar a cuatro soluciones en enteros, colocando signos.

Considerando restos módulo 4, si x,y son impares, x^2 + y^2 es el doble de un número impar y si x^2 + y^2 es el doble de un número impar entonces x,y son impares.

Designamos con N[\alpha] el número de soluciones positivas impares de la ecuación \alpha..
En lo que sigue todas las letras representan números impares positivos.

\displaystyle N[x^2+y^2+z^2+w^2\! = \!4n]  = \sum_{\substack{2p + 2q = 4n}} N[x^2 + y^2 \! = \! 2p] \cdot N[z^2 + w^2 \! =\! 2q]=
\displaystyle = \sum_{\substack{2p + 2q = 4n}} \left(\sum_{p'|p} (-1)^{(p'-1)/2}  \cdot \sum_{q'|q} (-1)^{(q'-1)/2} \right)  = \sum_{\substack{p + q = 2n}} \sum_{\substack{p'|p \\ q'|q }} (-1)^{(p'-q')/2} ,
porque (-1)^{(p'-1)/2}  \cdot  (-1)^{(q'-1)/2} es positivo si los impares p',q' son congruentes módulo 4 y negativo en otro caso.

En la última suma hay un término por cada solución (p',p'',q',q'') de la ecuación p'p''+q'q''=2n, con signo positivo si p'-q' es múltiplo de 4 y con signo negativo si no lo es.
Los términos correspondientes a soluciones con p' > q' se cancelan, porque hemos visto en la entrada anterior sobre la involución de Dirichlet que en esas soluciones hay tantos p' - q' múltiplos de 4 como no múltiplos.
Las soluciones con p' < q' se obtienen de las anteriores intercambiando p' con q' y p'' con q'' y por tanto también dan lugar a tantos términos positivos como negativos en el sumatorio.
Queda por evaluar la suma de los términos en que p' = q'. En ese caso cada término es positivo, y su suma será el número de esos términos, es decir el número de soluciones en impares positivos de p'(p''+q'') = 2n.
Por tanto \displaystyle N[x^2+y^2+z^2+w^2=4n]  = N[x(y+z) = 2n].
Como N[ x+y = 2n] = n, porque x puede tener cualquier valor impar 1,\ldots,2n-1, N[x(y+z) = 2n] = \sum_{d|n} N[y+z = 2n/d] = \sum_{d|n} n/d = \sum_{d|n} d .

Por tanto el número de soluciones positivas impares de la ecuación x^2 + y^2 + z^2 + w^2 = 4n, con n impar, es la suma de los divisores de n.

El argumento anterior es de Dirichlet (1856). En la siguiente entrada usamos el resultado demostrado aquí para obtener el número de soluciones enteras de la ecuación x^2 + y^2 + z^2 + w^2 = m, para cualquier m natural.


Esta entrada participa en la Edición 4.12310 del Carnaval de Matemáticas cuyo anfitrión es el blog Geometría Dinámica.

Una involución de Dirichlet

“Permíteme, querido amigo, volver un instante sobre la conversación que hemos tenido últimamente sobre el bello teorema de Jacobi relativo al número de descomposiciones de un entero en cuatro cuadrados, teorema que el iluste geómetra ha deducido primero de sus series elípticas y del que ha dado después una demostración aritmética….”

Así comienza el extracto de la carta de Lejeune-Dirichlet a Liouville, que éste publicó en su Journal de Mathematiques en 1856, y donde Dirichlet presenta una involución del conjunto de soluciones de xy+zw = n, para un n par dado, con x,y,z,w impares positivos y x > z.

Representamos una solución (a,b,c,d) de la ecuación a \cdot b + c \cdot d = n, con a,b,c,d impares positivos y a > c, como en la figura adjunta. donde tenemos representada la solución 5 \cdot 3 + 3 \cdot 3 = 24.

Como a,b,c,d son impares, a\! -\! c y b\!+\!d serán pares.

Transformamos una solución reflejando primero su figura sobre una recta vertical y dividiéndola en tantas partes de anchura a\! -\! c como podamos, de forma que tendremos una parte (1) de anchura a\! -\! c, y, según la anchura del resto, ninguna o varias partes (2) y finalmente una parte (3) con un resto no vacío porque la anchura total de la figura es impar y a\! -\! c es par.
Separamos las partes, todas de anchura a\! -\! c menos la última con anchura menor, manteniendo su orden, y giramos cada parte 90^{\circ}.
Uniendo las partes una vez giradas tendremos la figura

que representa otra solución (a',b',c',d') de la ecuación a \cdot b + c \cdot d = n, en este caso 15 \cdot 1 + 9 \cdot 1 = 24.

Es claro, por el procedimiento de transformación de (a,b,c,d) en (a',b',c',d') que

  • a',b',c',d' son impares positivos y   a' > c'.
  • a'-c' = b\!+\!d   y   b'+d' = a\! -\! c.
  • Aplicando la misma transformación a la solución (a',b',c',d') volvemos a obtener la solución original (a,b,c,d).

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Algunas tablas de particiones

Una partición de un número entero positivo n en k partes es una secuencia de enteros positivos (\lambda_1, \lambda_2, \ldots,\lambda_k) tal que  \lambda_1 \geq \lambda_2 \geq \ldots \geq \lambda_k ~~\mathrm{y}~~ \lambda_1 + \lambda_2 + \cdots \lambda_k = n.

Si \lambda_k = 1 y \lambda_i - \lambda_{i+1} < 2, decimos que la partición es en partes seguidas.
Sea s(n,k) es el número de particiones de n en k partes seguidas. Entonces s(1,1)=1, s(n,1)= 0 si n>1 y s(n,k) = s(n-1,k-1) + s(n-k, k-1) porque s(n-1,k-1) es el número de esas particiones que terminan en ’1 1′ y s(n-k, k-1) es el número de las que terminan en ’2 1′.

De la misma forma, considerando las particiones que terminan en 1 y las que no terminan en 1, obtenemos recurrencias para el número de todas las particiones de n en k partes, para el número de esas particiones cuyas partes son diferentes y para el número de esas particiones cuyas partes son impares.

En las tablas que siguen al colocar el cursor sobre un número de la tabla cambia el fondo. La imagen de la derecha se ha obtenido cuando el cursor estaba sobre el ’5′. Nos dice que 5 es el número de particiones de n=8 en k=3 partes, y que el 5 se ha formado por la regla de recurrencia como suma de los números que aparecen con fondo gris. El ‘Σ=5′ en rojo indica que la suma de los números de esa fila, en ese caso el número total de particiones de 4, es 5.
Al hacer clic sobre un número de particiones de n en k partes de determinado tipo, aparece en el recuadro el conjunto de esas particiones.

PULSE UNO DE LOS BOTONES DE ABAJO PARA OBTENER LOS NUMEROS DE PARTICIONES DE n EN k PARTES.

Al hacer clic sobre un número de la tabla aparece aquí el conjunto de particiones que representa.

Se observan varios hechos curiosos. El más notable es que el número total de particiones de n en partes distintas es igual al total de particiones de n en partes seguidas e igual al total de particiones de n en partes impares. Este teorema tiene muy fácil demostración, que dejamos para otra entrada.

Diofanto III.19

“Es muy bello este problema, y de rara sutileza. Aunque Xilandro trabajó mucho en él, no pudo conseguir sin embargo su completa aclaración, privado como estaba de la ayuda de los porismas que se requieren para ello. Y ya que, por consiguiente, nos dejó de buen grado el honor de explicar asunto tan oscuro, nosotros lo asumimos con sumo placer.”
Así comienza Bachet su comentario al problema 19 del libro III de la “Aritmética” de Diofanto, que dice:

“Encontrar cuatro números tales que el cuadrado de su suma, aumentado o disminuido en cada uno de ellos, forme un cuadrado.   [ Es decir encontrar x_1, x_2, x_3, x_4 tales que (\sum x_j)^2 \pm x_i = w_i^2 ]
Puesto que el cuadrado de la hipotenusa de todo triángulo rectángulo, aumentado o disminuido en el doble del producto de los catetos, forma un cuadrado, busquemos en primer lugar cuatro triángulos rectángulos con la misma hipotenusa. Lo cual equivale a descomponer de cuatro maneras diferentes un cuadrado como suma de dos cuadrados, cosa que hemos enseñado a hacer de infinitas maneras.”

Diofanto obtiene a continuación los triángulos rectángulos de lados (39,52,65), (25,60,65), multiplicando por 13 y 5 los triángulos (3,4,5) y (5,12,13) y continúa:

“Ahora bien 65 se descompone en forma natural en cuadrados de dos maneras: en 16 y 49 y en 64 y 1; lo que ocurre porque 65 es producto de 13 y 5, y cada uno de estos factores se descompone en suma de dos cuadrados. Formemos triángulos rectángulos a partir de los lados de estos cuadrados: a partir de los números 7 y 4 resulta el triángulo (33,56,65) y a partir de los números 8 y 1 el triángulo (16,63,65)..”

A partir de este párrafo podemos concluir que Diofanto conocía la identidad (a^2 + b^2)(c^2 + d^2) = (ac+bd)^2 + (ad-bc)^2,
explícitamente formulada por Al-Khazin en su discusión de este problema de Diofanto, y demostrada en el “Liber quadratorum” (1225) de Fibonacci.

A partir de los cuatro triángulos rectángulos con hipotenusa 65 común, Diofanto obtiene la solución \frac{17136600}{163021824}, \frac{12675000}{163021824}, \frac{15615600}{163021824}, \frac{8517600}{163021824}.

En general si tenemos k representaciones de n^2 como suma de dos cuadrados, n^2 = a_i^2 + b_i^2, \ i \in \{ 1\ldots k \}, y \alpha=\frac{n}{\sum 2a_jb_j}, haciendo x_i = 2\alpha^2a_ib_i, \ \sum x_j = n\alpha, y las 2k expresiones (\sum x_j)^2 \pm x_i son cuadrados de números racionales: (\sum x_j)^2 \pm x_i = n^2\alpha^2 \pm 2\alpha^2a_ib_i = \alpha^2(a_i \pm b_i)^2.


Fuente: Diofanto de Alejandría. La Aritmética. Versión castellana de M.Benito Muñoz, E.Fernández Moral y M.Sanchez Benito. Nivola 2007.


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Sumas de dos cuadrados

Factorización de un natural en \mathbb{Z}[i]
Si la descomposición de n \in \mathbb{N} en producto de factores primos es n= 2^r \prod p_j^{s_j} \prod q_j^{t_j},
donde los p_j son primos de la forma 4k+1 y los q_j primos de la forma 4k+3, por la entrada sobre primos gaussianos, la única factorización de n en primos del primer cuadrante del anillo de los enteros gaussianos \mathbb{Z}[i] será:
n =i^h (1+i)^{2r} \prod (a_j+b_ji)^{s_j}(b_j+a_ji)^{s_j} \prod q_j^{t_j}.
donde a_j^2+b_j^2 = p_j y los a_j, b_j, q_j son positivos.

Producto de conjugados
Como el conjugado de un producto es el producto de los conjugados, y el conjugado de (1+i) es -i(1+i), el de (a_j+b_ji) es -i(b_j+a_ji), y el de q_j es q_j, si n tiene la factorización anterior y n=(x+yi)(x-yi), entonces x+yi y x-yi se factorizarán de forma única como producto de una unidad por primos del primer cuadrante como:
x+yi = i^{h_1} (1+i)^{r} \prod (a_j+b_ji)^{u_j}(b_j+ a_ji)^{s_j -u_j} \prod q_j^{t_j/2},
x-yi = i^{h-h_1} (1+i)^{r} \prod (b_j+a_ji)^{u_j}(a_j+b_ji)^{s_j-u_j} \prod q_j^{t_j/2}.
Es claro que n no puede ser el producto de dos conjugados si algún t_j es impar.

El número de soluciones
Si los t_j son pares, podemos elegir entre 4 valores para h_1 que dan lugar a 4 valores diferentes i^{h_1}, y entre s_j+1 valores diferentes para cada u_j.
Entonces, si \prod q_j^{t_j} es un cuadrado, el número de soluciones de (x+yi)(x-yi) = n, \  x,y \in Z, es 4 \prod( s_j+1). Pero  \prod( s_j+1), por la primera observación de la entrada anterior, es igual al número de divisores de \prod p_j^{s_j}, que son todos de la forma 4k+1.
También, por la segunda observación de esa entrada, la diferencia entre el número de divisores de n= 2^r \prod p_j^{s_j} \prod q_j^{t_j} de la forma 4k+1 y los de la forma 4k+3 es igual a cero si \prod q_j^{t_j} no es un cuadrado y en otro caso igual al número de divisores de \prod p_j^{s_j}. Por tanto 4 veces esa diferencia es el número de soluciones de (x+yi)(x-yi) = n, es decir de x^2 + y^2=n.

Teorema de Jacobi
Ha quedado demostrado el teorema enunciado por Jacobi en 1834 (J. de Crelle, 12, p.169) para el doble de un impar y que Dirichlet en 1840 (J. de Crelle, 21, p.3) enunció para un n \in \mathbb{N} general:
El número de soluciones (x,y), \ x,y \in \mathbb{Z}, de la ecuación x^2+y^2 = n es igual a 4 veces la diferencia entre el número de divisores de n que son de la forma 4k+1 y el número de divisores que son de la forma 4k+3.