Coeficientes binomiales y números primos

A partir de la descomposición en primos de los coeficientes binomiales, se obtienen elementalmente cotas para \pi(x), que es el número de primos menores o iguales a x.

Se pueden cambiar los números en rojo en el coeficiente binomial de la izquierda. En la casilla de la derecha aparecerá la descomposición en primos del coeficiente binomial.


En la descomposición de un coeficiente binomial en producto de factores primos,

\displaystyle \binom{n}{m} = \dfrac{n!}{m!(n-m)!} = \prod p_i^{r_i}  ,

para cada p_i, \ p_i \le n, pues ningún primo mayor que n aparece en el numerador.   No es tan evidente, pero no es difícil demostrar , que además para cada componente p_i^{r_i} de la factorización, p_i^{r_i} \le n.   [???]

Por otro lado, en la factorización de \dbinom{2n}{n} aparecerán todos los primos entre n y 2n.

A partir de estas propiedades se deduce, como se muestra a continuación, que, si \pi(x) es el número de primos menores o iguales que  x ,

 \displaystyle   \frac{2^k}{k} - 2  < \pi(2^k) < 3 \cdot \frac{2^k}{k}

Una cota inferior para  \pi(x)

Por la primera propiedad anterior:
\displaystyle \binom{n}{m} = \prod p_i^{r_i} \leq n^{\pi(n)} ,    [???]

Y por tanto
\displaystyle 2^n = (1+1)^n = \sum_{m=0}^n \binom{n}{m} \leq (n+1)n^{\pi(n)} \le (2n) n^{\pi(n)}

Si  n=2^k ,
Comparando exponentes,
 2^k \leq (k+1) +k \pi(2^k) ,
es decir
\displaystyle \pi(2^k) \geq \frac{2^k}{k} - \frac{k+1}{k} > \frac{2^k}{k} - 2 .

Una cota superior para  \pi(x)

Por la segunda observación hecha en la introducción:

\displaystyle n^{\pi(2n)-\pi(n)} \leq \prod_{n < p \leq 2n} p \leq \binom{2n}{n} < 2^{2n}.     [???]
Si  n = 2^{k-1}, k \geq 1,
y comparando exponentes,
 (k-1)(\pi(2^k)-\pi(2^{k-1})) < 2^k ,
o
 k\pi(2^k) < (k-1)\pi(2^{k-1}) + \pi(2^k) + 2^k ,
y como   \pi(2^k) \leq 2^{k-1} ,
 k\pi(2^k) < (k-1)\pi(2^{k-1}) + 3 \cdot 2^{k-1} .

Usando esta última desigualdad se obtiene por inducción que

  \pi(2^k) < 3 \cdot \dfrac{2^k}{k} .     [???]

Corolarios

De 2^n  \leq (n+1)n^{\pi(n)} se deduce también, tomando logaritmos, que para  n > 2,

  \pi(n) > \dfrac{2}{3} \cdot \dfrac{n}{\ln n} .    [???]
Y de   \pi(2^k) < 3 \cdot \dfrac{2^k}{k} se deduce que
\displaystyle \pi(x) < 6 \ln 2 \cdot \frac {x}{\ln x} < 4.16 \cdot \frac {x}{\ln x}.     [???]
Por tanto hemos demostrado que

 \displaystyle A \cdot \frac{x}{\ln x} < \pi(x) < B \cdot \frac{x}{\ln x}

con  A=0,666 y  B=4,16 , para x > 3.     [Nota histórica]

De esto se deduce que si p_n es el n-ésimo primo,

 0.24 \cdot n \ln n < p_n  < 3  \cdot n \ln n     [???]

Y también se concluye de lo anterior que los primos son infinitos.

Esta entrada participa en la Edición 3.141592 del Carnaval de Matemáticas cuyo anfitrión es el blog ZTFNews.org.

Un comentario sobre “Coeficientes binomiales y números primos

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