Circunferencia podal y conjugados isogonales

Llamamos circunferencia podal (o pedal, o podaria) de un punto P respecto a un triángulo \triangle ABC a la circunferencia que pasa por los pies de las perpendiculares trazadas desde P a los lados de \triangle ABC.

Demostramos aquí dos propiedades curiosas de la circunferencia podal.

La circunferencia podal del circuncentro O de \triangle ABC -que es la circunferencia de los 9 puntos- tiene la propiedad de que las perpendiculares a los lados por los otros puntos de intersección, de la circunferencia podal con los lados, se cortan en un punto H, en ese caso el ortocentro de \triangle ABC, que es el simétrico de O respecto al centro N de la circunferencia podal de O, que por tanto lo es también de H. (Demostración en Gaussianos).

La propiedad anterior se cumple para cualquier circunferencia podal:
Sea A_PB_PC_P la circunferencia podal de P, con centro M. Si P' es la intersección de PM con la perpendicular a BC por A'_P, entonces PP'A'_PA_P es un trapecio, y la paralela a A_PP por el punto medio A_M de la cuerda A_PA'_P corta a PP' en su punto medio y por tanto P' es el simétrico de P respecto a M.
De la misma forma las perpendiculares a AC y AB por B'_P y C'_P pasan por el simétrico de P respecto al centro M de la circunferencia podal de P, como queríamos demostrar.

Además el punto P' es el conjugado isogonal de P, es decir \angle PAC= \angle P'AB,\angle PBC= \angle P'BA, y \angle PCA= \angle P'CB.
Las rectas B_PC_P y B'_PC'_P son antiparalelas respecto a AB,AC porque son lados opuestos del cuadrilátero C_PB_PB'_PC'_P inscrito en la circunferencia podal.
Las rectas C_PP y B'_PP' son también antiparalelas, y entonces \angle PC_PB_P = \angle P'B'_PC'_P.
Pero \angle PC_PB_P = \angle PAB_P, porque PC_PAB_P son concíclicos y \angle P'B'_PC'_P = \angle P'AC'_P porque P'C'_PAB'_P son concíclicos. Luego \angle PAC= \angle P'AB y lo mismo sucede con los otros vértices.

Tenemos también que, en la figura anterior, AP' es perpendicular a C_PB_P porque AB y C_PP son perpendiculares y \angle BAP' = \angle PC_PB_P. De la misma forma AP y C'_PB'_P son perpendiculares.

De todo lo anterior concluimos que si tres cevianas se cortan en un punto P, sus simétricas respecto a las bisectrices respectivas se cortan en un punto P', y la circunferencia podal de P coincide con la de P', y su centro es el punto medio de PP'.


Esta entrada participa en la Edición 3.141592653 del Carnaval de Matemáticas cuyo anfitrión es el blog Que no te aburran las M@TES.

Un comentario sobre “Circunferencia podal y conjugados isogonales

  1. Pingback: Resumen 28 edición Carnaval Matemáticas 3.141592653 « Que no te aburran las M@TES