Apolonio III.16-21 via Poncelet-Carnot

Si dos cuerdas AJ, BK de una cónica se cortan en un punto C y otras dos cuerdas GH, DF, paralelas a las anteriores, se cortan en un punto E, se cumple la relación entre segmentos indicada en la figura.
Si desplazamos una cuerda hasta convertirla en una tangente el producto de segmentos correspondiente se convierte en el cuadrado de un segmento.

Esa proposición es un corolario inmediato de la proposición 17 (y 19) del libro III de las “Cónicas” de Apolonio de Perga, aunque ahí no se enuncia explicítamente. En esas proposiciones Apolonio demuestra que en la figura anterior cada uno de los cocientes es igual al cociente entre los cuadrados de los segmentos de las tangentes paralelas a las cuerdas.


Las proposiciones III.16 y III.17 de las “Cónicas” establecen las relaciones indicadas para cualquier “sección”, en la terminología de Apolonio. Eso incluye a la parábola, a la elipse y a la curva formada por una rama de la hipérbola. Para Apolonio la hipérbola completa, formada por las dos ramas de la curva, no es una sección, sino “secciones opuestas”. Apolonio dedica las proposiciones III.18-21 a demostrar las relaciones siguientes para las “secciones opuestas”.



Las proposiciones anteriores (III.16-21) de Apolonio son casos particulares de la primera proposición de esta entrada, que Poncelet obtiene como corolario del teorema de Carnot en el artículo 35 de su “Traité des propriétés projectives des figures”:

Por el teorema de Carnot, si los lados de un triángulo ABC cortan a una cónica en 6 puntos, tenemos, con las letras de la figura, \dfrac{AP \cdot AP' \cdot BQ \cdot BQ' \cdot CR \cdot CR'}{BP \cdot BP' \cdot CQ \cdot CQ' \cdot AR \cdot AR'} = 1.
Si A se mueve hacia un punto del infinito, en el límite \dfrac{AP \cdot AP' }{ AR \cdot AR'} = 1, y por tanto en la figura, si las cuerdas PP', RR' son paralelas tendremos \dfrac{ BQ \cdot BQ' \cdot CR \cdot CR'}{BP \cdot BP' \cdot CQ \cdot CQ' } = 1, es decir \dfrac{ BQ \cdot BQ' }{BP \cdot BP'} = \dfrac{CQ \cdot CQ' }{ CR \cdot CR'}.

Aplicando ese resultado a las paralelas SS',QQ' cortadas por RR', tenemos \dfrac{ CQ \cdot CQ' }{CR \cdot CR'} = \dfrac{FS \cdot FS' }{ FR \cdot FR'}.
Por tanto \dfrac{ BQ \cdot BQ' }{BP \cdot BP'} = \dfrac{FS \cdot FS' }{ FR \cdot FR'}, y queda demostrada la proposición inicial de esta entrada, y en consecuencia las proposiciones III.16-21 de las “Cónicas” de Apolonio.

El teorema de Carnot en Poncelet

En el artículo 34 del “Traité des propriétés projectives des figures” (1822), Poncelet da una demostración simple del teorema de Carnot para el caso de una curva de segundo grado, es decir, de una sección cónica cortada por 3 rectas:

Es decir, si los lados de un triángulo o sus prolongaciones cortan a una cónica en 6 puntos, se cumple que, en la figura, \dfrac{AP \cdot AP' \cdot BQ \cdot BQ' \cdot CR \cdot CR'}{BP \cdot BP' \cdot CQ \cdot CQ' \cdot AR \cdot AR'} = 1.

Porque en el caso de que la curva sea una circunferencia, por Euclides III.35 y III.36,  AP \cdot AP'= AR \cdot AR', etc, y se cumple evidentemente la relación.

Como cada punto en el producto de razones aparece el mismo número de veces en el numerador y denominador, y cada recta da lugar al mismo número de segmentos en el numerador y denominador, por el criterio de Poncelet el cociente anterior es proyectivo, es decir su valor no varía si se proyecta la figura sobre otro plano.
Y como una cónica es la proyección de una circunferencia, la relación anterior se cumple para cualquier cónica cortada por 3 rectas.

Criterio de Poncelet

Decimos que una expresión en que intervienen longitudes de segmentos entre puntos del espacio es un invariante proyectivo si su valor no varía cuando proyectamos los puntos extremos de los segmentos, desde un punto central fuera de esos segmentos, sobre otros puntos del espacio, proyectando rectas sobre rectas.

Jean-Victor Poncelet, en el artículo 20 de su Tratado sobre las propiedades proyectivas de las figuras (1822), enuncia la siguiente condición suficiente para que un cociente entre productos de longitudes de segmentos entre puntos del espacio sea un invariante proyectivo.

Si en la expresión w \equiv \dfrac{AB \cdot CD \cdot \ldots }{ EF \cdot GH \cdot \ldots }

  • (1) cada letra (punto extremo de un segmento) aparece el mismo número de veces en el numerador y denominador,
  • (2) y además el número de segmentos de cada recta del espacio que aparecen en el numerador es igual al número de segmentos de esa recta que aparecen en el denominador,

entonces w es un invariante proyectivo.

Demostracion: En la figura, por las fórmulas para el área del triángulo, AB \cdot h = OA \cdot OB \cdot \sin \alpha.
Entonces AB=  \dfrac{OA \cdot OB \cdot \sin \alpha }{ h}.
Si O es un punto diferente de los que aparecen en la expresión w, sustituyendo en esa expresión cada segmento por la fórmula anterior, si se cumple la primera condición los términos Op se cancelarán en el numerador y denominador de w, y si se cumple la segunda condición se cancelarán los h, que solo dependen de O y de la recta en que está el segmento.

Entonces, si se cumplen las condiciones (1) y (2) del recuadro, w no varía si sustituimos en w cada longitud de un segmento por el seno del ángulo que subtiende ese segmento desde un vértice arbitrario en el espacio, fijo para todos los segmentos, y por tanto el valor de w no varía al proyectar los puntos que intervienen.

Ejemplos de invariantes proyectivos son la expresión \frac{AD \cdot BC}{AC \cdot BD} si A,B,C,D están en la misma recta, o \frac{ DA \cdot EB \cdot FC}{DB \cdot EC \cdot FA}, si D,E,F están respectivamente en las rectas AB,BC,AC.