Otra demostración de P3(n) ≈ n2/12

Trazamos tantos triángulos no congruentes cuyos vértices son vértices de un polígono regular de n lados como sea posible. Sabemos que hay tantos triángulos no congruentes como el número  P_3(n) de particiones de n en tres partes.

Designamos con T(n), T_i(n), T_e(n) el número de triángulos, triángulos isósceles y triángulos escalenos cuyos vértices son vértices de un polígono regular de n lados, y con P_{3,2i}(n), P_{3,3d}(n) el número de triángulos isósceles y escalenos no congruentes.

Cualquier triángulo isósceles cuyos vértices son vértices del polígono se obtiene a partir de uno de los triángulos en rojo rotándolo \frac{2 \pi k}{  n} radianes , con k = 1,\ldots n, excepto los triángulos equiláteros, en que basta que k = 1 \ldots \frac{n}{3}.
Entonces si m_a(n) es 1 si n es múltiplo de a y 0 si no lo es, T_i(n) = n \cdot P_{3,2i} - \frac{2 \cdot n \cdot m_3}{3}.

Cualquier triángulo escaleno cuyos vértices son vértices del polígono se obtiene a partir de uno de los triángulos no congruentes, o de su simétrico respecto a una recta que pase por el centro y un vértice del polígono, rotándolo \frac{2 \pi k}{  n} radianes , con k = 1,\ldots n, y por tanto T_e(n) = 2 \cdot n \cdot P_{3,3d}(n).

T_i(n) + T_e(n) = T(n) = \binom{n}{3} porque cada subconjunto de tres vértices del polígono determina un triángulo.
El número de triángulos isósceles no congruentes es P_{3,2i}(n) = \frac {n-1-m_2}{2}. Por tanto
P_{3,3d}(n) = \frac{T(n)- T_i(n)}{2n} = \frac{(n-1)(n-2)/6 - ( (n-1-m_2)/2 -2m_3/3 ) }{2} = \frac{n^2 - 6n +5 + 3m_2 + 4m_3}{12}, y
P_3(n) = P_{3,2i}(n) +P_{3,3d}(n) = \frac{n-1-m_2}{2} + \frac{n^2 - 6n +5 + 3m_2 + 4m_3}{12} = \frac{n^2}{12} + \frac{4m_3 - 3m_2 -1}{12}.

De donde concluimos, como en la demostración anterior, que P_3(n) = \lfloor \dfrac{n^2+3}{12} \rfloor.

Número de clases de semejanza

Trazamos todas las rectas que pasan por dos vértices de un polígono regular de n lados.

En el conjunto de triángulos que aparecen, el número de clases de triángulos semejantes que hay, o, lo que es lo mismo, el máximo número de triángulos no semejantes entre sí que podemos señalar, es igual al número de particiones de n en tres partes P_3(n), que según la entrada anterior es igual a \lfloor \frac{n^2 + 3}{12} \rfloor.

Demostración:
Los ángulos del mismo color verde o rojo en la figura son iguales, e iguales a la mitad del correspondiente ángulo central (Euclides III.20 y III.21) y los ángulos naranja y azul son la suma y diferencia de un ángulo verde y uno rojo (por Euclides I.32).

De donde se deduce que todos los ángulos de los triángulos en la figura inicial son múltiplos de \frac{180^{ \circ }}{n} , o, en radianes, de \frac{\pi}{n}, y por tanto no hay más triángulos no semejantes que particiones de n en tres partes.

Además todo triángulo en la figura inicial es semejante a un triángulo cuyos tres vértices son vértices del polígono regular, y entre los triángulos de este tipo hay tantos triángulos no congruentes como particiones de n en tres partes.

Producto de lados y diagonales

Si en la figura siguiente el radio de las circunferencias circunscritas es 1, por una entrada anterior la suma de los cuadrados de las longitudes de los segmentos rojos es, respectivamente, 6, 8, 10, y 12.

En cambio, el producto de las longitudes de esos segmentos es 3, 4, 5 y 6.

Y, en general, dado un polígono regular de n lados inscrito en una circunferencia de radio igual a 1, el producto de las longitudes de las diagonales y los lados que concurren en un vértice es igual a n.

Porque situando el polígono en el plano complejo con centro en 0 y un vértice en 1, los vértices del polígono son las raíces z_i de z^n - 1 = 0 , y por tanto z^n-1 = \prod (z-z_i).
Pero es una identidad algebraica que  z^n -1 =(z-1)( z^{n-1} + \ldots + z + 1), y por tanto tenemos  z^{n-1} + \ldots + z + 1 = \prod (z-z_i)   , donde los z_i recorren las raíces distintas de 1, y tomando z=1, \prod (1-z_i)  =  n.

Los módulos de los complejos 1-z_i son las longitudes de los segmentos entre 1 y z_i, es decir las longitudes de las diagonales y los lados que concurren en 1, y el producto de los módulos es el módulo del producto, que es igual al módulo de n, igual a n.

Si el radio de la circunferencia circunscrita es R, nuestro producto será igual a nR^{n-1}.


Esta entrada participa en la Edición 7.6 del Carnaval de Matemáticas, que en esta ocasión organiza Gaussianos.

El área de la cicloide


Si un polígono regular de n lados rueda sobre una recta base, un vértice situado en la base termina por volver a la base después de describir una serie de n-1 arcos.
Uniendo con segmentos los extremos de cada uno de esos arcos se forma una línea poligonal (roja en la figura), de n-1 segmentos, que empieza y termina en la base y a la que llamaremos cicloide poligonal generada por el polígono regular.

Sea cual sea el número de lados del polígono regular que rueda, el área entre la cicloide poligonal y la base es el triple del área del polígono regular. (Maupertuis, 1727)

En consecuencia el área de la cicloide es el triple del área del círculo que la genera, que se puede considerar como un polígono de infinitos lados.

Demostración:
Descomponemos el área bajo la cicloide poligonal en dos partes.
Una formada por el área de los triángulos (azules) que tienen por vértices los extremos y el centro de cada arco recorrido por el vértice al rodar el polígono, es decir sus lados son un segmento de la cicloide poligonal y dos diagonales iguales del polígono, y la otra formada por el área de los triángulos (naranjas) restantes.

Estos triángulos (naranjas) restantes tienen por lados un lado del polígono y dos diagonales consecutivas, de las trazadas desde un vértice, y es claro que su área total es igual a la del polígono que genera la cicloide poligonal.

Basta entonces con demostrar que el área total de los triángulos (azules) que tienen un lado en la cicloide poligonal es el doble de la del polígono rodante.

Esos triángulos son isósceles, semejantes entre sí y semejantes al triángulo formado por un lado del polígono y dos radios de la circunferencia circunscrita.
Los lados iguales de esos triángulos isósceles son iguales a las sucesivas diagonales trazadas desde un vértice del polígono regular.

Designamos con d_1,\ldots, d_{n-1} las sucesivas diagonales trazadas desde un vértice (d_1 y d_{n-1} son los lados adyacentes al vértice) de un polígono de n lados, con T_k el área del triángulo que tiene dos lados iguales a d_k y el otro en la cicloide, con T el área del triángulo cuyos vértices son el centro del polígono y los extremos de un lado, y con R el radio de la circunferencia circunscrita.

Como las áreas de figuras semejantes son entre sí como los cuadrados de segmentos correspondientes (Euclides VI.20), \dfrac {T_k}{T} = \dfrac{d_k^2}{R^2},   y la suma de las áreas de los triángulos (azules) T_k será \sum T_k = \dfrac{T}{R^2} \sum d_k^2.
Pero en la entrada anterior demostramos que \sum d_k^2 = 2nR^2, y por tanto \sum T_k = 2nT, que es el doble del área del polígono regular.

Por tanto el área entre la cicloide poligonal y la base es el triple del área del polígono regular que la genera.

Sumas de cuadrados de diagonales II

Como hemos demostrado, en la entrada anterior, que tomando las diagonales desde un vértice de un polígono regular, la suma de los cuadrados de las diagonales impares es igual a la de las pares, el hecho de que cada una de esas sumas sea igual al número de lados por el cuadrado del radio es consecuencia del siguiente teorema:

La suma de los cuadrados de todas las diagonales (incluidos los lados) con extremo en un vértice de un polígono regular de n lados es igual al doble del número de lados por el cuadrado del radio de la circunferencia circunscrita.

Demostración
En el caso de un número 2n par de lados, podemos disponer las 2n-1 diagonales como en la figura, formando n - 1 triángulos rectángulos, con hipotenusa común igual al diámetro de la circunferencia.

Entonces la suma de los cuadrados de las diagonales será (n - 1)(2R)^2 + (2R)^2 = 4nR^2, donde R es el radio de la circunferencia circunscrita.

En el caso de un número n impar de lados, si formamos un polígono regular de 2n lados a partir del polígono de n lados, inscrito en la misma circunferencia, las diagonales pares de ese polígono serán todas las diagonales del polígono de n lados.

La suma de los cuadrados de las diagonales del polígono de 2n lados es 4nR^2 y la suma de los cuadrados de las diagonales pares es igual a la de las impares. Por tanto la suma de los cuadrados de las pares, es decir, de todas las del polígono de n lados, será 2nR^2.

En un polígono regular de n lados, la diagonal d_k, que subtiende k lados, es igual a    2R \sin(\dfrac{k\pi}{n})    y por tanto el resultado anterior, \sum d_k^2 = 2nR^2, es equivalente a       \displaystyle \sum_{k=1}^n \sin^2(\dfrac{k\pi}{n}) = \dfrac{n}{2}.

Du Fay sobre polígonos regulares


Sea una circunferencia (roja en las figuras anteriores) y dos polígonos regulares de n lados, uno circunscrito y otro inscrito en la circunferencia.
Teorema: La diferencia entre las áreas de esos dos polígonos es igual al área de un polígono regular de n lados inscrito en una circunferencia cuyo diámetro es el lado del polígono circunscrito, e igual al área de un polígono regular de n lados circunscrito a una circunferencia cuyo diámetro es el lado del polígono inscrito.

Este teorema fue publicado (Memoires de l’Academie Royale des Sciences) en 1727 por Charles François de Cisternay du Fay (1698 – 1739).

La demostración de Du Fay es puramente geométrica. Usando las letras de la figura adjunta, unimos AT que cortará a SM en su punto medio U. Entonces \angle UTS = \angle UTM.
Por tanto \angle UTM es el ángulo que forman el radio y el lado de un polígono regular de n lados, y entonces el lado TZ -del polígono regular de n lados inscrito en la circunferencia cuyo diámetro es el lado TR del polígono circunscrito- está en la recta AT.

Como AT y MS se cortan en ángulo recto, U es el punto medio de ZT y ZMTS es un rombo. Entonces el área de \triangle ZMU es igual a la de \triangle TSU, y el área de \triangle ZMT es igual a la de \triangle SMT y por tanto el área total sombreada en marrón es igual al área sombreada en azul.

Como MU es la mitad de MS, el diámetro del círculo inscrito en el polígono azul de lado ZT es igual al lado del polígono inscrito en el círculo rojo, y queda demostrado el teorema.

Un corolario obtenido por Du Fay es que el área de un círculo cuyo diámetro es el lado de un polígono regular es igual a la diferencia entre las áreas de las circunferencias circunscrita e inscrita al polígono.
Es decir, en la figura, el área del círculo azul es igual al área de la corona roja.

Una división del círculo



“Dividir un círculo en 4 partes de igual área mediante circunferencias.”

Esta es la proposición 18 del capítulo VI del De arte mensurandi de Johannes de Muris.

Johannes de Muris demuestra que el resultado se consigue con la figura de la izquierda, donde los diámetros de las circunferencias que dan la solución son iguales a los lados del hexágono, cuadrángulo y triángulo equiláteros inscritos en el círculo.

Es obvio que la división en 4 zonas iguales persiste si desplazamos arbitrariamente las circunferencias sin que se corten.

Polígonos regulares mesopotámicos

La siguiente es una imagen de la transcripción del anverso de la tableta mesopotámica ‘TMS-III’, escrita hacia 1700 a.C, encontrada en Susa en 1933 por Roland de Mecquenem, y publicada en 1961 por Bruins y Rutten en “Textes mathematiques de Suse“.

La primera linea se puede traducir por “coeficientes para absolutamente todo”, según Eleanor Robson (aquí, donde la tableta se denomina lista “D”). El anverso de la tableta contiene 36 coeficientes y el reverso otros 32.

Las líneas 26-28 de la tabla son:

1 40      coeficiente del lados-5
2 37 30 coeficiente del lados-6
3 41      coeficiente del lados-7

y nos dan, en sexagesimal, las constantes por las que hay que multiplicar el cuadrado del lado para obtener (aproximadamente) las áreas del pentágono, hexágono y heptágono regulares.
El área de, por ejemplo, un heptágono regular de lado 1 se debe estimar, segun la tabla, en 3+41/60.
(Los valores exactos, redondeados al primer sexagesimal después de la coma, son respectivamente 1 43, 2 36 y 3 38.)

Del mismo grupo de textos matemáticos de Susa es la tableta TMS-II, que tiene dibujados en el anverso un hexágono regular y en el reverso un heptágono regular:


Según E.Robson en el heptágono está escrito:
“Un heptágono. Multiplica por 4 y resta un doceavo (del resultado) y obtendrás el área”.
Esto da una mejor aproximación al área del heptágono regular, y es equivalente a usar un coeficiente igual a 3 40.


Fuentes:
Eleanor Robson. Mesopotamian mathematics 2100-1600 BC. Technical constants in Bureaucracy and Education. 1999.
E.M Bruins, M. Rutten. Textes mathematiques de Suse. 1961.