El Istikmal de Al Mutamán

La entrada 82 del segundo volumen (1851) del catálogo Codices Orientales Bibliothecae Regiae Hafniensis [Hafnia en latín es Copenhague], pags.64-67, describe un manuscrito árabe y comienza así:

Códice in folio, 128 hojas de papel oriental fuerte y antiguo, en caracteres africanos bien escritos, pero muy deteriorado por polillas. Contiene en buena parte libros matemáticos, sobre aritmética, geometría y estereometría. El nombre del autor se ignora. Aunque está escrito en una hoja sin numerar al principio del libro: “Euclides”, ello no es verdad. Este libro estaba dividido en dos géneros de disciplinas matemáticas, ambos géneros incluyen varias especies, divididas a su vez en varias especies, cuyas partes son llamadas secciones…

Jan Hogendijk descubrió que ese manuscrito pertenece a la misma obra que dos fragmentos conservados en Leiden y El Cairo, y, sobre 1984, con Ahmed Djebbar, que esa obra es el Kitab al Istikmal, o Libro de la Perfección, del príncipe matemático, y luego rey de Zaragoza, Yusuf Al Mutamán Ibn Hud también conocido en la historia de España como Al Mutamín.
El descubrimiento fue importante porque hasta entonces no se conocía ninguna copia del Istikmal.

Hogendijk afirma que “el Istikmal es una de las obras más largas, si no la más larga, sobre matemáticas puras en toda la tradición antigua y medieval”.

El siguiente diagrama de Hogendijk muestra la estructura de secciones del Istikmal. Cada bloque de la fila “sections” es una sección y las barras de las filas K,L y C,D indican las porciones de la obra que se conservan en los manuscritos de Copenhague (K), Leiden (L) y Cairo (C,D).

He añadido la situación del hoy mal llamado teorema de Ceva, situado al final del bloque blanco apuntado por la flecha roja (es el último teorema de la segunda sección de la subespecie ‘N31′). Al Mutamán demuestra este teorema combinando dos aplicaciones del teorema de Menelao.

Pocos años después del descubrimiento del Istikmal, Ahmed Djebbar observó que una obra de Ibn Sartaq (siglo XIV), que se conserva en dos manuscritos en El Cairo y Damasco, es una versión del Istikmal de Al Mutamán, que permite completar las partes que faltan en el manuscrito oriental 82 de Copenhague.


Fuentes.
Comunicación del descubrimiento del Istikmal de Al Mutamán:
J.Hogendijk. Discovery of an 11th-Century Geometrical Compilation: The Istikmal of Yusuf al-Mutaman ibn Hud, King of Saragossa. Historia Mathematica, 13.1 (1986) pp.43-52
Evaluación histórica de Al Mutamán y el Istikmal:
J.Hogendijk. Al-Mutaman ibn Hud, 11th century king of Saragossa and brilliant mathematician. Historia Mathematica, 22.1 (1995) pp.1-18
Detalle del contenido del Istikmal:
J.Hogendijk. The geometrical parts of the Istikmal of Yusuf al-Mu’taman ibn Hud (11th century). An analytical table of contents. [E 26] Archives Internationales d’Histoire des Sciences 41 (1991), pp.207-281.
La obra de Ibn Sartaq, versión del Istikmal:
A.Djebbar. La rédaction de L’istikmal d’al-Mutaman (XI s.) par Ibn Sartaq, un mathématicien des XIIIe–XIVe siècles. Historia Mathematica, 24.2 (1997) pp.185-192
En apéndice 1, demostración del ‘teorema de Ceva’ en Al Mutamán e Ibn Sartaq:
J.Hogendijk. The lost geometrical parts of the Istikmal of Yusuf al-Mu’taman ibn Hud (11th century) in the redaction of Ibn Sartaq (14th century): An Analytical Table of Contents, [E 61] Archives Internationales d’Histoire des Sciences 53 (2004) pp.19-34.


Esta entrada participa en la Edición 5.2 del Carnaval de Matemáticas cuyo anfitrión es el blog Matesdedavid.

Verba filiorum

Parte del folio 55v del manuscrito Parisinus lat. 9335, de principios del siglo XIV:

“Verba filiorum moysi filii sekir i. maumeti hameti hasen.
P
roptera quia vidimus quod conveniens est necessitas scientiae mensure figurarum superficialium et magnitudinis corporum, et vidimus..”

Hacia el año 1160 Gerardo de Cremona traduce en Toledo, del árabe al latín, una obra que los hermanos Banu Musa escribieron en Bagdad hacia el año 860, y que Gerardo de Cremona titula (o así aparece en las copias que existen) “Verba Filiorum Moysi Filii Sekir: Maumeti, Hameti, Hasen”, es decir “Discurso de los hijos de Moisés hijo de Sekir (Banu Musa ibn Shekir): Mohammed, Ahmed y Hasan”.
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Polígonos regulares mesopotámicos

La siguiente es una imagen de la transcripción del anverso de la tableta mesopotámica ‘TMS-III’, escrita hacia 1700 a.C, encontrada en Susa en 1933 por Roland de Mecquenem, y publicada en 1961 por Bruins y Rutten en “Textes mathematiques de Suse“.

La primera linea se puede traducir por “coeficientes para absolutamente todo”, según Eleanor Robson (aquí, donde la tableta se denomina lista “D”). El anverso de la tableta contiene 36 coeficientes y el reverso otros 32.

Las líneas 26-28 de la tabla son:

1 40      coeficiente del lados-5
2 37 30 coeficiente del lados-6
3 41      coeficiente del lados-7

y nos dan, en sexagesimal, las constantes por las que hay que multiplicar el cuadrado del lado para obtener (aproximadamente) las áreas del pentágono, hexágono y heptágono regulares.
El área de, por ejemplo, un heptágono regular de lado 1 se debe estimar, segun la tabla, en 3+41/60.
(Los valores exactos, redondeados al primer sexagesimal después de la coma, son respectivamente 1 43, 2 36 y 3 38.)

Del mismo grupo de textos matemáticos de Susa es la tableta TMS-II, que tiene dibujados en el anverso un hexágono regular y en el reverso un heptágono regular:


Según E.Robson en el heptágono está escrito:
“Un heptágono. Multiplica por 4 y resta un doceavo (del resultado) y obtendrás el área”.
Esto da una mejor aproximación al área del heptágono regular, y es equivalente a usar un coeficiente igual a 3 40.


Fuentes:
Eleanor Robson. Mesopotamian mathematics 2100-1600 BC. Technical constants in Bureaucracy and Education. 1999.
E.M Bruins, M. Rutten. Textes mathematiques de Suse. 1961.

El estema de las Cónicas

La siguiente imagen es el estema de la tradición manuscrita griega conservada de las Cónicas de Apolonio, según Micheline Decorps-Foulquier1.

Se conservan 34 manuscritos que contienen el texto griego de los cuatro primeros libros de las Cónicas de Apolonio. Ese conjunto de manuscritos consiste en:
El Vaticanus graecus 206, conservado en la biblioteca del Vaticano y copiado posiblemente en Constantinopla a finales del siglo XII o principios del siglo XIII, y otros 33 manuscritos que son apógrafos (es decir, copias directas o indirectas) del Vat.gr.206.

La lista de los 34 manuscritos se puede ver aquí:


1 – En Apollonius de Perge, Coniques, Tome 1.2: Livre I., De Gruyter 2008. (p.xxxvi)

Liber assumptorum

El “Libro de los Lemas” es una colección de 15 proposiciones que nos ha llegado desde la antigüedad a través del árabe.

La colección fue editada en latín primero por S.Foster, Miscellanea (Londres, 1659), y a continuación por Borelli en un libro publicado en Florencia, 1661, como

Archimedis Liber Assumptorum interprete Thebit ben-Kora exponente Almochtasso.
Ex codice Arabico manuscripto Ser.Magni Ducis Etruriae
Abrahamus Ecchellensis Latine vertit. Io. Alfonsus Borellus Notis illustravit.

Esta obra es un apéndice a la traducción de Borelli:
Apollonii Pergaei Conicorum Lib.V. VI. VII.; ed.Io.Alfonsus Borellus. Florentiae MDCLXI.

En cuanto a la autoría cabe citar:
Los lemas, no obstante, no pueden haber sido escritos por Arquímedes en su forma actual, porque su nombre es citado en ellos más de una vez. Es posible que fuesen proposiciones recogidas por algún autor griego de fecha tardía para elucidar alguna obra antigua, aunque es muy probable que alguna de las proposiciones sea de origen arquimedeo, e.g. las relativas a las figuras llamadas arbelos y salinon, y la prop.8 que trata el problema de trisecar el ángulo.
(T.L.Heath The works of Archimedes, pag.xxxii.)

El libro traducido por Thabit no puede ser de Arquímedes en la forma en que lo tenemos, porque es citado en él varias veces.
(E.J.Dijksterhuis, Archimedes, pag.43.)

Que Arquímedes sea citado en la obra no es motivo para rechazar su autoría, porque solo es citado en relación a las palabras griegas “arbelos” y “salinon”, que son mencionadas como “la figura que Arquímedes llama arbelos” y “la figura que Arquímedes llama salinon”, expresiones que podrían haber sido introducidas por un traductor.

Más significativo para rechazar la autoría de Arquímedes es que se aluda a obras del autor que no están entre las de Arquímedes y que el traductor Thabit ben Qurra señale en la introducción que la atribución a Arquímedes de debe al doctor Almochtasso Abilhasan.
(Ver al respecto la introducción de Paloma Ortiz García a la obra en Arquímedes, Tratados II, Biblioteca Clásica Gredos 378.).

El contenido matemático del libro de los lemas se puede ver en:
http://www.cut-the-knot.org/Curriculum/Geometry/BookOfLemmas/index.shtml

Sobre división de las figuras

Proclo dice en su comentario al libro I de los Elementos:
Hay muchos otros escritos matemáticos de Euclides, abundantes en conocimientos científicos y en una sorpendente precisión. Tales son su Optica, su Catróptica, sus Elementos de Música, y su pequeño libro Sobre Divisiones. (69)
…..
El círculo, por ejemplo, y toda figura rectilínea, puede ser dividido en partes diferentes en definición o noción, esto de hecho es tratado por el autor de los
Elementos en sus Divisiones, donde divide figuras dadas, en unos casos en figuras análogas y en otros en desemejantes. (144)

No nos ha llegado ningún manuscrito griego de la obra Sobre Divisiones, pero, a mediados del siglo XIX, Franz Woepcke descubrió un manuscrito árabe en la biblioteca nacional de París, con un tratado Sobre División de las Figuras expresamente atribuido a Euclides. El tratado consta de 36 proposiciones de las que el manuscrito da el enunciado, y la demostración de cuatro de ellas.
Como esas demostraciones también están en la obra Practica Geometricae de Leonardo de Pisa (Fibonacci), y el enunciado de otras muchas proposiciones de Fibonacci coincide con las del manuscrito árabe, R.C.Archibald propone una reconstrucción de la obra de Euclides usando las demostraciones que aparecen en Fibonacci.

La reconstrucción de Archibald, con comentario histórico y notas, está accesible en internet, por ejemplo en: http://www.gutenberg.org/ebooks/38640

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