Geometría del infierno

Antonio Manetti, arquitecto y matemático florentino, estudió la forma y figura del Infierno, según la descripción de Dante, y dibujó su planta, alzado y perspectiva de una sección.

Dante parece haberse inspirado, en su descripción del infierno, en la escatología musulmana , como señala Asín Palacios en “La escatologia musulmana en la Divina comedia”. En particular, el místico murciano Ibn Arabi dibujó, antes de que naciese Dante, la planta del Infierno que se puede ver en la página 120 de esa obra:

La descripción cuantitativa del Infierno por Manetti es precisada por Galileo Galilei en sus “Due lezioni all’Accademia fiorentina circa la figura, sito e grandezza dell’inferno di Dante” (versión italiana en Wikisource, y traducción inglesa aquí).

Galileo comienza:
Si es cosa difícil y admirable el haber podido los hombres por largas observaciones, con vigilias continuas, por peligrosas navegaciones, medir y determinar los intervalos de los cielos, los movimientos veloces y los tardos y sus proporciones, la magnitud de las estrellas, no menos de las vecinas que de las lejanas también, los lugares de la tierra y de los mares, cosas que, en todo o en la mayor parte, caen bajo los sentidos; cuanto más maravillosa deberíamos estimar la investigación y descripción del lugar y la figura del Infierno, sepulto en las vísceras de la tierra, oculto a todos tos sentidos, y, de nadie por ninguna experiencia conocido; donde, si bien es fácil descender, es tan difícil salir, como bien enseña nuestro poeta en el dicho:

Uscite di speranza, voi ch’entrate,
y su guía en aquel otro:

la bajada al Averno es cosa fácil. La puerta del sombrío Plutón
está de par en par abierta noche y día, pero volver pie atrás
y salir a las auras de la vida, eso es lo trabajoso, ahí está el riesgo.1
.(Galileo, Lezione prima, p.31)

Poco más adelante Galileo describe la situación y forma del Infierno:
…immaginiamoci una linea retta che venga dal centro della grandezza della terra (il quale è ancora centro della gravità e dell’universo) sino a Jerusalem, ed un arco che da Jerusalem distenda sopra la superficie dell’aggregato dell’acqua e della terra per la duodecima parte della sua maggior circonferenza: terminerà dunque tal arco con una delle sue estremità in Ierusalem; dall’altra sino al centro del mondo sia tirata un’altra linea retta, ed aremo un settore di cerchio, contenuto da le due linee che vengono dal centro e da l’arco detto: immaginiamoci poi che, stando immobile la linea che congiugne Ierusalem ed il centro, sia mosso in giro l’arco e l’altra linea, e che in tal suo moto vadia tagliando la terra, e muovasi fin tanto che ritorni onde si partì; sarà tagliata della terra una parte simile ad un cono: il quale se ci immagineremo esser cavato della terra, resterà, nel luogo ov’era, una buca in forma di conica superficie; e questa è l’Inferno.(Galileo, Lezione prima, p.34)

Queda claro que el Infierno es un cono. Galileo prosigue determinando el grosor de la bóveda y los tamaños de otros componentes.


1 – Virgilio, Eneida, VI, 126-128.

Demostración por inducción

La demostración por inducción más antigua, puesta por escrito, parece ser la que aparece en el diálogo ‘Parménides’ de Platón:

- En consecuencia es necesario que haya, como mínimo, dos términos para que pueda darse un contacto.
- Es necesario.
- Pero si a esos dos términos se les añade a continuación un tercero, los términos serán tres y los contactos serán dos.
- Sí.
- De este modo siempre que se añade una unidad, se añade siempre también un contacto, y de ello se sigue que los contactos serán inferiores por uno a la suma numérica de los términos. En efecto, así como los dos primeros términos excedían a los contactos por ser su número mayor que el de los contactos, así también, en igual medida, la suma numérica de los términos excederá a la suma de todos los contactos, puesto que, cuando sucesivamente se añada uno al número, se añadirá simultáneamente un contacto a los contactos.
- Es cierto.
- Así, sea cual fuere el número de las cosas que son, sus contactos serán siempre menores que ellos por uno.
- Es verdad.

(Platón. Parménides 149b)

La diosa cónica

Homero llama chipriota a Afrodita en la Ilíada (V.330):

Éste fue contra la Cípride con el despiadado bronce,
sabedor de que era una divinidad cobarde y que no era de las diosas
esas que ejercen su soberanía en el combate de los guerreros:
ni Atenea ni tampoco Enío, saqueadora de ciudades.
Y cuando la alcanzó, tras acosarla entre la densa multitud,
entonces el hijo del magnánimo Tideo se estiró,
saltó con la aguda lanza y la hirió en el extremo de la mano
delicada. Al punto la lanza taladró la piel, traspasando
el inmortal vestido que las propias Gracias le habían elaborado,
en lo alto de la muñeca. Fluia la inmortal sangre de la diosa,
el icor, que es lo que fluye por dentro de los felices dioses;
pues no comen pan ni beben rutilante vino,
y por eso no tienen sangre y se llaman inmortales.

Y en la Odisea (VIII.359) menciona el famoso santuario de Pafos:

Tal diciendo sus lazos soltaba la fuerza de Hefesto
y, al sentir uno y otro aflojarse su recia atadura,
de la cama saltaron y a Tracia él se fue mientras ella,
la risueña Afrodita, partió para Pafos de Chipre,
donde tiene su templo y su altar siempre lleno de ofrendas.
Al llegar la lavaron las Gracias, la ungieron de aceite
inmortal, del que brilla en la piel de los dioses eternos,
y vistiéronla ropas preciosas, hechizo a los ojos.


Podemos suponer que Apolonio de Perga, en alguna navegación entre Perga y Alejandría, visitó el templo de Afrodita en Pafos.

Pero Afrodita no está aquí por eso, sino porque su imagen en Pafos, como cuenta Tácito y está atestiguado por la numismática, era un cono truncado, como un cono de tráfico:

No resistió (Tito) la tentación de ir a visitar el templo de Venus en Pafos, famoso entre los nativos y extranjeros…
La imagen de la diosa no tiene un aspecto humano: es un círculo que se levanta sin interrupción desde una base más ancha hasta una estrecha circunferencia a modo de mojón cónico. Y el motivo de esto no está claro.
(Tácito. Historias II.3)

Otras imágenes del templo con la diosa cónica, en monedas antiguas, se pueden ver en este enlace (American Numismatic Society).

Liber assumptorum

El “Libro de los Lemas” es una colección de 15 proposiciones que nos ha llegado desde la antigüedad a través del árabe.

La colección fue editada en latín primero por S.Foster, Miscellanea (Londres, 1659), y a continuación por Borelli en un libro publicado en Florencia, 1661, como

Archimedis Liber Assumptorum interprete Thebit ben-Kora exponente Almochtasso.
Ex codice Arabico manuscripto Ser.Magni Ducis Etruriae
Abrahamus Ecchellensis Latine vertit. Io. Alfonsus Borellus Notis illustravit.

Esta obra es un apéndice a la traducción de Borelli:
Apollonii Pergaei Conicorum Lib.V. VI. VII.; ed.Io.Alfonsus Borellus. Florentiae MDCLXI.

En cuanto a la autoría cabe citar:
Los lemas, no obstante, no pueden haber sido escritos por Arquímedes en su forma actual, porque su nombre es citado en ellos más de una vez. Es posible que fuesen proposiciones recogidas por algún autor griego de fecha tardía para elucidar alguna obra antigua, aunque es muy probable que alguna de las proposiciones sea de origen arquimedeo, e.g. las relativas a las figuras llamadas arbelos y salinon, y la prop.8 que trata el problema de trisecar el ángulo.
(T.L.Heath The works of Archimedes, pag.xxxii.)

El libro traducido por Thabit no puede ser de Arquímedes en la forma en que lo tenemos, porque es citado en él varias veces.
(E.J.Dijksterhuis, Archimedes, pag.43.)

Que Arquímedes sea citado en la obra no es motivo para rechazar su autoría, porque solo es citado en relación a las palabras griegas “arbelos” y “salinon”, que son mencionadas como “la figura que Arquímedes llama arbelos” y “la figura que Arquímedes llama salinon”, expresiones que podrían haber sido introducidas por un traductor.

Más significativo para rechazar la autoría de Arquímedes es que se aluda a obras del autor que no están entre las de Arquímedes y que el traductor Thabit ben Qurra señale en la introducción que la atribución a Arquímedes de debe al doctor Almochtasso Abilhasan.
(Ver al respecto la introducción de Paloma Ortiz García a la obra en Arquímedes, Tratados II, Biblioteca Clásica Gredos 378.).

El contenido matemático del libro de los lemas se puede ver en:
http://www.cut-the-knot.org/Curriculum/Geometry/BookOfLemmas/index.shtml

Sobre división de las figuras

Proclo dice en su comentario al libro I de los Elementos:
Hay muchos otros escritos matemáticos de Euclides, abundantes en conocimientos científicos y en una sorpendente precisión. Tales son su Optica, su Catróptica, sus Elementos de Música, y su pequeño libro Sobre Divisiones. (69)
…..
El círculo, por ejemplo, y toda figura rectilínea, puede ser dividido en partes diferentes en definición o noción, esto de hecho es tratado por el autor de los
Elementos en sus Divisiones, donde divide figuras dadas, en unos casos en figuras análogas y en otros en desemejantes. (144)

No nos ha llegado ningún manuscrito griego de la obra Sobre Divisiones, pero, a mediados del siglo XIX, Franz Woepcke descubrió un manuscrito árabe en la biblioteca nacional de París, con un tratado Sobre División de las Figuras expresamente atribuido a Euclides. El tratado consta de 36 proposiciones de las que el manuscrito da el enunciado, y la demostración de cuatro de ellas.
Como esas demostraciones también están en la obra Practica Geometricae de Leonardo de Pisa (Fibonacci), y el enunciado de otras muchas proposiciones de Fibonacci coincide con las del manuscrito árabe, R.C.Archibald propone una reconstrucción de la obra de Euclides usando las demostraciones que aparecen en Fibonacci.

La reconstrucción de Archibald, con comentario histórico y notas, está accesible en internet, por ejemplo en: http://www.gutenberg.org/ebooks/38640

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Reducción al absurdo

CREMILO.- ¿Dirás también que Zeus no sabe distinguir lo que es bueno? Vaya, se reserva para sí a Riqueza…
BLEPSIDEMO.- …y envía a Pobreza a la tierra.
POBREZA.-¡Qué telarañas tenéis en los ojos, carcamales de los días de Crono!
Zeus también es pobre, y voy a probároslo claramente. Si fuese rico, ¿cómo en los juegos Olímpicos por él establecidos, al reunir cada cinco años a toda la Hélade, había de contentarse con dar a los vencedores una sencilla corona de acebuche? Si fuese rico se las daría de oro.
CREMILO.-Lo que prueba es la grande estimación en que tiene las riquezas. Por economía, por evitar gastos, regala a los vencedores coronas de ningún valor, y se guarda las riquezas.
POBREZA.-Mil veces más vergonzosa que la pobreza es esa avaricia sórdida e insaciable que le supones.
CREMILO.-¡Que Zeus te confunda, después de coronarte con esa corona de acebuche!

(Aristófanes, Pluto, 580ss.)

Lo que se demuestra es la afición de los antiguos griegos a las coronas vegetales. Parece que en los juegos olímpicos, píticos, ístmicos y nemeos se premiaba con olivo, laurel, pino y apio, respectivamente. Y Aristófanes alguna vez aspiraría a una corona de hiedra como premio en las Dionisias.

(Datos tomados de: http://en.wikipedia.org/wiki/Olive_wreath y enlaces externos.)

¿Platón?

Me parece a mí igualmente imposible dar cualquier “explicación” conclusiva para el origen de las matemáticas superiores en los siglos quinto y cuarto en Atenas y las colonias italianas. En el lado negativo, no obstante, pienso que el papel de Platón ha sido ampliamente exagerado. Sus propias contribuciones directas al conocimiento matemático fueron obviamente nulas. Que, por un corto período de tiempo, matemáticos de la categoría de Eudoxo perteneciesen a su círculo no es prueba de la influencia de Platón en la investigación matemática. El carácter muy elemental de los ejemplos de procedimientos matemáticos citados por Platón y Aristóteles no apoyan la hipótesis de que Teeteto o Eudoxo aprendiesen algo de Platón. La noción frecuentemente adoptada de que Platón “dirigió” la investigación no está soportada por los hechos.
Otto Neugebauer, The exact sciences in antiquity, 2nd ed., pag 152.

Para una discusión del tema, desde el mismo punto de vista, ver
Leonid Zhmud, “The origin of the history of science in classical antiquity”, chap.3.
De Gruyter 2006.

Cónicas. Primeras definiciones.

Tras la carta prólogo dirigida a Eudemo, el primer libro de las Cónicas de Apolonio comienza con las siguientes definiciones, llamadas primeras porque tras la proposición I.16 hay otras tres, llamadas segundas.

PRIMERAS DEFINICIONES

1.- Si desde un punto dado se lleva una recta a la circunferencia de un círculo que no está en el mismo plano que el punto, y la recta es prolongada por de una y otra parte, y, manteniendo el punto fijo, la recta gira alrededor de la circunferencia para volver al origen de su movimiento, llamo superficie cónica a la superficie generada por la recta, compuesta de dos superficies opuestas por el vértice. Cada superficie se extiende indefinidamente cuando la recta que la genera se extiende indefinidamente; llamo vértice de la superficie al punto inmóvil y eje (de la superficie) a la recta entre ese punto y el centro del círculo.

2.- Llamo cono a la figura formada por el círculo y la (porción de) superficie cónica situada entre el vértice y la circunferencia del círculo; vértice del cono al punto que es también vértice de la superficie; eje a la recta desde el vértice al centro del círculo y base al círculo.

3.- Llamo rectos a los conos cuyo eje es perpendicular a la base y oblicuos a los que no tienen el eje perpendicular a la base.

4.- Llamo diámetro de toda línea curva situada en un solo plano a una recta que, trazada en la curva, divide en dos partes iguales a todas las paralelas a una recta cualquiera en la curva; vértice de ésta al extremo del diámetro y, por último, llamo rectas trazadas ordenadamente a las paralelas desde la curva al diámetro.

5.- De la misma forma, de dos lineas curvas situadas en el plano, llamo diámetro transverso (πλαγια) al que corta a las dos curvas y biseca a todas las rectas trazadas en cualquiera de las curvas paralelas a una recta dada; y llamo a los extremos del diámetro situadas en las curvas vértices de las curvas y llamo diámetro recto (ορθια) a la recta que, situada entre las dos curvas, biseca todas las rectas interceptadas entre las curvas y paralelas a una recta; y diré que cada una de las paralelas está trazada ordenadamente al diámetro.

6.- A las dos rectas, cada una de las cuales siendo un diámetro, biseca las rectas paralelas a la otra, las llamo diámetros conjugados (συζυγεισ) de la curva o de dos curvas.

7.- Y llamo eje de la curva o de dos curvas a la recta que siendo un diámetro corta en ángulos rectos a las líneas paralelas.

8.- Y llamo ejes conjugados de una curva o de dos curvas a las rectas que siendo diámetros conjugados, cortan a las rectas paralelas a cada uno en ángulos rectos.