El ‘jeu du franc-carreau’

Unas citas para la historia del problema de la aguja de Buffon.

Carta de Cramer a Stirling 22 febrero 1732
He aquí un problema que me ha ocupado los últimos días, y que quizá será del gusto del Sr. De Moivre. Puede que no conozcais el que en francés llamamos el ‘jeu du franc carreau’ (juego de la baldosa franca).
En una habitación pavimentada con baldosas, se lanza al aire un escudo. Si cae sobre una sola baldosa, se dice que cae franco, y el que lo lanzó gana. Si cae sobre dos o más baldosas, es decir, si cae sobre la raya que separa las baldosas, el que lo lanzó pierde.
Un problema a resolver que no tiene ninguna dificultad es encontrar la probabilidad de ganar o perder, dadas las baldosas y la moneda.
Pero si en lugar de tirar al aire un escudo redondo, se tira una moneda cuadrada el problema me ha parecido bastante difícil, bien porque lo sea por naturaleza, bien porque la vía por la que lo he resuelto no sea la mejor.

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Una cita de Alberto Dou

La introducción a “Fundamentos de la matemática” (Labor,1970) de Alberto Dou (S.J.) comienza así:

Las verdades teológicas son oscuras, las filosóficas son discutibles, las históricas dependen del poder e influencia de los gobiernos contemporáneos y las políticas están basadas en principios harto dudosos. Las verdades de la biología, incluyendo la medicina, son casi meramente empíricas y las de las ciencias sociales, económicas y psicológicas están basadas en la estadística y en el mejor de los casos representan una más o menos válida probabilidad. Incluso las verdades fisicoquímicas dejan mucho que desear: carecen de rigor y no pueden dar más que una buena aproximación, aunque si no somos demasiado exigentes ofrecen a menudo una aproximación que satisface completamente nuestros deseos.
Parece, pues, que sólo las ciencias matemáticas ofrecen verdades que por un lado no son nada triviales y por otra alcanzan el ideal de verdad absoluta que el más exigente científico puede apetecer……pues en el orden de la necesidad y universalidad, las máximas cualidades de toda ciencia, al parecer nada dejan que desear.

Proclo sobre el origen de la geometría

El capítulo IV de la segunda parte del prólogo al Comentario al primer libro de los Elementos de Euclides, de Proclo Diádoco, contiene una breve descripción del origen y desarrollo de la geometría, que es conocida como “sumario de Eudemo”, porque se supone comunmente que de Eudemo de Rodas proviene la mayoría de los datos que contiene. o como “catálogo de geómetras”, porque contiene una lista de nombres que contribuyeron al desarrollo inicial de la geometría.

El artículo de Conrado Eggers Lan, Eudemo y el “catálogo de geómetras” de Proclo (Emerita Vol. 53.1, 1985, pags 127-157) contiene una traducción (pags 132-136) y una discusión de las fuentes del texto.

El texto de Proclo, en la traducción de Eggers Lan, comienza así:

“Ahora debemos hablar sobre el nacimiento de la Geometría en el periodo actual. El divino Aristóteles, en efecto, ha dicho que las mismas opiniones ocurren a los hombres muchas veces conforme ciertos períodos regulares del universo. Las ciencias no han alcanzado su constitución por primera vez entre nosotros o entre hombres conocidos por nosotros, sino que también han aparecido y después desaparecido en todos aquellos ciclos, incontables, que han tenido lugar y que, a su turno, tendrán lugar.

Ahora bien, puesto que debemos examinar los comienzos de las técnicas y de las ciencias en el presente período, diremos, como ha sido narrado por la mayoría, que la geometría fue descubierta primeramente por los egipcios, y que debió su origen a la medición de las tierras. Tuvieron necesidad de ella, en efecto, a causa de las crecidas del Nilo, que borraban los límites propios de cada lote.

No es asombroso que el descubrimiento de esta ciencia y el de las demás haya surgido a partir de la necesidad, puesto que todo lo que se mueve en el devenir avanza desde lo imperfecto hacia lo perfecto. Resulta así natural el tránsito desde la percepción hasta el razonamiento, y desde éste hasta la intelección. Tal como el conocimiento exacto de los números debió su origen al comercio e intercambio entre los fenicios, así también la geometría fue descubierta por los egipcios por la causa mencionada.”

A continuación Proclo expone el desarrollo de la geometría en Grecia, comenzando por Tales.


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Un asunto de jóvenes

G.H. Hardy, en Apología de un matemático1, escribe:

“Ningún matemático debe permitirse olvidar que las matemáticas, más que cualquier arte o ciencia, son un asunto de jóvenes. Como sencillo ejemplo ilustrativo, se puede decir que la edad media a la que son elegidos los matemáticos que forman parte de la Royal Society es la más baja de todos los miembros.”

Y continúa citando a Newton, quien afirmó sobre sus 23-24 años (1665-1666)2:

“En aquellos días me encontraba en el mejor momento para crear, y estaba más dispuesto para las matemáticas y la filosofía (natural) que en cualquier otro momento desde entonces.”

Algo antes de nacer Newton, Pascal descubrió su “teorema del hexagrama místico” a los 16 años (1639) y mucho antes de nacer Pascal, Platón3 nos presenta a Teeteto, a los 17 (400 a.C.), investigando, o quizá demostrando, la irracionalidad de las raíces de los números que no son cuadrados perfectos.

A mediados del siglo IV a.C. se conocían más casos de jóvenes matemáticos, o eso podemos concluir del hecho de que Aristóteles, en la Ética a Nicómaco4, dedique un párrafo a intentar explicar el fenómeno:

“Pero añado, que saber dirigir convenientemente sus propios negocios, es una cosa muy oscura y que reclama mucha atención. La prueba de esto es, que los jóvenes pueden muy bien hacerse geómetras, matemáticos, y hasta muy hábiles en este género de ciencias; pero no hay uno al parecer que sea prudente. La razón es muy sencilla: es que la prudencia sólo se aplica a los hechos particulares, y sólo la experiencia nos los da a conocer; y el joven carece de esta experiencia, porque esta sólo la da el tiempo. Con este motivo también podría preguntarse en qué consiste, que un joven puede hacerse matemático, mientras que no puede ser sabio, ni estar versado en el conocimiento de las leyes de la naturaleza. ¿No podría decirse que esto nace de que las matemáticas son una ciencia abstracta, mientras que la ciencia de la sabiduría y la de la naturaleza toman sus principios de la observación y de la experiencia? ¿No podría añadirse, que en estas últimas los jóvenes no pueden tener opiniones personales, y que no hacen más que repetir lo que se les enseña, mientras que en las matemáticas la realidad no se les presenta con oscuridad alguna?”

En esa época (siglo IV a.C) se inició el estudio de las secciones cónicas, quizá por Menecmo, y se conformaron los libros que presumiblemente Euclides reunió en los Elementos a principios del siglo siguiente.


1 – G.H.Hardy. Apología de un matemático. Nivola, Madrid 1999. Pag.74.
2 – Newton. Carta a Des Maizeaux. Fragmento en Mathpages.
3 – En el diálogo ‘Teeteto’, 147e-148b.
4 – Aristóteles. Ética a Nicómaco. VI.8. (VI.6 en la traducción de Patricio de Azcárete, de donde está tomada la cita.)


Esta entrada participa en la Edición 4.12 del Carnaval de Matemáticas cuyo anfitrión es el blog High Ability Dimension.

La palabra ‘línea’

La palabra latina “linum”, de la raíz indoeuropea “*lino-“, designa al lino (la planta y la fibra).

De ahí proviene la palabra latina “linea“, con el significado de “hilo”,”cordel”, y de aquí su uso para designar la línea geométrica.

Dice Aulo Gelio, en Noches áticas (I,20,7):
Pero entre nosotros se dice “línea” a lo que los griegos denominan γραμμην. Esta es definida por Marco Varrón así: “Línea es”, dice, “longitud sin anchura ni altura”. Por otro lado Euclides es más breve, omitiendo “altura”: γραμμη, dice, es μηκοσ απλατεσ, que no puedes expresar en una palabra en latín, a no ser que aventures decir “inlatabile”.

Los griegos también usaron “λινον” para designar el lino, y “λινω” con el significado “hilo”, como atestigua Homero en el verso 408 del canto XVI de la Ilíada:

Tiró de él, ensartado a la lanza, por encima del barandal,
como el que sentado sobre una prominente roca saca un sagrado pez
a tierra fuera del ponto con el hilo
(λινω) y el cegador bronce.

Pero para designar a la línea en geometría, los griegos usaron la palabra “γραμμη“, que no tiene un origen vegetal, sino que está conectada con “γραφω“: rayar, dibujar, escribir.

La cita por Aulo Gelio de la segunda definición del primer libro de los Elementos es quizá la más antigua que tenemos que es atribuida explícitamente a Euclides.


Imagen tomada de la Wikipedia.

Una crítica de Platón a Eudoxo, Arquitas y Menecmo

La cuestión segunda del libro VIII de las Quaestiones Conviviales (Charlas de sobremesa) de Plutarco de Queronea, se titula:

De en qué sentido decía Platón que el dios es siempre geómetra.

Y comienza así:

(Conversan Diogeniano, Plutarco, Tíndares, Floro y Autobulo.)
Hecho tras esto un silencio, tomando de nuevo Diogeniano la iniciativa, dijo “¿Queréis, puesto que ha habido conversaciones sobre los dioses, que tomemos en el natalicio de Platón, a Platón mismo como compañero, examinando con qué intención manifestó que
el dios es siempre geómetra?; si es que hay que admitir que esta declaración es ciertamente de Platón.”
Y como yo dijera que en ninguno de sus libros está escrita claramente, pero que tiene credibilidad suficiente y es propia del carácter de Platón, tomando al punto Tíndares la palabra, dijo: “¿Crees tú, pues, Diogeniano, que estas palabras expresan en forma de enigma algo singular y de difícil examen, y no lo que precisamente él ha dicho y escrito muchas veces, cuando canta el elogio de la geometría por arrancarnos de la sensación a nosotros que estamos anclados en ella y hacernos volver hacia la naturaleza inteligible e imperecedera, cuya contemplación es el fin de la filosofía, como la contemplación de los misterios lo es de la iniciación?
Pues el clavo de placer y dolor con el que clava el alma al cuerpo, parece tener como mayor mal el hacer las cosas sensibles más claras que las inteligibles y forzar a la mente a juzgar por el sentimiento más que por la razón, pues acostumbrada por el intenso penar y gozar a atender a lo errante y cambiante de los cuerpos como si se tratase del verdadero ser, es ciega para lo que de verdad es, y destruye el órgano equivalente a ‘innumerables ojos’ del alma y su luz, con la que sólo es contemplable lo divino. Pues bien, en todas las ciencias llamadas matemáticas, como en pulidos y lisos espejos, aparecen huellas e imágenes de la verdad de las cosas inteligibles, pero sobre todo la geometría, que es, según Filolao, principio y metrópolis de las demás, eleva y dirige la mente, como purificada y liberada poco a poco de la sensación.
Por ello, también el propio Platón reprochó a Eudoxo, Arquitas y Menecmo, que se empeñaban en trasladar la duplicación del cubo a medios instrumentales y mecánicos, como si intentaran tomar dos medias proporcionales del modo que se pudiera, al margen de la razón; pues así se perdía y destruía el bien de la geometría, que regresaba de nuevo a las cosas sensibles y no se dirigía hacia arriba, ni se apoderaba de las imágenes eternas e incorpóreas, en cuya presencia el dios es siempre dios”.


Por lo que sabemos de las soluciones de Eudoxo, Arquitas y Menecmo al problema délico, la crítica que Plutarco atribuye a Platón no tiene fundamento porque, en lo que nos ha llegado, esas soluciones no son instrumentales y mecánicas, sino puramente teóricas. Solo se puede especular sobre lo que Platón, o Plutarco, criticó. Una posibilidad es que considerasen que esos matemáticos no eran suficientemente platónicos.

Fuente: Plutarco. Charlas de sobremesa. Trad.de Francisco Martín Garcia. Biblioteca Clásica Gredos 109. Madrid 1987.


Esta entrada participa en la Edición 4.1 del Carnaval de Matemáticas cuyo anfitrión es el blog Tito Eliatron Dixit.