La notación universal de Hérigone

En la década de 1630 (en que Descartes publicó su Geometría y Desargues su Brouillon project), Pierre Hérigone publicó una obra titulada:
“Curso matemático, demostrado con un nuevo, breve, y claro método de notaciones reales y universales, que pueden ser entendidas fácilmente sin usar ninguna lengua.”

Hérigone comienza:
“Los que con Calímaco, según Ateneo, estiman, amigo lector, que un libro grande es un gran mal, y saben que Heráclito con desprecio ha sido llamado el Tenebroso, a causa de que a propósito hacía su estilo oscuro, me parece que son de la opinión de que los que emprenden el sacar libros a la luz, deben cuidar de dos cosas, a saber: que no se encuentre en sus escritos nada superfluo, que aporta disgusto, ni nada difícil u oscuro, que aleja al lector. Porque no se duda que el mejor método para enseñar las ciencias es aquél en que la brevedad se une a la facilidad, pero no es sencillo obtener una y otra, principalmente en matemáticas, las que, como atestigua Cicerón, son enormemente oscuras. Leer más

Diofanto III.19

“Es muy bello este problema, y de rara sutileza. Aunque Xilandro trabajó mucho en él, no pudo conseguir sin embargo su completa aclaración, privado como estaba de la ayuda de los porismas que se requieren para ello. Y ya que, por consiguiente, nos dejó de buen grado el honor de explicar asunto tan oscuro, nosotros lo asumimos con sumo placer.”
Así comienza Bachet su comentario al problema 19 del libro III de la “Aritmética” de Diofanto, que dice:

“Encontrar cuatro números tales que el cuadrado de su suma, aumentado o disminuido en cada uno de ellos, forme un cuadrado.   [ Es decir encontrar x_1, x_2, x_3, x_4 tales que (\sum x_j)^2 \pm x_i = w_i^2 ]
Puesto que el cuadrado de la hipotenusa de todo triángulo rectángulo, aumentado o disminuido en el doble del producto de los catetos, forma un cuadrado, busquemos en primer lugar cuatro triángulos rectángulos con la misma hipotenusa. Lo cual equivale a descomponer de cuatro maneras diferentes un cuadrado como suma de dos cuadrados, cosa que hemos enseñado a hacer de infinitas maneras.”

Diofanto obtiene a continuación los triángulos rectángulos de lados (39,52,65), (25,60,65), multiplicando por 13 y 5 los triángulos (3,4,5) y (5,12,13) y continúa:

“Ahora bien 65 se descompone en forma natural en cuadrados de dos maneras: en 16 y 49 y en 64 y 1; lo que ocurre porque 65 es producto de 13 y 5, y cada uno de estos factores se descompone en suma de dos cuadrados. Formemos triángulos rectángulos a partir de los lados de estos cuadrados: a partir de los números 7 y 4 resulta el triángulo (33,56,65) y a partir de los números 8 y 1 el triángulo (16,63,65)..”

A partir de este párrafo podemos concluir que Diofanto conocía la identidad (a^2 + b^2)(c^2 + d^2) = (ac+bd)^2 + (ad-bc)^2,
explícitamente formulada por Al-Khazin en su discusión de este problema de Diofanto, y demostrada en el “Liber quadratorum” (1225) de Fibonacci.

A partir de los cuatro triángulos rectángulos con hipotenusa 65 común, Diofanto obtiene la solución \frac{17136600}{163021824}, \frac{12675000}{163021824}, \frac{15615600}{163021824}, \frac{8517600}{163021824}.

En general si tenemos k representaciones de n^2 como suma de dos cuadrados, n^2 = a_i^2 + b_i^2, \ i \in \{ 1\ldots k \}, y \alpha=\frac{n}{\sum 2a_jb_j}, haciendo x_i = 2\alpha^2a_ib_i, \ \sum x_j = n\alpha, y las 2k expresiones (\sum x_j)^2 \pm x_i son cuadrados de números racionales: (\sum x_j)^2 \pm x_i = n^2\alpha^2 \pm 2\alpha^2a_ib_i = \alpha^2(a_i \pm b_i)^2.


Fuente: Diofanto de Alejandría. La Aritmética. Versión castellana de M.Benito Muñoz, E.Fernández Moral y M.Sanchez Benito. Nivola 2007.


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Dos opiniones sobre Tales

Dos opiniones decimonónicas contrapuestas sobre Tales de Mileto, publicadas en 1887 y 1889 por dos grandes historiadores de las antiguas matemáticas griegas:

Paul Tannery sobre Tales
“En cuanto a mis conclusiones, quizá convenga resumirlas por adelantado. Intentaré mostrar que es ciertamente a los griegos a quien pertenece la gloria de haber constituido tanto las ciencias como la filosofía; pero si la originalidad de su genio estalla, como se verá en otro capítulo, con Anaximandro, el verdadero jefe de la escuela jonia, nada prueba que Tales en particular haya hecho otra cosa que provocar el movimiento intelectual, que suscitar la chispa, introduciendo en el medio heleno procesos técnicos tomados de los bárbaros y haciendo conocer alguna de sus opiniones. El mismo rol ha podido, por lo demás, ser jugado por muchos otros viajeros de su tiempo; pero el fue sin duda el observador más sagaz y el más hábil iniciador. Espíritu además, parece, menos especulativo que práctico, no hizo largos estudios en los santuarios de Egipto; pero ha aprovechado todas las ocasiones para preguntar todo lo que le parecía útil o curioso, y supo enseñar a sus compatriotas que en el extranjero se resolvían problemas con los que no habían soñado hasta entonces, que tenían creencias al menos tan plausibles como las suyas.
Así, sin quizá imaginar o inventar nada por sí mismo, dió movimiento a la actividad inconsciente que dormitaba, y mereció por eso el renombre que le concedieron sus contemporáneos y que la posteridad más lejana se ha complacido en conservar.”

(Paul Tannery, Pour l’histoire de la science hellène, p.56)

George Jonston Allman sobre Tales
“Procedamos ahora a considerar la importancia del trabajo de Tales:
I. Desde el punto de vista científico:
(a) Vemos, en primer lugar, que con sus dos teoremas fundó la geometría de las líneas, que desde entonces ha sido la parte principal de la geometría.
(b) Tales puede, en segundo lugar, ser justamente considerado por haber establecido los fundamentos del álgebra, porque su primer teorema establece una ecuación en el verdadero sentido de la palabra, mientras que el segundo instituye una proporción.
II. Desde el punto de vista filosófico:
Vemos que en esos dos teoremas de Tales el primer tipo de ley natural -es decir, la expresión de una dependencia fija entre diferentes cantidades, o, de otra forma, el desentrañamiento de una constancia entre la variedad- ha surgido decisivamente.
III. Por último, desde un punto de vista práctico:
Tales proporcionó el primer ejemplo de una aplicación de la geometría teórica a la práctica, y fundó una importante rama de la misma, la medida de alturas y distancias.”

( G.J.Allman. Greek geometry from Thales to Euclid, p.15)

Sobre la opinión de Tannery cabe objetar que el elevado concepto que se tenía de Tales como ingeniero, astrónomo y matemático, del que tenemos testimonios desde el siglo V a.C., parece incompatible con el papel poco creativo que le atribuye.

Sobre la opinión de Allman, dejando a un lado los anacronismos relativos al álgebra o al concepto de ley natural, se puede decir que parece más verosímil que Tales en matemáticas se limitase a inventar nuevos métodos prácticos de cálculo y medida. La noción de ‘teorema’ no debía existir en su época y las cuestiones de fundamentos no son las primeras que se investigan cuando nace una rama de la ciencia, sino que se establecen cuando ésta ya es relativamente madura.


Otras entradas sobre Tales:
El accidente de Tales
Tales y las aceitunas
La recompensa de Tales


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Medir las llanuras aéreas

Talía, musa de la Comedia

En las obras de Aristófanes tenemos dos interesantes testimonios, por coetáneos y únicos, sobre la actividad en geometría en la Atenas del siglo V a.C.

Uno de ellos ya apareció en una entrada anterior, y es el pasaje de “Las nubes” donde Aristófanes nos hace sonreir, todavía hoy, con el diálogo entre Estrepsíades y un dicípulo del “Pensatorio”.

Otro pasaje de Aristófanes donde se menciona la geometría está en “Las Aves”, que obtuvo el segundo premio en el festival de las Grandes Dionisias en Atenas en el 414 a.C., donde aparece el astrónomo y geómetra Metón en la siguiente escena.
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Una nota de A. Girard sobre Diofanto

En las páginas 405-677 de la edición de la Aritmética de Simon Stevin, en 1625, por Albert Girard, están traducidos al francés los libros I-VI de la Aritmética de Diofanto, los cuatro primeros por Simon Stevin y los restantes por Albert Girard.

Albert Girard anota, sin demostración, en el problema V.12 de Diofanto (página 622):

“Determinación de los números que se pueden dividir en dos cuadrados enteros:
I. Todo número cuadrado.
II. Todo número primo que exceda a un número cuaternario en una unidad.
III.El producto de números tales
(sumas de dos cuadrados).
IV. Y el doble de cada uno de ellos.”


Es la primera vez que aparece enunciada la condición necesaria y suficiente para que un entero sea suma de dos cuadrados, y que equivale a decir que un entero positivo es representable como suma de dos cuadrados si y solo si en su descomposición en factores primos los primos de la forma 4k+3 tienen exponente par.

Hacen falta nociones y no notaciones

C.F.Gauss escribe en el artículo 76 de las Disquisitiones Arithmeticae, tras haber demostrado el teorema de Wilson mediante raices primitivas:

Este elegante teorema suele enunciarse así: el producto de todos los números menores que un número primo dado, sumado a uno, es divisible por este primo. Fue publicado primero por el célebre Waring, y adscrito a Wilson, (Meditt.algebr., tercera edición, p. 380). Pero ninguno pudo demostrarlo, y el célebre Waring confesó que la demostración parecía más difícil porque ninguna notación puede confeccionarse para expresar un número primo. Pero a nuestro juicio tales verdades deberían percibirse por medio de las nociones más que por las notaciones.

A continuación menciona las demostraciones de Lagrange y Euler y añade:
Pero si tan distinguidos matemáticos no han considerado sin mérito a este teorema para sus meditaciones, esperamos no ser censurados si adjuntamos todavía otra demostración:

Gauss dixit.


Referencia: C.F.Gauss. Disquisitiones Arithmeticae. Versión española por Hugo Barrantes, Michael Josephy y Angel Ruiz, Seccion III, arts.76-77.

Un pasaje de la Metafísica

Aristóteles, en el libro IX de la Metafísica, escribe:

Por otra parte, también los teoremas geométricos se descubren al realizarse en acto. Los encuentran, en efecto, al realizar las divisiones correspondientes. Y si las divisiones estuvieran ya realizadas, serían obvios, pero están contenidos solamente en potencia. ¿Por qué los ángulos del triángulo equivalen a dos rectos? Porque los ángulos alrededor de un punto son iguales a dos rectos. Y, ciertamente, si se traza la paralela a uno de los lados, para quien lo contemple será inmediatamente evidente. Y ¿por qué un ángulo inscrito en un semicírculo es recto en todos los casos? Porque si se trazan tres líneas iguales, la base compuesta por dos de ellas y la recta trazada desde el centro, resultará obvio para quien lo contemple, si conoce el teorema anterior. Conque es evidente que los teoremas, que están potencialmente, se descubren al ser llevados al acto. (Aristóteles. Metafísica IX,9 (1051a).)1

Las figuras a que alude Aristóteles parecen claras, y, en efecto, hacen evidente y obvio, como dice, que esas proposiciones son verdaderas.

Sin embargo T.L.Heath2, siguiendo la traducción de Ross, en la segunda proposición lee “la perpendicular trazada desde el centro”, en lugar de “la recta trazada desde el centro”. lo que da lugar a una figura (aquí, parte 9) que no hace obvia a esa segunda proposición, ni la hace dependiente de la primera.

El texto griego dice ““, literalmente “la desde el medio puesta erguida”, y no usa la palabra “καθετοσ“, “perpendicular” , sino “ορθη“, “erguida” o “recta”, lo que no desautoriza la traducción por “perpendicular” (como en Ross, pero sería mejor “upright”), pero admite también, y es mejor en el contexto, la traducción “erigida” o “recta” (desde el centro al punto en la semicircunferencia), como más arriba.

En cualquier caso, los textos de Aristóteles son los más antiguos que tenemos donde se mencionan esos teoremas, el segundo atribuido a Tales de Mileto por Pánfila de Epidauro y demostrados en las proposiciones I.32 y III.31 de Euclides.


1 – Cita tomada de la traducción de Tomás Calvo Martínez, en la 1ª edición de la Biblioteca Clásica Gredos.
2 – T.L.Heath, Mathematics in Aristotle, 1998. p.73.

Geometría del infierno

Antonio Manetti, arquitecto y matemático florentino, estudió la forma y figura del Infierno, según la descripción de Dante, y dibujó su planta, alzado y perspectiva de una sección.

Dante parece haberse inspirado, en su descripción del infierno, en la escatología musulmana , como señala Asín Palacios en “La escatologia musulmana en la Divina comedia”. En particular, el místico murciano Ibn Arabi dibujó, antes de que naciese Dante, la planta del Infierno que se puede ver en la página 120 de esa obra:

La descripción cuantitativa del Infierno por Manetti es precisada por Galileo Galilei en sus “Due lezioni all’Accademia fiorentina circa la figura, sito e grandezza dell’inferno di Dante” (versión italiana en Wikisource, y traducción inglesa aquí).

Galileo comienza:
Si es cosa difícil y admirable el haber podido los hombres por largas observaciones, con vigilias continuas, por peligrosas navegaciones, medir y determinar los intervalos de los cielos, los movimientos veloces y los tardos y sus proporciones, la magnitud de las estrellas, no menos de las vecinas que de las lejanas también, los lugares de la tierra y de los mares, cosas que, en todo o en la mayor parte, caen bajo los sentidos; cuanto más maravillosa deberíamos estimar la investigación y descripción del lugar y la figura del Infierno, sepulto en las vísceras de la tierra, oculto a todos tos sentidos, y, de nadie por ninguna experiencia conocido; donde, si bien es fácil descender, es tan difícil salir, como bien enseña nuestro poeta en el dicho:

Uscite di speranza, voi ch’entrate,
y su guía en aquel otro:

la bajada al Averno es cosa fácil. La puerta del sombrío Plutón
está de par en par abierta noche y día, pero volver pie atrás
y salir a las auras de la vida, eso es lo trabajoso, ahí está el riesgo.1
.(Galileo, Lezione prima, p.31)

Poco más adelante Galileo describe la situación y forma del Infierno:
…immaginiamoci una linea retta che venga dal centro della grandezza della terra (il quale è ancora centro della gravità e dell’universo) sino a Jerusalem, ed un arco che da Jerusalem distenda sopra la superficie dell’aggregato dell’acqua e della terra per la duodecima parte della sua maggior circonferenza: terminerà dunque tal arco con una delle sue estremità in Ierusalem; dall’altra sino al centro del mondo sia tirata un’altra linea retta, ed aremo un settore di cerchio, contenuto da le due linee che vengono dal centro e da l’arco detto: immaginiamoci poi che, stando immobile la linea che congiugne Ierusalem ed il centro, sia mosso in giro l’arco e l’altra linea, e che in tal suo moto vadia tagliando la terra, e muovasi fin tanto che ritorni onde si partì; sarà tagliata della terra una parte simile ad un cono: il quale se ci immagineremo esser cavato della terra, resterà, nel luogo ov’era, una buca in forma di conica superficie; e questa è l’Inferno.(Galileo, Lezione prima, p.34)

Queda claro que el Infierno es un cono. Galileo prosigue determinando el grosor de la bóveda y los tamaños de otros componentes.


1 – Virgilio, Eneida, VI, 126-128.