Criterio de Poncelet

Decimos que una expresión en que intervienen longitudes de segmentos entre puntos del espacio es un invariante proyectivo si su valor no varía cuando proyectamos los puntos extremos de los segmentos, desde un punto central fuera de esos segmentos, sobre otros puntos del espacio, proyectando rectas sobre rectas.

Jean-Victor Poncelet, en el artículo 20 de su Tratado sobre las propiedades proyectivas de las figuras (1822), enuncia la siguiente condición suficiente para que un cociente entre productos de longitudes de segmentos entre puntos del espacio sea un invariante proyectivo.

Si en la expresión w \equiv \dfrac{AB \cdot CD \cdot \ldots }{ EF \cdot GH \cdot \ldots }

  • (1) cada letra (punto extremo de un segmento) aparece el mismo número de veces en el numerador y denominador,
  • (2) y además el número de segmentos de cada recta del espacio que aparecen en el numerador es igual al número de segmentos de esa recta que aparecen en el denominador,

entonces w es un invariante proyectivo.

Demostracion: En la figura, por las fórmulas para el área del triángulo, AB \cdot h = OA \cdot OB \cdot \sin \alpha.
Entonces AB=  \dfrac{OA \cdot OB \cdot \sin \alpha }{ h}.
Si O es un punto diferente de los que aparecen en la expresión w, sustituyendo en esa expresión cada segmento por la fórmula anterior, si se cumple la primera condición los términos Op se cancelarán en el numerador y denominador de w, y si se cumple la segunda condición se cancelarán los h, que solo dependen de O y de la recta en que está el segmento.

Entonces, si se cumplen las condiciones (1) y (2) del recuadro, w no varía si sustituimos en w cada longitud de un segmento por el seno del ángulo que subtiende ese segmento desde un vértice arbitrario en el espacio, fijo para todos los segmentos, y por tanto el valor de w no varía al proyectar los puntos que intervienen.

Ejemplos de invariantes proyectivos son la expresión \frac{AD \cdot BC}{AC \cdot BD} si A,B,C,D están en la misma recta, o \frac{ DA \cdot EB \cdot FC}{DB \cdot EC \cdot FA}, si D,E,F están respectivamente en las rectas AB,BC,AC.

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