Piero della Francesca y el volumen del tetraedro


Piero della Francesca, Flagelación de Cristo.

La Wikipedia, entre otros sitios, nos cuenta erróneamente que Tartaglia descubrió la siguiente fórmula que da el volumen de un tetraedro a partir de las longitudes de sus seis aristas:
288 \cdot V^2 =\begin{vmatrix}  0 & 1        & 1        & 1        & 1        \\  1 & 0        & d_{12}^2 & d_{13}^2 & d_{14}^2 \\  1 & d_{12}^2 & 0        & d_{23}^2 & d_{24}^2 \\  1 & d_{13}^2 & d_{23}^2 & 0        & d_{34}^2 \\  1 & d_{14}^2 & d_{24}^2 & d_{34}^2 & 0\end{vmatrix}, donde d_{ij} es la distancia entre los vértices i y j.
Es evidente que Tartaglia no pudo imaginar ningún determinante, pero lo que viene al caso es que Tartaglia, en lo relativo al volumen del tetraedro, se limitó, en su “General trattato di numeri et mesure“, a reproducir resultados que aparecen en los tratados “Summa…” y “Divina proportione” de Luca Pacioli, quien los copió de los tratados “Trattato dell’abaco” y “Libellus de quinque corporibus regularibus” de Piero della Francesca.

En el interesante sitio “Mathpages” se asigna a Piero della Francesca la siguiente fórmula:

(Tomada de Von Staudt, en “Nouvelles annales de mathematiques (1852), P. 299-304“.)

Pero la asignación de esa fórmula a Piero della Francesca no tiene base. Esas fórmulas fueron descubiertas por Cayley (1841) y Von Staudt (1843), y afirma Sylvester que no parecen tener antecedentes.

Es cierto que Piero della Francesca dio un procedimiento para obtener el volumen del tetraedro a partir de las longitudes de las aristas, pero ese procedimiento está alejado de una fórmula como las anteriores.

El área de un triángulo a partir de sus lados

Piero comienza el “Libellus de quinque corporibus regularibus“, obteniendo la altura de un triángulo a partir de sus lados, usando los resultados de las proposiciones II.12 y II.13 de los “Elementos” de Euclides, que hoy se formulan como el “teorema del coseno”.

Sea un triángulo ABC, \  AB la base y CD la altura. Entonces
BC^2 + 2 AB\cdot AD = AB^2 + AC^2 (Euclides II.13).
Y por tanto podemos obtener AD a partir de los lados. Conocido AD, obtenemos CD = \sqrt{AC^2 - AD^2}, y a partir de aquí tenemos el área S= AB\cdot CD/2.

Piero da instrucciones detalladas de los cálculos para el triángulo de lados 13,14,15 y obtiene AD=5 y CD=12, y para la altura desde A, 11 \frac{1}{5}.

El volumen de un tetraedro a partir de sus aristas

De la misma forma que en el apartado anterior, y utilizando las mismas herramientas, obtiene Piero, en el problema 10 del libro II del “Libellus“, la altura de un tetraedro a partir de sus aristas.
A partir de ahí podemos obtener el volumen como la tercera parte del producto de la altura por el área de la base, que obtenemos a partir de sus lados como en el apartado anterior.

Sea un tetraedro como en la figura. El plano que pasa por B y es perpendicular a AD corta en los planos ABD y AFD rectas GB y GH perpendiculares a AD.
Entonces BG es una altura de BAD, que podemos obrtener a partir de sus lados como en el apartado anterior, y GH es paralela a la altura FE.
Haciendo GH = FE, GHFE es un rectángulo y por tanto HF = GE = DG – DE es una cantidad obtenible a partir de los lados.
Además el ángulo BHF es recto, porque el plano BGH es perpendicular a HF, paralela a AD, y como hemos obtenido HF y tenemos BF, podemos obtener BH.

Hemos obtenido entonces, a partir de las aristas del tetraedro, los lados del triángulo BGH. Finalmente obtenemos la altura BK de ese triángulo, que es la altura del tetraedro, a partir de los lados BG,BH,GH, una vez más como en el apartado anterior.

Piero della Francesca expone el procedimiento con un ejemplo numérico concreto, que es el mismo que usa Tartaglia, casi un siglo después, en “General trattato, quarta parte, libro secondo, capo iiii,10“. Pero Tartaglia comete un error en el resultado intermedio: \sqrt{305\frac{3}{49}}, en lugar del correcto que da Piero: \sqrt{305\frac{31}{49}}. A partir de ahí los resultados de Tartaglia están mal. El resultado obtenido por Piero en el “Libellus” para la altura BK es \sqrt{240\frac{271216}{1382976}},   si, en la figura, DF=13, AB=20, AD=14, BF=16, AF=15, DB=18.

Piero della Francesca y Tartaglia llaman a la altura del triángulo “cateto” o “perpendicular” y a la altura del tetraedro “eje (assis)”.

Otra falsa atribución

Es conocida la trisección del ángulo que presenta Pappus en su Colección:
En la figura, si FM = ME, DME es isósceles, DM=ME y el ángulo externo DMB es el doble de DEB. Si además DB=DM, BDM es isósceles, el ángulo DBM es igual al DMB, doble del EBC, y por tanto el ángulo EBC es la tercera parte del ABC.

Hace pocas semanas, buscando otra cosa, quedé sorprendido al ver que esa construcción es atribuida en el sitio cut-the-knot a Hipócrates de Quíos. El autor comenta en nota que la única fuente que conoce para tal atribución es la historia de MacTutor, donde se asigna, sin dudar, la construcción a Hipócrates. (Esa página está traducida aquí).

Pero esto es un error, y de hecho en la entrada en MacTutor sobre Hipócrates no se le atribuye ninguna trisección del ángulo, como tampoco que yo sepa en ningún historiador, y desde luego no lo menciona ningún autor antiguo.

Creo que el origen del error está en una mala lectura de la referencia 5, donde dice en pag.92: This problem interested the geometers of the 5th century B.C., the time of Hippocrates of Chios, as well as the duplication of the cube. The following solution seems to be the oldest…
Y sigue la construcción dada por Pappus. Como se ve, solo se dice que la solución parece de la época de Hipócrates, y dan como referencia a Abel Rey, que es de la misma opinión.

Pero también esa asignación de la solución, o del planteamiento del problema, a finales del siglo V A.C. es arbitraria y una conjetura sin apoyo en ningún dato. G.J.Allman propone mediados del siglo IV como fecha del descubrimiento, y Wilbur Knorr cree que fue en el siglo III A.C1.

Por tanto la atribución a Hipócrates de esa trisección es un error que aparece por primera vez en esa entrada de la historia de las matemáticas de la universidad de St.Andrews.


1Knorr, “The Ancient Tradition of Geometric Problems”, pag 41.


Esta entrada participa en la Edición 3.14159 del Carnaval de Matemáticas cuyo anfitrión es el blog Scientia.

Diocles no es Diocles de Caristo

En la entrada sobre Diocles en la enciclopedia MacTutor de historia de las matemáticas nos encontramos a día de hoy, para empezar, con el siguiente sumario:

He recuadrado lo que considero errores, meras conjeturas, imprecisiones y cuestiones a matizar:
  • (1) Errata. Debe decir ‘Diocles’ a secas.
  • (2) Conjetura probable. No hay datos.
  • (3) Conjetura errónea. Diocles dice que el primero en descubrir la propiedad fue Dositeo.
  • (4) Matiz. Diocles no llamó cisoide a su curva, diferente de las que los griegos llamaban cisoides.
  • (5) Matiz. Realmente se trata de la duplicación de cualquier volumen.

Trataré de las conjeturas y matices (2)-(5) en otra ocasión.
En cuanto a (1), que se le llame ‘Diocles de Caristo’ es claramente una errata, pues el Diocles matemático, famoso por su curva y autor de un tratado “Sobre los espejos ustorios”, no puede ser el famoso médico Diocles de Caristo.

Supongo que el error proviene de la entrada sobre Diocles de Caristo en el sitio www.encyclopedia.com, donde aparecen cuatro artículos, en diferentes tabuladores, dos dedicados al médico y dos al matemático.
De hecho, a día de hoy, los enlaces en las referencias que da MacTutor también son erróneos y apuntan al médico.


Los datos que da Diocles sobre Conón y Dositeo en “Los espejos ustorios” apuntan a que perteneció a su círculo o tuvo acceso a documentos del museo de Alejandría y, si hubiera que aplicarle un adjetivo, sería el de alejandrino, pero no hay dato o tradición para asignarle gentilicio.