Diámetro conjugado en la elipse (I.15)

En la proposición I.15 de las Cónicas, Apolonio demuestra que una elipse, definida por su “symptoma”, tiene un diámetro conjugado.

La longitud del diámetro conjugado es la media proporcional entre el lado recto y el diámetro que define la elipse.

Y para ese diámetro conjugado existe un lado recto que define la misma elipse, con direccion de ordenadas igual a la del primer diámetro.

Entonces los diámetros conjugados y sus correspondientes lados rectos están en la relación mencionada en la figura adjunta.

Demostración.
Sea una elipse definida mediante un diámetro AB, un lado recto AN, y una dirección de ordenadas DE. Sea C el punto medio de AB. La recta por C paralela a las ordenadas corta a la elipse en D y E. Sea DF perpendicular a DE, tal que AB es media proporcional de DE y DF.
Sea G un punto de la elipse y X el punto correspondiente del diámetro AB.
Trazamos la paralela por G a AB que corta en H y W a DE y a la elipse.
Construimos el resto de puntos de la figura.
Demostramos que GH^2 = HD\cdot HL y que GH=HW.

Por Euclides II.5, CD^2-GX^2 = CD^2-HC^2 = EH\cdot HD.
Por la definición de la elipse CD^2 - GX^2 = CA\cdot CP - XA\cdot XO= OS\cdot SP
Entonces EH\cdot HD = OS\cdot SP.
Por definición de DF, \ \dfrac{DE}{AB}=\dfrac{AB}{DF}, y entonces \dfrac{DE}{DF}=\dfrac{DE^2}{AB^2}=\dfrac{CD^2}{CA^2} =\dfrac{CP\cdot CA}{CA^2} = \dfrac{OS\cdot SP}{OS^2}, porque \dfrac{CP}{CA} = \dfrac{SP}{OS}. Y entonces \dfrac{DE}{DF}=\dfrac{EH \cdot HD}{OS^2}.
Por otro lado \dfrac{DE}{DF} = \dfrac{EH}{HL} = \dfrac{EH\cdot HD}{HD \cdot HL}.
Entonces HD\cdot HL = OS^2 = GH^2.

Demostramos ahora que GH=GW.
Como GW y AB son paralelas, GX^2 = WY^2, y entonces AX\cdot OX= AY\cdot YZ.
Por tanto \dfrac{OX}{YZ} = \dfrac{AY}{AX} = \dfrac{XB}{YB}, porque \triangle BZY \simeq \triangle BOX. Entonces \dfrac{AY-AX}{AX} = \dfrac{XB-YB}{YB}, es decir \dfrac{XY}{AX}=\dfrac{XY}{YB},
y AX = YB.
Como C es el punto medio de AB, \ XC=CY y GH=HW.
ED es media proporcional de AB y AN, porque su mitad CD es media proporcional de AB/2=AC y AN/2=CP, puesto que por definición de la elipse CD^2 = AC\cdot CP.

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