El área de la elipse

En la figura, por Euclides II.14, ED^2 = AD \cdot DB y por Apolonio I.21, E'D^2 = k' \cdot AD \cdot DB, con k' constante.
Por tanto E'D = k \cdot ED y la elipse resulta de una contracción de la circunferencia sobre el diámetro AB.

Como las dilataciones desde una recta multiplican las áreas por el factor de dilatación k, el área de la elipse será el área del círculo por ese factor, es decir, en la figura el área de la elipse es \pi \cdot CF \cdot CF'= \pi \cdot CA \cdot CF'.

Por lo mismo, en una elipse las áreas de los paralelogramos formados por las tangentes en los extremos de dos diámetros conjugados son iguales para todos los pares de diámetros conjugados, porque todos esos paralelogramos resultan de la contracción de un cuadrado circunscrito a la circunferencia.

Ese teorema, incluyendo el caso de la hipérbola, es la proposición VII.31 de las Cónicas de Apolonio. Pero como todavía no hemos definido los extremos de los diámetros conjugados en la hipérbola, dejamos la demostración de ese caso para más adelante.

La ley de gravedad produce cónicas

Consideremos en el espacio un punto fijo S y otro punto móvil P, situado inicialmente en P0.
Si en P0 aplicamos un impulso a P, en una dirección P0T diferente de la de P0S, por la ley de la inercia P se móverá en la dirección del impulso en línea recta a una velocidad uniforme v0, si no se ejerce ninguna fuerza sobre él.
Pero si a partir del impulso inicial se ejerce sobre P una fuerza continua en la dirección de S cuya magnitud varíe de forma inversamente proporcional al cuadrado de la distancia entre el punto P y S, entonces el punto P, sujeto a la inercia y a esa ley central de fuerzas, describirá una trayectoria curva que será siempre una sección cónica de la que S es un foco.

Demostramos aquí ese teorema, que Newton presenta como corolario tras la proposición 13 del primer libro de los Principia, y que, gracias a Halley, originó su escritura.
El teorema es el recíproco del presentado en la entrada anterior.

Están dadas la posición P0 inicial del punto, la dirección y magnitud v0 de la velocidad , y la posición del centro de fuerzas S y la fuerza FP que se ejerce en cada punto, que, por hipótesis, es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia SP.

Por el corolario 6.4, como están dadas la magnitud de la velocidad en P0 y de la fuerza, está dada la cuerda P0V de la osculatriz en P0 que pasa por el centro de fuerzas.

Pero podemos construir una cónica que pase por P0 y tenga como tangente la tangente a la trayectoria en P0, tenga a S como foco, y tenga la cuerda P0V de la osculatriz, de cualquier tamaño, en la dirección P0S. (La perpendicular a la normal desde el punto medio M de P0V nos da G. Entonces SG es el eje de la cónica y SG/SP0 la excentricidad).

Si un punto P describe esa cónica partiendo de P0 con velocidad inicial v0, y modula su velocidad de forma que el radio SP barra áreas iguales en tiempos iguales (es decir de forma que la velocidad sea inversamente proporcional a la distancia del foco a la tangente), entonces, por las proposiciones 11,12,13 de los Principia el punto se mueve sometido a una fuerza, en la dirección del foco, inversamente proporcional a SP2, y que será igual en P0 (y por tanto en el resto de los puntos) a la fuerza asumida como hipótesis, porque produce en ese punto la misma curvatura con la misma velocidad.

Y como la trayectoria está determinada unívocamente por la fuerza que se aplica en cada punto junto con la posición y velocidad iniciales del punto móvil, la trayectoria a partir de esas condiciones iniciales será siempre la cónica que hemos construido a partir del foco, la tangente en un punto y la cuerda de curvatura focal en ese punto.

Si la fuerza central está dirigida hacia S, la trayectoria será una elipse, o un trozo de parábola o de hipérbola segun el valor de la excentricidad SG/SP0, y si la fuerza está dirigida en dirección contraria la trayectoria será parte de una hipérbola y SG será mayor que SP0.
La circunferencia es un caso particular de elipse, en la que que los focos y el centro coinciden.

La ley de fuerzas focal

Supongamos que un punto P se mueve sobre una cónica con foco S de forma que el segmento SP barre áreas iguales en tiempos iguales. Entonces, por la proposición 2 de los Principia de Newton, la trayectoria de P es la que produciría la ley de la inercia junto con una determinada fuerza ejercida sobre P en la dirección de la recta SP.
Si la trayectoria es una parábola, una elipse, o la rama próxima al foco de una hipérbola, la fuerza será dirigida hacia el foco, y si es la otra rama de la hipérbola la fuerza será dirigida en dirección opuesta.

Demostramos aquí que la magnitud de esa fuerza, que hace que el punto móvil P describa esa trayectoria, es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia SP del foco S a los diferentes puntos de la cónica.

Este es el resultado que Newton obtiene en las proposiciones 11, 12, y 13 de los Principia para la elipse, hipérbola y parábola respectivamente. Newton escribe que, aunque la prueba para la elipse se puede generalizar para cualquier cónica, “dada la dignidad del problema y su utilidad en lo sucesivo confirmaré mediante demostración los demás casos”.

En la segunda edición de los Principia, Newton da dos demostraciones para cada caso, una basada en el corolario 6.1 y otra basada en 6.3, que además usan las proposiciones 7 y 10. En la nota 268 de la llamada “edición de los jesuitas” (en realidad a cargo de los franciscanos Le Seur y Jacquier) se da otra demostración más directa, en la que está inspirada la siguiente, que es un poco más simple:

Por el corolario 6.3 una fuerza central es, en la trayectoria que produce, inversamente proporcional a la cuerda de la osculatriz que pasa por el centro de fuerzas y al cuadrado de la perpendicular desde el centro de fuerzas a la tangente, es decir, con las letras de la figura: F_P \propto \dfrac{1}{PV \cdot SY^2}.
Pero se demostró que en una cónica la cuerda focal de curvatura es PV = \dfrac{2 \ PG^2}{SL}, y también que \dfrac{PG}{SL}  = \dfrac{SP}{SY} , y entonces PV=  \dfrac{2 \ SL \cdot SP^2}{SY^2}.
Sustituyendo PV en la proporción anterior para F_P, y teniendo en cuenta que SL es fijo para una cónica, tenemos que F_P \propto \dfrac{1}{SP^2}.

Es decir, la fuerza ejercida en la dirección del foco que hace que un punto móvil describa una cónica dada cualquiera es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia al foco.


Esta entrada participa en la Edición 5.5: Ronald Fisher del Carnaval de Matemáticas cuyo anfitrión es el blog pimedios.

La cuerda de curvatura focal

Sea P un punto de una cónica con foco S, PG el segmento de la normal entre la curva y el eje y SL la mitad de la cuerda LL' que pasa por el foco S y es perpendicular al eje (que es el el lado recto).
En entradas anteriores demostramos, en este orden:
(1) que la proyección PK de PG sobre SP es igual a SL,
(2) que el radio de curvatura en un punto P de una cónica es OP=\dfrac{PG^3}{SL^2},
(3) que la cuerda de curvatura focal PV, es decir la cuerda de la circunferencia osculatriz que pasa por P y por un foco S es PV=\dfrac{2\ PG^2}{SL},
(4) que esa cuerda PV de la osculatriz es igual a la cuerda EH de la cónica que pasa por el foco S y es paralela a la tangente en P.

Aquí presento otra demostración, más simple, donde se prueba primero (4), y de ahí se deduce (3), y de (3), junto con (1), se obtiene (2).


La cuerda de curvatura focal es igual a la cuerda focal paralela a la tangente.
Tomamos un punto Q de la cónica, diferente de P, trazamos la circunferencia que es tangente a la tangente a la cónica en P y que pasa por Q, y trazamos la paralela a PS por Q, que corta a la tangente en T.
Entonces, por Euclides III.37, TP^2 = TQ \cdot TZ, y por Apolonio III.16-21 y una observación sobre la media armónica focal, \dfrac{TP^2}{TQ \cdot TQ^{\prime}} = \dfrac{EH}{PP^{\prime}}.
Entonces \dfrac{TZ}{TQ'} = \dfrac{EH}{PP^{\prime}}.
Si movemos Q hacia P hasta que coincidan, la circunferencia PQZU se convertirá en la osculatriz en P, y se harán TQ' = PP' y TZ = PU, que será la cuerda focal PV de la osculatriz. Por tanto PV=EH, como queríamos demostrar.


La fórmula de la cuerda de curvatura focal.
Como se demostró que la media armonica de SE y SH es SL, y también que la media geométrica de esos segmentos es PG, su media aritmética será \dfrac {PG^2}{SL}, porque las medias armónica, geométrica y aritmética están en progersión geométrica.
Pero la media aritmética de SE y SH es la mitad de la cuerda EH, y entonces esa cuerda, que es igual a la cuerda focal de la osculatriz o cuerda de curvatura focal PV, es PV = \dfrac{2 \ PG^2}{SL}.


La fórmula del radio de curvatura.
Sea M la intersección de SP con la perpendicular a PG por G. Por el teorema del cateto en el triángulo rectángulo PGM,   PK, PG, PM están en progresión geométrica, pero se demostró que PK = SL, y por tanto PM = \dfrac{PG^2}{ SL}, y, como PV = \dfrac{2 \ PG^2}{SL}, resulta que M es el punto medio de PV.
Como el centro O de la osculatriz en P es la intersección de la mediatriz de la cuerda PV con la normal PG, el triángulo PMO es rectángulo y entonces PG,PM,PO están en progresión geométrica y PO = \dfrac{PG^3}{ SL^2}.


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Otra construcción de la osculatriz

La fórmula para el radio de curvatura en un punto P de una cónica obtenida en la entrada anterior nos da otra construcción geométrica sencilla del centro O de la circunferencia osculatriz en P:

Trazamos la recta que une un foco S con P. Desde G, punto de intersección de la normal en P con el eje, trazamos una perpendicular a PG que corta a la recta SP en un punto H. Desde H trazamos una perpendicular a PH que corta a la recta PG en O.
Entonces O es el centro de curvatura en P, y la circunferencia con centro O que pasa por P es la circunferencia osculatriz en P.

Porque sabemos que OP=PG3/SL2 y también que, en la figura, SL=PK.
Por el teorema del cateto en los triángulos rectángulos PGH y PHO, los segmentos PK, PG, PH, PO están en progresión geométrica, y como PK=SL, será PH=PG2/SL y PO=PG3/SL2, y por tanto O es el centro de curvatura en P.

Además, como PG es la media geométrica de PK y PH, y también es la media geométrica de los segmentos de la cuerda focal paralela a la tangente en P, y PK=SL es la media armónica de esos segmentos, PH será la media aritmética de esos segmentos, porque las medias armónica, geométrica y aritmética están en progresión geométrica.
Por tanto PH es igual a la mitad de la cuerda focal CD paralela a la tangente en P.
La circunferencia de centro O y radio OP, pasa por el simétrico P’ de P respecto a H, porque OHP es recto.
Como PP’ es el doble de PH, tenemos que, en una cónica, la cuerda de curvatura focal de un punto P, es decir la cuerda PP’ de la circunferencia osculatriz en P que pasa por P y un foco S, es igual a la cuerda CD de la cónica paralela a la tangente.

El radio de curvatura en las cónicas

Sea O la intersección de las normales a una curva en dos puntos P y P’. Cuando P’ se mueve en la curva hasta coincidir con P el punto O se moverá hasta un punto límite que será el centro de la circunferencia osculatriz en P, y el radio de curvatura de la curva en el punto P será el límite, cuando P’ tiende a P, de la distancia OP.

Demostramos a continuación que en una cónica, ese límite de OP, o radio de curvatura en P, es OP = PG3/SL2, donde PG es el segmento de la normal entre la curva y el eje, y SL el segmento perpendicular al eje entre el foco y la curva, que es la mitad del lado recto.
Si P es un extremo del eje, no existe el punto G, pero entonces OP=SL.


Sea S el foco de una cónica y MR la directriz. Si P y P’ son dos puntos de la cónica, SP/PM=SP’/P’M'=ε es la excentricidad.
Por el lema 1 de la entrada anterior, SG/SP=SP/PM=ε. Entonces SG/PM=(SG/SP)22.
De la misma forma SG’/P’M'=ε2.
Y por tanto (SG’-SG)/(P’M'-PM) = GG’/PN = ε2.
Como los triángulos OGG’ y OPT son semejantes, OG/OP=GG’/PT=(GG’/PN)·(PN/PT) = ε2·PN/PT.

Para obtener el límite de PN/PT cuando P’ tiende a P, observamos que el límite del ángulo PP’T es un ángulo recto, y si PP’T es un triángulo rectángulo PN/PT = (PN/PP’)2.
Cuando P’ tiende a P, la recta P’P tiende a la tangente en P y por tanto en el límite los triángulos PNP’ y PMR son semejantes y, en el límite, PN/PP’=PM/PR.
Por tanto OG/OP = ε2·(PM/PR)2 = SP2/PR2, porque ε·PM=SP.
Entonces (OP-OG)/OP = PG/OP = (PR2-SP2)/PR2 = SR2/PR2, porque el ángulo PSR es recto.
Pero por el lema 2 de la entrada anterior, SR/PR=SL/PG y entonces PG/OP=SL2/PG2, o OP=PG3/SL2, como queriamos demostrar.

Como PG es la media geométrica de los segmentos de la cuerda focal paralela a la tangente (SL es la media armónica), el límite de PG cuando P tiende a la intersección de la cónica con el eje será SL, porque S es el punto medio de la cuerda focal paralela a la tangente.
Entonces el radio de curvatura en la intersección con el eje es OP=SL3/SL2=SL.



Adaptado de:
The Oxford, Cambridge and Dublin Messenger of Mathematics, vol.III, 1866, pag.97

Dos lemas sobre el radio focal

Para referencia posterior, se demuestran aquí dos lemitas sobre el radio focal de una cónica, consecuencias de la demostración presentada en la entrada sobre la normal y los radios focales.
Como en esa entrada, en las siguientes figuras P es un punto de una cónica con foco S y directriz MX.

Lema 1.
El radio focal SP es la media geométrica de MP, distancia de P a la directriz, y de SG, distancia del foco S a la intersección de la normal con el eje. Es decir SG/SP=SP/MP, que es la excentricidad de la cónica.
Porque, por ser PSR recto, la circunferencia de diámetro PR pasa por M y S, y PG es tangente a esa circunferencia. Entonces los ángulos SPG y PMS son iguales. Los ángulos MPS y PSG también son iguales y por tanto los triángulos PSG y MPS son semejantes y MP/SP=SP/SG.


Lema 2.
En la figura PR/SR=PG/SL.
Si SY es perpendicular a la tangente desde el foco, PS/SY = PG/SL.

Los ángulos SPR y SPG son complementarios, porque el ángulo RPG es recto.
Como PSR es recto y PKG también lo es, los triángulos RSP y PKG son semejantes y por tanto PR/SR=PG/PK. Pero vimos que PK=SL, la mitad del lado recto, y por tanto PR/SR=PG/SL.
Los triángulos SYP y PKG también son semejantes, y entonces PS/SY=PG/PK=PG/SL.

Apolonio I.34

Sea AB un diámetro de una cónica central y C un punto de la cónica. Trazamos desde C la ordenada correspondiente al diámetro AB que corta a ese diámetro en un punto D. Si E es un punto de la recta AB, distinto de D, tal que EB/EA=DB/DA (es decir, si ED;AB es una cuaterna armónica de puntos), entonces EC es tangente a la cónica en C.

Esta es la proposición 34 del libro I de las Cónicas de Apolonio. En la proposición I.36 Apolonio concluye que puesto que la tangente en C es única, se cumple la recíproca, es decir si CE es la tangente a una cónica central en C, entonces E,D;A,B es una cuaterna armónica de puntos. (Ya vimos que Apolonio obtiene los resultados correspondientes a la parábola en I.33 y I.35).

Apolonio demuestra la proposición I.34 mostrando que si EA:EB=DA:DB, y desde un punto G de AB, distinto de D, trazamos una ordenada GH, que corta a la cónica en H y a la recta EC en F, entonces GF > GH. Por tanto la recta EC es una tangente.

La demostración de Apolonio usa la proposición I.21 y el hecho de que si X es un punto de un segmento PQ, PX·XQ es máximo cuando X es el punto medio de PQ, que es un corolario de Euclides II.5 o de II.14.

Apolonio establece primero que si N y L son las proyecciones desde C de los puntos D y B sobre
la paralela a la tangente por A, entonces AN=NL. Porque EA/EB=CL/CB=NL/KB y DA/DB=AN/KB y como EA/EB=DA/DB, AN=NL.

Entonces, si O es la proyección desde C sobre AL de un punto G de AB distinto de D, O no es el punto medio de AL y por tanto AN·NL > AO·OL y NL/OL > AO/AN.
Pero NL/OL=KB/BM, y por tanto KB·AN > AO·BM.

Como KB/CE=BD/DE, AN/CE=DA/DE, AO/CE=AG/GE y BM/CE=GB/GE, por
la última desigualdad, BD·DA/DE2 > AG·GB/GE2, es decir GE2/DE2 > AG·GB / AD·DB.

Pero por Apolonio I.21, AG·GB / AD·DB = HG2/CD2, y por tanto GE/DE > HG/CD.

Por semezanza de los triángulos CED y FEG, GE/DE=FG/CD y por tanto FG/CD > HG/CD y FG>HG, y por tanto, concluye Apolonio, la recta EC es tangente en C.