Cuerdas focales iguales

Dada una cónica y una longitud de una cuerda focal, está dada la razón de los segmentos de la cuerda separados por el foco, porque la media armónica de esos segmentos es fija. Por tanto la figura formada por dos cuerdas focales de la misma longitud tiene un eje de simetria que será el eje de la cónica. (Porque los puntos medios de las cuerdas paralelas PQ y P’Q’ determinan un diámetro de la cónica que es el eje al ser las ordenadas perpendiculares).

Por tanto, en una cónica, si dos cuerdas focales son de la misma longitud, esas cuerdas son simétricas respecto al eje.


Ese resultado nos da el siguiente método para obtener el eje de una cónica a partir de su dibujo:


Trazamos una circunferencia que corte a la cónica en 4 puntos E,F,G,H …

… y dos rectas EH,GF que unan dos a dos esos puntos.

Las bisectrices del ángulo que forman esas dos rectas sserán perpendiculares a los ejes. (*)

Por tanto obteniendo los puntos K,L, intersección de una de las bisectrices con la cónica, …

… la paralela a la otra bisectriz por el punto medio N de KL será un eje.

(*) Porque por ser EH y GF cuerdas de la circunferencia, por Euclides III.35, ME·MH = MG·MF. Pero por ser EH y GF cuerdas de la cónica, la razón entre esos productos es igual a la razón entre las cuerdas focales paralelas a EH y GF. Esas cuerdas serán por lo tanto iguales y, por la proposición de esta entrada, igualmente inclinadas respecto al eje. Entonces EH y GF también forman los mismos ángulos con el eje.

Un comentario sobre “Cuerdas focales iguales

  1. Pingback: Una construcción de la osculatriz | Guirnalda matemática