Concurrencia de perpendiculares

Sea un triángulo \triangle ABC, y A', B', C' tres puntos en las rectas BC,  AC, AB. Por cada uno de esos puntos trazamos una perpendicular a la recta respectiva.
Una condición necesaria y suficiente para que esas perpendiculares sean concurrentes en un punto es que se cumpla la relación:
AC^{\prime\,2} - BC'^{\,2} + BA'^{\,2} - CA'^{\,2} + CB'^{\,2} - AB'^{\,2} = 0

Si las perpendiculares concurren en P, AC^{\prime\,2} - BC'^{\,2} = PA^2 - PB^2, etc, y se cumple la relación. Por otro lado como AC^{\prime\,2} - BC'^{\,2} = k determina un único punto C' en la recta AB, la relación es condición suficiente para la concurrencia de las perpendiculares.

Aplicando ese criterio se demuestran los siguientes corolarios.

1) Las perpendiculares por los puntos medios de los lados concurren en un punto, porque en ese caso AC^{\prime\,2} - BC'^{\,2} = 0, etc.

2) Las alturas concurren en un punto, porque en ese caso tenemos que AC^{\prime\,2} - BC'^{\,2} = AC^2 - BC^2, etc.

3) Si \triangle A_1B_1C_1 es el simétrico de \triangle ABC respecto a una recta (verde en la figura), las perpendiculares desde los vértices A_1,B_1,C_1 a los lados correspondientes de \triangle ABC se cortan en un punto P.

Porque BA^{\prime\,2} - CA'^{\,2} = A_1B^2 - A_1C^2, etc, y, por simetría, A_1B = AB_1, A_1C = AC_1, B_1C = BC_1.


4) Si A_1, B_1, C_1 son los pies de las perpendiculares desde los vértices de \triangle ABC a una recta dada, las perpendiculares desde A_1, B_1, C_1 a los lados BC, AC, AB concurren en un punto P.
Porque BA^{\prime\,2} - CA'^{\,2} = A_1B^2 - A_1C^2 = =  A_1B_1^2 + BB_1^2 - A_1C_1^2 - CC_1^2, y permutando cíclicamente A,B,C tenemos 12 términos que se cancelan.


5) Si A_1, B_1, C_1 son los pies de las perpendiculares trazadas desde un punto P sobre los lados de \triangle ABC, las perpendiculares trazadas desde A,B,C a B_1C_1, A_1C_1, A_1B_1 son concurrentes en un punto D.
Porque, en la figura, A'B_1^2 - A'C_1^2 = AB_1^2 - AC_1^2, etc, y por tanto A'B_1^2 - A'C_1^2 + B'C_1^2 - B'A_1^2 + C'A_1^2 - C'B_1^2 = = AB_1^2 - AC_1^2 + BC_1^2 - BA_1^2 + CA_1^2 - CB_1^2 = 0, porque las perpendiculares por A_1, B_1, C_1 concurren en P.


6) Si las perpendiculares trazadas desde los vértices de un triángulo \triangle ABC a los respectivos lados de otro triángulo \triangle A_1B_1C_1 se cortan en un punto E, entonces las perpendiculares trazadas desde los vértices de \triangle A_1B_1C_1 a los lados de \triangle ABC se cortan en un punto D.
Porque A'_1B_1^2 - A'_1C_1^2 = AB_1^2 - AC_1^2, etc, y A'B^2 - A'C^2 = A_1B^2 - A_1C^2, etc, y como la suma de las permutaciones cíclicas de A'_1B_1^2 - A'_1C_1^2 vale cero, también será cero la suma de las de A'B^2 - A'C^2.

7) BA'^2 - CA'^2 = (\overrightarrow{BA'} + \overrightarrow{CA'})(\overrightarrow{BA'} - \overrightarrow{CA'}) = (\overrightarrow{BA'} + \overrightarrow{CA'} )(\overrightarrow{BA'} + \overrightarrow{A'C})  = = 2 \overrightarrow{A_mA'}\cdot \overrightarrow{BC}, si A_m es el punto medio de BC.
Entonces, si B_m, C_m son los puntos medios de AC,AB, la condicion necesaria y suficiente para la concurrencia de las perpendiculares se puede expresar como:
\overrightarrow{A_mA'}\cdot \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{B_mB'}\cdot \overrightarrow{CA} + \overrightarrow{C_mC'}\cdot \overrightarrow{AB} =0.


Esta entrada participa en la Edición 4.1 del Carnaval de Matemáticas cuyo anfitrión es el blog Tito Eliatron Dixit.

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